四棱锥中的线面平行与线面角

题型说明

• 常见问法：「四棱锥 $P\text{-}ABCD$ 中，$BC\parallel AD$、$CD\perp AD$，再给几条棱长与一个 「$\triangle PAD$ 是等腰直角三角形」之类的侧面条件，$E$ 是某条侧棱的中点。 （Ⅰ）证明 $CE\parallel$ 平面 $PAB$；（Ⅱ）求直线 $CE$ 与平面 $PBC$ 所成角的正弦值。」 多为解答题里的立体几何那一题，$14$ 到 $15$ 分。
• 与「四棱锥中的线面垂直与二面角」那一类的分水岭在顶点怎么钉：那一类给的是 「某个侧面 $\perp$ 底面」，一句话就把顶点压到一条竖线上；这一类给的是长度 （$PA=PD$、$PC=$ 某个值），顶点要靠三条距离方程联立才定得死。 少用一条，顶点就会被随手摆成「底面某条棱的正上方」，而那等于自己补了一个没有的垂直关系。

三个入口

1. 先解顶点再建系：底面的两个直角给出 $x$、$y$ 轴，竖直方向作 $z$ 轴； 把每条给定的长度写成一个平方和方程，联立解出顶点（通常还剩一个关于底面的镜像，两支结论相同）。 之后两问都是向量的例行公事：第一问验一个数量积为零加一句「线不在面内」， 第二问用 $\sin\theta=\dfrac{|\vec a\cdot\vec n|}{|\vec a||\vec n|}$。
2. 全程不建系：第一问取另一条侧棱的中点，与题给的中点连成中位线， 拼出一个平行四边形，把要证的线段搬到侧面里去； 第二问用 $\sin\theta=\dfrac{d(\text{端点},\ \text{那个面})}{\text{线段长}}$， 点面距用等体积法一步算出，线段长用余弦定理算。
3. 接着第一问往下做：第一问既然证到「$CE$ 与侧面里某条线段平行」， 那条线段与目标平面所成的角就是所求的角——换一条线段去算，常常更好算 （它的一个端点往往就落在目标平面上，只剩另一个端点的距离要求）。

这类题的两处关口

• 长度条件要用完。 空间里一个点有三个自由度，两条距离方程只把它压到一条圆上； 第三条才把它定死。把「等腰直角三角形」那一条用完就动笔写坐标，等于默认那个侧面垂直于底面。
• 线面角是正弦不是余弦。 无论走哪条路，最后落到的那个比值都直接是 $\sin\theta$： 向量法里它是法向量与斜线夹角的余弦，距离法里它是「点面距 $\div$ 斜线长」。

失手处

• 顶点的坐标靠看图写，没有从长度条件解出来。
• 第一问只说「$CE$ 平行于面内某条线」就收尾，漏掉「$CE$ 不在那个平面内」这半句。
• 第二问把法向量夹角的余弦再取一次余弦，或者把点面距配错了斜线。