四棱锥中的线面垂直与二面角

题型说明

• 常见问法：「在四棱锥 $A\text{-}BCDE$ 中，已知某个侧面 $\perp$ 底面、底面有两个直角、 再给几条棱长，（Ⅰ）求证某条底面上的线段 $\perp$ 某个侧面；（Ⅱ）求二面角 $B\text{-}AD\text{-}E$ 的大小」。 多为解答题的第三题，$14$ 到 $15$ 分。
• 骨架是顶点悬在空中：底面四边形的形状由题给的直角与边长直接定死， 顶点却只知道「它所在的某个侧面垂直于底面」。第一件事永远是把顶点钉下来， 而钉法只有一条：在那个侧面内找一条垂直于两面交线的直线，由面面垂直的性质定理 把它升级成垂直于底面的线，顶点就在这条线上。

三个入口

1. 纯几何法：先钉顶点，再按二面角的定义作出平面角 （在棱上取一点，两个半平面内各作一条垂直于棱的射线），最后在一个具体的三角形里用余弦定理。
2. 建系用向量：顶点钉下来的同时，竖直方向也就有了；底面那两个直角给出另外两条轴。 求两个半平面所在平面的法向量，取夹角。
3. 距离法：设 $BF\perp$ 棱、$BH\perp$ 另一个半平面所在的平面，则 $\sin\theta=\dfrac{BH}{BF}$。$BH$ 是点到平面的距离，常用等体积法一步算出， 不必真的把垂足作出来。

这类题的两处关口

• 「侧面 $\perp$ 底面」不等于「侧棱 $\perp$ 底面」。 面面垂直只保证：那个侧面内垂直于交线的 直线才垂直于底面。所以必须先在侧面内算出（不是看出）一条垂直于交线的线—— 通常靠勾股定理的逆定理，从三条边长判出一个直角。
• 底面的两个直角常常是「同一条线垂直于两条平行边」。 $\angle CDE=\angle BED=90^\circ$ 这种给法说的是 $DC\perp DE$ 且 $EB\perp DE$，于是 $DC\parallel EB$，底面是直角梯形， $DE$ 是那条同时垂直于两底的腰。把这句翻译出来，底面的坐标就直接写得出来了。

失手处

• 顶点位置靠看图猜，没有从「面面垂直 + 垂直于交线」推出来。
• 作平面角时只保证了一条射线垂直于棱，另一条没验。
• 用法向量算完直接报角，没判二面角是锐角还是钝角。