套路

线面角化点面距

斜线段的一端落在平面上时，sin⁡θ=\sin\theta= 另一端到平面的距离 ÷\div 斜线段长——线面角问题变成一段距离。

解题套路

设斜线段 PQPQ 与平面 α\alpha 所成角为 θ\theta，且 Q∈αQ\in\alpha（即 QQ 就是斜足）。作 PH⊥αPH\perp\alpha 于 HH，则 ∠PQH=θ\angle PQH=\theta，在 Rt△PQH\triangle PQH 中

sin⁡θ=PHPQ=d(P,α)∣PQ∣\sin\theta=\frac{PH}{PQ}=\frac{d(P,\alpha)}{|PQ|}

于是求线面角 = 求一个点到平面的距离 + 量一条线段，两件都是标量的事，不必找射影、也不必找垂足在哪。

用之前先确认斜足

「Q∈αQ\in\alpha」这一条必须先验，而且常常是题目埋的一个小台阶：

  • MM 是 AEAE 的中点、要求 BMBM 与平面 ADEADE 所成角 → A,E∈A,E\in 平面 ADEADE，故整条线段 AEAE 都在平面内，MM 自然在平面上 ✓；
  • 若两端点都不在 α\alpha 上，先把直线延长交 α\alpha 于一点，用那个交点到 PP 的距离作分母（不是原线段长）。

与法向量法的分工

法向量法本套路
要造的东西平面的法向量 n⃗\vec n点到平面的距离 dd
公式sin⁡θ=∣n⃗⋅PQ→∣∣n⃗∣ ∣PQ→∣\sin\theta=\dfrac{\left\lvert\vec n\cdot\overrightarrow{PQ}\right\rvert}{\lvert\vec n\rvert\,\left\lvert\overrightarrow{PQ}\right\rvert}sin⁡θ=d∣PQ∣\sin\theta=\dfrac{d}{\lvert PQ\rvert}
适合已建好系、坐标干净体积好算、或不想建系

dd 常用等体积法求（换一个底面算同一个四面体的体积）。

失手处

  • 分母写成射影长：分母是斜线段本身，不是它的射影。
  • 忘了验斜足在平面上，直接套 d/∣PQ∣d/|PQ|。
  • 求出 dd 之后忘了除以 ∣PQ∣|PQ|，把距离当成了正弦值。

学它之前先会

共 4 条前置、最深 4 层。

出现在以下题目中

共 4 道题考到本条。