正棱柱中的线面角

题型说明

• 常见问法：「在正三棱柱（或正四棱柱）中，各棱长相等，点 $D$ 是某个侧面的中心（或某条棱的中点）， 求 $AD$ 与某个面所成角的大小」。多为选择题、填空题，四个选项常是 $30^{\circ}$、$45^{\circ}$、 $60^{\circ}$、$90^{\circ}$ 这几个特殊角——答案是特殊角这件事本身就是一条检验。
• 条件极少是这类题的特征：「各棱长相等 + 侧棱垂直于底面」两句话，就把整个立体钉死到相似为止。 于是棱长可以随便取（取 $1$、取 $2$、取到让根号最少的那个数），所求的角与它无关。

三个入口

1. 找射影：线面角的定义是「斜线与它在该面内的射影所成的角」，所以第一件事是找出 斜线端点在该面上的影子。正棱柱里影子多半落在某条对称线上——底面正三角形的高、 正方形的对角线——找到影子，角就落进一个具体的直角三角形，解一次即可。
2. 建系用向量：正棱柱自带三条互相垂直的方向（底面的对称轴、底边、侧棱）， 坐标写起来几乎不用算。线面角取斜线方向与法向量夹角的正弦， $\sin\theta=\dfrac{\lvert \vec{AD}\cdot\vec n\rvert}{\lvert\vec{AD}\rvert\,\lvert\vec n\rvert}$。
3. 距离法：不作角，直接用 $\sin\theta=\dfrac{d(A,\alpha)}{\lvert AD\rvert}$—— 点到面的距离用等体积法算，斜线长用中线长公式或勾股定理算，两个长度一除就出角。

这类题的两处关口

• 影子不是「看上去最像」的那条。要断定 $E$ 是 $A$ 的影子，必须证 $AE\perp$ 该面， 而证法只有线面垂直的判定定理：$AE$ 垂直于该面内两条相交的直线。 只验一条（比如只验了 $AE\perp BC$）就断言垂直，是这类题最常见的失分处。
• 「侧面的中心」要翻译成长度。各棱长相等时侧面是正方形，中心到一条边中点的距离是 棱长的一半，到顶点的距离是对角线的一半——这两个数一旦翻译错，后面全错。

失手处

• 用向量做时把 $\sin$ 写成了 $\cos$：法向量与斜线的夹角的余弦，才是线面角的正弦。
• 棱长取了具体数，最后却忘了「角与棱长无关」，又回去讨论 $a$ 的取值。