中线定理

教材原文

上面两式相加，得 $\overrightarrow{AC^2} +\overrightarrow{DB^2} = 2(a^2 +b^2)$

$A C ^ {2} + B D ^ {2} = 2 (A B ^ {2} + A D ^ {2}).$

公式

设 $M$ 是线段 $AB$ 的中点，$P$ 是任意一点，则

从课本那一式怎么来

把 $P$、$A$、$B$ 补成平行四边形 $PAQB$（$M$ 是两条对角线 $PQ$ 与 $AB$ 的公共中点），课本的结论

里 $|PQ|=2|PM|$、$|AB|=2|MA|$，代入整理即得上式。

也可以直接用向量算：取 $M$ 为原点，$\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{MB}=\boldsymbol u$，$\overrightarrow{MP}=\boldsymbol v$，则

——交叉项 $\pm2\boldsymbol u\cdot\boldsymbol v$ 恰好抵消，这正是「配成对」能省事的根源。

用法

• 两点关于某点对称时最好用：$A$、$B$ 关于 $M$ 对称，那么无论 $P$ 在哪里，$|PA|^2+|PB|^2$ 只与 $|PM|$ 有关，与 $P$ 的方向无关。
• 圆内接中心对称图形（正偶数边形、矩形、直径的两端）里，顶点可以两两配成过圆心的直径；每一对贡献 $2|PO|^2+2R^2$，加起来就把「一堆距离」压成「一个 $|PO|$」。
• 反过来，已知 $|PA|^2+|PB|^2$ 求 $|PM|$ 也是同一式。

失手处

• 中点必须是那两点连线的中点：$M$ 若不是 $AB$ 的中点，交叉项不抵消，公式不成立。
• 右边是 $2|MA|^2$，不是 $|AB|^2$；$|MA|=\dfrac{|AB|}2$，写成 $\dfrac{|AB|^2}{2}$ 才对得上。