浙江 2014 · 数学 q08

冷启动：$\max$、$\min$ 的定义是幌子，真正的对象只有两个量

题面用两行把 $\max$ 与 $\min$ 定义了一遍，看着吓人，其实只是说「取大的那个」「取小的那个」—— 这是每个人都会的事，写出来只是为了让符号有出处。

去掉这层包装，四个选项比的是两组量：

$$\underbrace{\min\{|\vec a+\vec b|,\ |\vec a-\vec b|\}\ \text{与}\ \min\{|\vec a|,\ |\vec b|\}}_{\text{A、B}} , \qquad \underbrace{\max\{|\vec a+\vec b|^{2},\ |\vec a-\vec b|^{2}\}\ \text{与}\ |\vec a|^{2}+|\vec b|^{2}}_{\text{C、D}} .$$

注意 C、D 那一组比的是平方。 这不是出题人随手加的——平方一出现， $|\vec a\pm\vec b|^{2}$ 就能展开成只含 $|\vec a|^{2}$、$|\vec b|^{2}$、$\vec a\cdot\vec b$ 的式子， 整道题当场变成一行代数。而 A、B 那一组是模本身，没有这样的展开，所以只能靠具体例子对付。

这就是解题的分工：C、D 用代数一次算清；A、B 用两个反例砍掉。

解法一：把两个平方展开，四个选项一次看清

第一步：一条式子管住两个平方

$$|\vec a\pm\vec b|^{2} =(\vec a\pm\vec b)\cdot(\vec a\pm\vec b) =|\vec a|^{2}+|\vec b|^{2}\pm 2\,\vec a\cdot\vec b .$$

两个平方只差中间那一项的符号。 于是它们的和与差都一眼可见：

$$|\vec a+\vec b|^{2}+|\vec a-\vec b|^{2}=2\bigl(|\vec a|^{2}+|\vec b|^{2}\bigr) , \qquad |\vec a+\vec b|^{2}-|\vec a-\vec b|^{2}=4\,\vec a\cdot\vec b .$$

上面那条就是平行四边形对角线平方和：以 $\vec a$、$\vec b$ 为邻边的平行四边形， 两条对角线正是 $\vec a+\vec b$ 与 $\vec a-\vec b$，它们的平方和等于四条边的平方和。

第二步：取大的那个

两个数里取大的，等于「平均值 $+$ 半差的绝对值」：

$$\max\{|\vec a+\vec b|^{2},\ |\vec a-\vec b|^{2}\} =\bigl(|\vec a|^{2}+|\vec b|^{2}\bigr)+2\lvert\vec a\cdot\vec b\rvert .$$

右边第二项是绝对值，永远 $\geq 0$，于是

$$\max\{|\vec a+\vec b|^{2},\ |\vec a-\vec b|^{2}\}\ \geq\ |\vec a|^{2}+|\vec b|^{2} ,$$ $$\boxed{\text{选 D}}$$

同一行还顺手判掉了 C：C 说的是 $\leq$，而我们算出的差是 $+2\lvert\vec a\cdot\vec b\rvert$。 只有 $\vec a\cdot\vec b=0$（两向量垂直，或有一个是零向量）时两边才相等； 只要 $\vec a\cdot\vec b\neq 0$，C 就反了向。

第三步：A、B 呢

A、B 比的是模，不是平方，展开那一招用不上。留给下一条路的反例处理—— 或者注意到取 $\vec b=\vec a$ 时 $|\vec a-\vec b|=0$，$\min$ 立刻变成 $0$，B 当场垮掉。

解法二：先用两个反例砍掉三个，剩下的那个再补证

选择题里更快的打法：不去证谁对，去找谁错。 一个反例就能否掉一个「恒成立」的断言。

反例一：让两个向量重合

取 $\vec a=\vec b$，且都是单位向量。这时

$$|\vec a+\vec b|=2 ,\qquad |\vec a-\vec b|=0 .$$

一条对角线塌成了零——平行四边形退化成一条线段。代进去：

• A：$\min\{2,0\}=0\leq 1=\min\{|\vec a|,|\vec b|\}$，通过；
• B：$\min\{2,0\}=0\geq 1$？假——砍掉 B；
• C：$\max\{4,0\}=4\leq 1+1=2$？假——砍掉 C；
• D：$\max\{4,0\}=4\geq 2$，通过。

反例二：让两个向量垂直且等长

取 $\vec a=(1,0)$、$\vec b=(0,1)$。这时两条对角线一样长：

$$|\vec a+\vec b|=|\vec a-\vec b|=\sqrt2 .$$

• A：$\min\{\sqrt2,\sqrt2\}=\sqrt2\leq 1$？假——砍掉 A；
• D：$\max\{2,2\}=2\geq 1+1=2$，通过（取等）。

只剩 D——但还没完

两个反例砍掉了 A、B、C，只剩 D。在单选题里这一步够了（题目保证有且只有一个正确）， 但要说清楚 D 为什么对，仍然得回到解法一那一行：$\max=|\vec a|^{2}+|\vec b|^{2}+2\lvert\vec a\cdot\vec b\rvert$。

反例只能证「不恒成立」，永远证不出「恒成立」。 这一条不是废话—— 本题里如果只取反例二（垂直等长），C 和 D 会同时通过（两边相等）， 你会以为它们都对。取等的特例最没有筛选力，挑反例要挑让不等号绷紧的那种。

$$\boxed{\text{选 D}}$$

解法三：看平行四边形，长的那条对角线对着的角不小于直角

官方解析走的是这条路，它一步代数都不用。

把 $\vec a$、$\vec b$ 画成同一个顶点出发的两条边，补成平行四边形。设两向量的夹角为 $\theta$， 则平行四边形在这个顶点处的内角是 $\theta$，相邻的那个内角是 $\pi-\theta$。 两条对角线各自”对着”其中一个角：

• $|\vec a-\vec b|$ 是夹角为 $\theta$ 的那个三角形的第三边；
• $|\vec a+\vec b|$ 是夹角为 $\pi-\theta$ 的那个三角形的第三边。

$\theta$ 与 $\pi-\theta$ 里必有一个 $\geq\dfrac{\pi}{2}$。设它是 $\varphi$，那条对角线记作 $d$， 由余弦定理

$$d^{2}=|\vec a|^{2}+|\vec b|^{2}-2|\vec a||\vec b|\cos\varphi .$$

而 $\varphi\geq\dfrac{\pi}{2}$ 给出 $\cos\varphi\leq 0$，所以那一项非负：

$$d^{2}\ \geq\ |\vec a|^{2}+|\vec b|^{2} .$$

边长大的对着的角也大，所以这条 $d$ 正是两条对角线里长的那条，即 $d^{2}=\max\{|\vec a+\vec b|^{2},|\vec a-\vec b|^{2}\}$。选 D。

这条路和解法一其实是同一件事的两张脸：$-2|\vec a||\vec b|\cos\varphi$ 就是 $+2\lvert\vec a\cdot\vec b\rvert$。

四个选项各对应一种错法

A 与 B 这一对特别值得看一眼：它们是同一个式子的两个方向，说明出题人知道你会想「$\min$ 那边总有个固定关系吧」—— 没有。$\min\{|\vec a+\vec b|,|\vec a-\vec b|\}$ 与 $\min\{|\vec a|,|\vec b|\}$ 的大小完全不定， 两个反例各打一个方向，正好把这件事说死。

三条路怎么选

实战顺序：先用解法二的反例一（$\vec a=\vec b$）一秒砍掉 B、C， 再用解法一的展开式确认 D，A 顺带被反例二否掉。全程不到一分钟。

一句话带走

看见 $|\vec a\pm\vec b|^{2}$ 就展开：

$$|\vec a\pm\vec b|^{2}=|\vec a|^{2}+|\vec b|^{2}\pm 2\,\vec a\cdot\vec b .$$

两式只差一个符号，于是和是 $2(|\vec a|^{2}+|\vec b|^{2})$、差是 $4\,\vec a\cdot\vec b$， 取大的那个就等于「平均 $+$ 半差的绝对值」——比平均只多不少，而平均恰好是 $|\vec a|^{2}+|\vec b|^{2}$。 至于模本身（不带平方）的那两个选项，别找规律，直接举反例。