浙江 2012 · 数学 q15

冷启动：先问「题面定住了什么」

条件只有三句：$M$ 是 $BC$ 的中点、$AM=3$、$BC=10$。把它画出来，会发现三角形根本没被定死。

取 $M$ 为原点、$BC$ 沿 $x$ 轴。$M$ 是中点且 $BC=10$，所以 $B(-5,0)$、$C(5,0)$；而 $A$ 只受 $AM=3$ 一条约束，于是

$$A=(x,\,y),\qquad x^{2}+y^{2}=9 .$$

$A$ 可以在以 $M$ 为心、半径 $3$ 的整个圆上任意移动（除去 $y=0$ 那两点，那时三角形退化成一条线段）。 三条边长 $AB$、$AC$ 随 $A$ 一起变，三个角也一起变——一整族形状各异的三角形，全都满足题面。

这件事马上给出一把筛子。 题目是填空题、要一个具体数，那么被问的那个量必须在这一整族三角形上取同一个值；凡是随 $A$ 转到哪儿而变的量，都不可能是本题要的答案。

这把筛子有用，是因为原卷印出来的那个量过不了它。下一节专门处理这件事——它必须在动笔之前解决，否则四条解法算的是什么都说不清。

这道题得先处理一件事：原卷印的那个量不是定值

先按原卷所印，老老实实算一遍。 原卷问 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}$。用上一节的坐标：

$$\overrightarrow{AB}=(-5-x,\,-y),\qquad \overrightarrow{BC}=(10,\,0),$$ $$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=10\,(-5-x)+0\cdot(-y)=-50-10x .$$

$x$ 留在了式子里。$A$ 不能落在直线 $BC$ 上，故 $x\in(-3,3)$，于是这个量的取值范围是

$$-50-10x\in(-80,\,-20).$$

两条结论，都对答案不利：

1. 它不是定值——填空题问它，本身就不合法；
2. 就算退一步只问「有没有可能等于 $-16$」，答案也是没有：$-16>-20$，落在这个范围之外。

所以按原卷印的那句话，这道题没有答案，而官方给的答案是 $-16$。 这不是本篇算错，也不是转写出了差错——对着 $BC$ 那个下标，扫描件核过，题面是逐字忠实的（详见校订层 q15-fix.md 的另记 ③）。

那么本篇算的是哪一个量？ 把冷启动那把筛子当真，逐个读法过一遍（坐标同上）：

两句话必须说清，不能含糊：

• 「是定值」这条性质筛不干净——$\overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{MC}=-25$ 也是定值。真正把读法钉死的是官方答案 $-16$ 这一枚钉子，不是「它该是定值」这条推理。
• 因此「被问的是 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$」这句话，不是从题面推出来的结论，而是对一处印刷错误的辨认：题面 $+$ 官方答案两头一起夹，才只剩这一个读法站得住。

还有一条旁证，不承担推理重量，但说明这个读法是命题人本来的意思：$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ 只需要 $AM$ 与 $BC$ 这两个数，一个不多一个不少——而题面给的恰好就是这两个数。解法四会把这件事写成公式。

下面四条解法，都以「被问的是 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$」为前提，每条开头会再声明一次。声明的是前提，不是推理的一步——前提不需要从题面推出来，推理才需要。

解法一：中点配对——把两个向量写成 $\overrightarrow{AM}$ 与 $\overrightarrow{MB}$ 的和与差，交叉项自己抵消

本条的前提。 原卷所印的 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}$ 不是定值、也取不到 $-16$（上一节独立算过一遍）；本条求的是 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$，这一句是本条的前提，来自对印刷错误的辨认，不由题面推出。

怎么想到的。 要相乘的两个向量都以 $A$ 为起点，可条件全给在 $M$ 上——$AM$ 的长度给了，$MB$、$MC$ 的长度由「中点 $+$ $BC=10$」给了，而 $AB$、$AC$ 各多长一个都没给。既然条件都挂在 $M$ 上，就把两个向量的起点搬到 $M$。

搬起点。 按向量加法，

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB},\qquad \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC}.$$

用中点那一条。 $M$ 是 $BC$ 的中点，故 $\overrightarrow{MC}=-\overrightarrow{MB}$，第二式变成

$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{MB}.$$

于是两式一个是和、一个是差——这正是可以配对相乘的形状：

$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} =\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}\right)\cdot\left(\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{MB}\right) =\lvert \overrightarrow{AM}\rvert^{2}-\lvert \overrightarrow{MB}\rvert^{2}.$$

展开本该有四项，交叉的两项是 $+\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{MB}$ 与 $-\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{MB}$，加起来是零。

代数。 $\lvert \overrightarrow{AM}\rvert=AM=3$ 由题面直接给出；$M$ 是 $BC$ 的中点、$BC=10$，故 $\lvert \overrightarrow{MB}\rvert=\dfrac{BC}{2}=5$。于是

$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=3^{2}-5^{2}=9-25=-16 .$$

这一步为什么值得单独看。 被抵消掉的交叉项 $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{MB}$，是整个式子里唯一含夹角的东西——也是唯一随 $A$ 转到哪儿而变的东西。它一没，冷启动里那个「$A$ 在圆上乱跑」的自由度就跟着没了。

换句话说，冷启动那把筛子在这里被兑现了：这条解法从头到尾没用过 $A$ 的位置，所以结果当然与位置无关。

解法二：坐标法——$M$ 作原点，展开后 $x$ 自己消掉（原卷问的那个量里它没消掉）

本条的前提。 同解法一：所求为 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$，此为前提，不由题面推出；原卷所印那个量不是定值，本条末尾会在同一套坐标里再看一眼这件事。

怎么想到的。 填空题只要一个数，所以答案必然与形状无关。想看清「到底是哪个字母消掉了」，坐标是最直白的写法——几何论证里「消掉」发生在你看不见的地方，坐标里它就是式子上少了一项。

建系。 数量积由两个向量的长度与夹角决定，与坐标系怎么放无关，所以可以任取一个直角坐标系。取 $M$ 为原点、$BC$ 沿 $x$ 轴正向。$M$ 是 $BC$ 的中点且 $BC=10$，故

$$B(-5,\,0),\qquad C(5,\,0).$$

$A$ 到 $M$ 的距离是 $3$，即 $A=(x,y)$ 满足

$$x^{2}+y^{2}=9 . \tag{$*$}$$

这一条是唯一关于 $A$ 的信息——$x$、$y$ 各自是多少，题面没说，也不必说。

算。

$$\overrightarrow{AB}=(-5-x,\,-y),\qquad \overrightarrow{AC}=(5-x,\,-y),$$ $$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=(-5-x)(5-x)+(-y)(-y)=\left(x^{2}-25\right)+y^{2}=\left(x^{2}+y^{2}\right)-25 .$$

括号里正是 $(*)$ 的左边，直接代 $9$：

$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=9-25=-16 .$$

注意展开时发生了什么。 $(-5-x)(5-x)$ 里的一次项是 $-5\cdot(-x)+(-x)\cdot 5=5x-5x=0$——$x$ 的一次项自己抵消了，剩下的 $x^{2}+y^{2}$ 恰好被条件整块吃掉。所以这条路上「不必求 $x$」不是技巧，是式子本来就没给 $x$ 留位置。

顺手照一眼原卷那个量。 同一套坐标里，$\overrightarrow{BC}=(10,0)$，

$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=10\,(-5-x)=-50-10x .$$

$x$ 留在了式子里。 两个量的分野在坐标法下只有一行之差：一个的一次项抵消了，另一个没有。这就是为什么前者能当填空题的答案、后者不能。

解法三：先化成三条边长，再用中线定理把 $AB^{2}+AC^{2}$ 换成 $68$

本条的前提。 同前两条：所求为 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$，此为前提。

怎么想到的。 如果手上只有「数量积能写成三条边长的组合」这一条（也就是余弦定理的向量版），那这道题就缺一块：三条边长里 $BC=10$ 是给了的，$AB$、$AC$ 却一个都没给。但它们的平方和是给了的——「中线长 $+$ 底边长 $\Rightarrow$ 两腰平方和」正是中线定理管的事。于是缺口刚好被堵上。

第一步：把数量积换成边长。 由 $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$ 取模平方：

$$BC^{2}=\lvert\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\rvert^{2}=AC^{2}-2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}+AB^{2},$$

整理得

$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2}. \tag{1}$$

（这就是余弦定理换了件衣服：$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cos A$，而余弦定理给 $\cos A=\dfrac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2\,AB\cdot AC}$，两式相乘正是 $(1)$。）

第二步：求 $AB^{2}+AC^{2}$。 这里用中线定理：$M$ 是 $BC$ 的中点，$A$ 是任意一点，则

$$AB^{2}+AC^{2}=2\,AM^{2}+2\,MB^{2}. \tag{2}$$

本条不打算白引这一条，就地用余弦定理证一遍——顺便它和解法一走的不是同一条路。$M$ 在线段 $BC$ 内部，故 $\angle AMB$ 与 $\angle AMC$ 互补，$\cos\angle AMC=-\cos\angle AMB$。在 $\triangle ABM$ 与 $\triangle ACM$ 里各用一次余弦定理（$MB=MC$）：

$$AB^{2}=AM^{2}+MB^{2}-2\,AM\cdot MB\cos\angle AMB,$$ $$AC^{2}=AM^{2}+MB^{2}-2\,AM\cdot MB\cos\angle AMC=AM^{2}+MB^{2}+2\,AM\cdot MB\cos\angle AMB .$$

两式相加，含 $\cos\angle AMB$ 的项抵消，即得 $(2)$。（$A$ 不在直线 $BC$ 上，两个三角形都不退化；这一条题面已经保证。）

第三步：代数。 $AM=3$、$MB=\dfrac{BC}{2}=5$，由 $(2)$

$$AB^{2}+AC^{2}=2\cdot 3^{2}+2\cdot 5^{2}=18+50=68 ,$$

再由 $(1)$ 与 $BC=10$：

$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{68-100}{2}=\frac{-32}{2}=-16 .$$

这条路的代价与收获。 代价是多绕一步（要先把数量积翻成边长）；收获是中途那个 $68$ 是个有独立意义的量——它说「这一族三角形的两腰平方和是同一个数」，本身就是个能单独出题的结论。$AB^{2}+AC^{2}=68$ 配上 $AB+AC$ 或 $AB\cdot AC$ 中任何一个，就能把 $AB$、$AC$ 各自定出来；题面没给第二个条件，所以两腰各是多少确实不知道，但它们的平方和知道。

解法四：把 $3$ 和 $10$ 换成 $m$ 与 $a$——答案是 $m^{2}-\frac{a^{2}}{4}$，顺带看出 $\angle A$ 恒为钝角

本条的前提。 同前三条：所求为 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$，此为前提。

怎么想到的。 前三条都给出 $-16$，但都没回答一个问题：命题人为什么挑 $3$ 和 $10$？ 把这两个数换成字母重做一遍，答案会变成一个式子；那个式子能告诉我们，这道题的数据为什么恰好是两个、以及 $-16$ 那个负号是从哪来的。

参数化。 设 $AM=m>0$、$BC=a>0$，$M$ 仍是 $BC$ 的中点。取 $M$ 为原点、$BC$ 沿 $x$ 轴，则 $B\left(-\frac{a}{2},0\right)$、$C\left(\frac{a}{2},0\right)$，而 $A=(x,y)$ 满足 $x^{2}+y^{2}=m^{2}$。于是

$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} =\left(-\frac{a}{2}-x\right)\left(\frac{a}{2}-x\right)+y^{2} =\left(x^{2}-\frac{a^{2}}{4}\right)+y^{2} =m^{2}-\frac{a^{2}}{4}. \tag{3}$$

先回代验一遍。 $m=3$、$a=10$ 代进 $(3)$：$9-25=-16$，与前三条一致。

$(3)$ 说了三件事。

其一，题面给两个数就够，一个不能少、一个不必多。 $(3)$ 的右边只含 $m$ 与 $a$——所以只要给出中线长和底边长，这个数量积就定死了；反过来，再给第三个条件（比如 $AB=7$）对这个量也没有新贡献。这正好解释了题面为什么恰好给两个数，也就是上一节说的那条旁证。

其二，$m$ 与 $a$ 之间没有约束，所以答案的符号是自由的。 给定 $a>0$，任何 $m>0$ 都配得出三角形（把 $A$ 放在以 $M$ 为心、半径 $m$ 的圆上任一非 $BC$ 方向的点即可）。于是 $(3)$ 的符号由 $m$ 与 $\frac{a}{2}$ 谁大定：

（中间那行的几何内容就是「直径所对的圆周角是直角」：$m=\frac a2$ 说的正是 $MA=MB=MC$。）

本题 $m=3<5=\frac{a}{2}$，落在第三行——所以答案必须是负数，而且不管 $A$ 转到圆上哪儿，$\angle A$ 都是钝角。这是对 $-16$ 那个负号的独立复核：算出正数就一定错了。

其三，反查出题人的选数。 要答案是个干净的整数，$m^{2}$ 与 $\frac{a^{2}}{4}$ 都该是整数，即 $a$ 取偶数最省事；$m=3$、$a=10$ 给 $9-25=-16$。而选 $m<\frac a2$ 是刻意的：只有这样答案才带负号，才能筛掉两类人——把公式记成 $m^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}$ 的（得 $34$），以及算完看见负数就以为自己错了、回头去找符号的。

四条路怎么选

考场上写哪条：解法一。 三行、不建系、不引任何有名字的定理，而且它把「为什么答案与形状无关」直接摊在纸面上。

解法二适合心里没底的时候——如果你不确定这个量到底是不是定值，坐标法会当场告诉你答案：字母消掉了就是定值，没消掉就不是。本题两个读法的分野，正是这么看出来的。

易错

其一，看见「不是定值」就去凑。 这是本题真正的坑，而且是方法论上的坑：按原卷所印算下来会得到 $-50-10x$，不是定值，也取不到 $-16$。此时正确的动作是停下来，把「题面与答案不自洽」这件事本身写清楚，并说明自己接下来按哪个读法算、依据是什么；最坏的动作是心里想「答案总该是 $-16$」，于是悄悄把 $\overrightarrow{BC}$ 换成 $\overrightarrow{AC}$ 接着算下去——答案对了，但那一步是凭空掺进去的，推理是假的。本篇把那一句降格成每条解法开头明写的前提，就是为了不犯这个。

其二，$\overrightarrow{MB}=-\overrightarrow{MC}$，不是 $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}$。 中点给的是「等长且反向」。写成同向，解法一的两式就都成了和，交叉项翻倍而不是抵消，得到的是 $\lvert AM\rvert^{2}+\lvert MB\rvert^{2}+2\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{MB}$——一个含未知夹角的式子，卡死。

其三，把平方差记成平方和。 $\lvert AM\rvert^{2}-\lvert MB\rvert^{2}=9-25=-16$，而 $9+25=34$。$34$ 是这道题最常见的错答，来源就是把配对相乘的「和 $\times$ 差」记成了「和 $\times$ 和」。解法四那张符号表可以当场拦住它：$m=3<5=\frac{a}{2}$，答案必须是负的。

其四，$\lvert MB\rvert$ 是 $5$ 不是 $10$。 题面给的是 $BC=10$，而配对用的是半条底边。这一处代错，答案会变成 $9-100=-91$。