极化恒等式

套路

要算 $\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}$，而条件是给在 $AB$ 的中点 $M$ 上的（$PM$ 多长、$AB$ 多长），就这么走：

1. 把起点搬到 $M$：$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MA}$，$\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MB}$。
2. 用中点那一条：$M$ 是中点 $\Rightarrow$ $\overrightarrow{MB}=-\overrightarrow{MA}$，于是第二式变成 $\overrightarrow{PM}-\overrightarrow{MA}$——两式恰好是一个和、一个差。
3. 相乘：

为什么它这么省事

展开后本该有四项，交叉的那两项是 $+\overrightarrow{PM}\cdot\overrightarrow{MA}$ 与 $-\overrightarrow{PM}\cdot\overrightarrow{MA}$，加起来是零。

这一步值得单独看一眼：交叉项是这个式子里唯一含夹角的东西。它一抵消，$\angle PMA$ 就再也不出现，于是

• 不必知道 $P$ 相对 $AB$ 的方位，
• 也不必知道 $\lvert PA\rvert$、$\lvert PB\rvert$ 各是多少；

$\lvert PM\rvert$ 与 $\lvert AB\rvert$ 这两个数一给，数量积就定死了。「$P$ 绕着 $M$ 转，数量积不变」正是这条恒等式的几何内容。

什么时候想到它

三个信号，见一个就该试：

• 要求的是共起点两个向量的数量积，而那两个向量的终点是一条线段的两个端点；
• 条件给的是中线长（或中点到某点的距离），而不是那两条边各自的长度；
• 图形本身没定死（三角形还能变形），但题目当填空题问了一个具体数——那就说明答案与变形无关，而「与变形无关」通常就是靠这一步的交叉项抵消实现的。

两个变形

反过来用：已知数量积、求中线长。$\lvert PM\rvert^{2}=\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}+\frac{\lvert AB\rvert^{2}}{4}$。

符号读几何：$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}$ 的正负号等价于 $\lvert PM\rvert$ 与 $\frac{\lvert AB\rvert}{2}$ 谁大——也就是 $P$ 在以 $AB$ 为直径的圆外、上、还是内，对应 $\angle APB$ 是锐角、直角、钝角。所以这条恒等式顺手也是「$\angle APB$ 是什么角」的判据。

与中线定理的关系

两条是同一次抵消的两个方向：

第一条里交叉项相消，第二条里交叉项也相消——都是因为 $\overrightarrow{MB}=-\overrightarrow{MA}$。知道其中一条，另一条用 $\lvert PA\rvert^{2}+\lvert PB\rvert^{2}-2\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=\lvert AB\rvert^{2}$ 就能换过去。