6.2.4 向量的数量积

向量能加、能减、能乘一个数，就是不能互相乘——这一节把最后这件事补上。补法很特别： 两个向量相乘，结果不是向量，而是一个数。

课本的引子是物理里的功：力 $\boldsymbol F$ 让物体产生位移 $\boldsymbol s$，做的功是 $W=|\boldsymbol F||\boldsymbol s|\cos\theta$。功是个标量，却由两个向量决定—— 这正是「两个向量乘出一个数」的现成样板。照它定义出来的运算叫数量积。

本节页面（第 24—31 页）覆盖 §6.2.4，末尾还印着整个 §6.2 的 习题6.2。 这一份按 “夹角先说清 → 定义 → 投影 → 四条性质 → 三条运算律 → 怎么用” 的顺序讲。

一、先定义夹角，才谈得上数量积

定义式里有 $\cos\theta$，所以第一件事是把 $\theta$ 说清楚。

已知两个非零向量 $\boldsymbol a,\boldsymbol b$，在平面上任取一点 $O$，作 $\overrightarrow{OA}=\boldsymbol a$、$\overrightarrow{OB}=\boldsymbol b$，则

$$\angle AOB=\theta\qquad(0\leqslant\theta\leqslant\pi)$$

叫做 $\boldsymbol a$ 与 $\boldsymbol b$ 的夹角，记作 $\langle\boldsymbol a,\boldsymbol b\rangle$。

三件事要一起记住：

1. 两个向量必须移到同一个起点。教科书特意写「任取一点 $O$，作 $\overrightarrow{OA}=\boldsymbol a$， $\overrightarrow{OB}=\boldsymbol b$」——向量可以自由平移，所以夹角只与方向有关、与画在哪儿无关。 考场上最常见的错就是没有共起点就读角：$\triangle ABC$ 里 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 的夹角不是内角 $B$，而是 $\pi-B$ （把 $\overrightarrow{BC}$ 平移到 $A$ 才看得出来）。
2. 范围是 $[0,\pi]$，闭区间两头都要。$\theta=0$ 是同向，$\theta=\pi$ 是反向， 两个极端都算「夹角」。
3. $\theta=\dfrac\pi2$ 时说 $\boldsymbol a\perp\boldsymbol b$。

二、定义：$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=|\boldsymbol a||\boldsymbol b|\cos\theta$

已知两个非零向量 $\boldsymbol a,\boldsymbol b$，夹角为 $\theta$，把数量 $|\boldsymbol a||\boldsymbol b|\cos\theta$ 叫做它们的数量积（或内积），记作 $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b$：

$$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=|\boldsymbol a|\,|\boldsymbol b|\cos\theta .$$

另外规定：零向量与任一向量的数量积为 $0$（零向量没有方向，谈不上夹角，所以这一条是补的规定， 不是推出来的）。

和线性运算摆在一起，差别只有一句话：

由此派生三条最常用的读法：

• 符号只由 $\cos\theta$ 定：$\theta$ 锐角 $\Rightarrow$ 正，直角 $\Rightarrow$ 零，钝角 $\Rightarrow$ 负。 反过来也成立，于是「$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b<0$」就是「夹角是钝角」的代数写法。
• 反解得夹角公式：$\cos\theta=\dfrac{\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b}{|\boldsymbol a||\boldsymbol b|}$ （课本例 10 就是这么用的：$|\boldsymbol a|=12$、$|\boldsymbol b|=9$、 $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=-54\sqrt2$ 给出 $\cos\theta=-\dfrac{\sqrt2}{2}$， 再由 $\theta\in[0,\pi]$ 定出 $\theta=\dfrac{3\pi}{4}$）。求角一定要连模一起算： 只知道 $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b$ 定不出角。
• 点号不能省。$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b$ 里的 $\cdot$ 是运算符号， 写成 $\boldsymbol a\boldsymbol b$ 或 $\boldsymbol a\times\boldsymbol b$ 都是错的。

三、投影向量：把 $\cos\theta$ 那一段几何化

定义式里的 $|\boldsymbol a|\cos\theta$ 有个几何身份，课本花了一页半来立它。

作 $\overrightarrow{OM}=\boldsymbol a$、$\overrightarrow{ON}=\boldsymbol b$，过 $M$ 作直线 $ON$ 的垂线、 垂足为 $M_1$，则 $\overrightarrow{OM_1}$ 叫做 $\boldsymbol a$ 在 $\boldsymbol b$ 上的投影向量。 设 $\boldsymbol e$ 是与 $\boldsymbol b$ 同向的单位向量，课本按 $\theta$ 为锐角、直角、钝角、 $\theta=0$、$\theta=\pi$ 逐情形算了一遍，结论五种情形合成一条：

$$\overrightarrow{OM_1}=|\boldsymbol a|\cos\theta\,\boldsymbol e\qquad(\theta\in[0,\pi]).$$

这条推导值得看的地方在于钝角那一步：那时 $\overrightarrow{OM_1}$ 与 $\boldsymbol e$ 方向相反， $\lambda=-|\overrightarrow{OM_1}|=-|\boldsymbol a|\cos(\pi-\theta)=|\boldsymbol a|\cos\theta$—— 两个负号一抵，公式与锐角那一支长得一模一样。 「分情形讨论、最后统一成一条」是本节的方法论示范：$\cos\theta$ 自带的符号已经把方向记在里面了。

于是数量积有了一句几何话：

$$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=\underbrace{|\boldsymbol a|\cos\theta}_{\text{投影的「有向长度」}}\times|\boldsymbol b| .$$

投影向量是向量，$|\boldsymbol a|\cos\theta$ 是数，后者可正可负可零——这是本节记号上最容易混的一处。

四、四条性质（都是定义的直接推论）

设 $\boldsymbol a,\boldsymbol b$ 是非零向量，夹角为 $\theta$，$\boldsymbol e$ 是与 $\boldsymbol b$ 同向的单位向量：

$$(1)\ \boldsymbol a\cdot\boldsymbol e=\boldsymbol e\cdot\boldsymbol a=|\boldsymbol a|\cos\theta;$$ $$(2)\ \boldsymbol a\perp\boldsymbol b\iff\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=0;$$ $$(3)\ \text{同向时}\ \boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=|\boldsymbol a||\boldsymbol b|,\quad \text{反向时}\ \boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=-|\boldsymbol a||\boldsymbol b|;\quad \text{特别地}\ \boldsymbol a\cdot\boldsymbol a=|\boldsymbol a|^2,\ |\boldsymbol a|=\sqrt{\boldsymbol a\cdot\boldsymbol a};$$ $$(4)\ |\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b|\leqslant|\boldsymbol a||\boldsymbol b| .$$

四条里最该刻进肌肉记忆的是 $\boldsymbol a^2=|\boldsymbol a|^2$（课本注明 $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol a$ 常记作 $\boldsymbol a^2$）。它是模与数量积之间唯一的桥：以后凡是「求模」，一律先求模的平方，

$$|\boldsymbol a\pm\boldsymbol b|^2=(\boldsymbol a\pm\boldsymbol b)^2 =|\boldsymbol a|^2\pm2\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b+|\boldsymbol b|^2 ,$$

算完最后开一次方。反过来，「已知模、求数量积」也走这座桥（习题6.2 第 11、18、19 题全是这一招）。

这座桥还有一个用法比「求模」更常考：把 $\boldsymbol a+\boldsymbol b$ 与 $\boldsymbol a-\boldsymbol b$ 一起写出来。 上面那一行里的 $\pm$ 不是省笔墨，它说的是两式只差中间那一项的符号，于是它们的和与差都当场可读：

$$|\boldsymbol a+\boldsymbol b|^2+|\boldsymbol a-\boldsymbol b|^2=2\left(|\boldsymbol a|^2+|\boldsymbol b|^2\right), \qquad |\boldsymbol a+\boldsymbol b|^2-|\boldsymbol a-\boldsymbol b|^2=4\,\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b .$$

左边那条是 §6.4 例 2 的「平行四边形对角线平方和」，右边那条常被叫作极化恒等式： 未知的 $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b$ 可以由两条对角线的长度反解出来。 两条合起来还能立刻读出「取大的那个」：

$$\max\left\{|\boldsymbol a+\boldsymbol b|^2,\ |\boldsymbol a-\boldsymbol b|^2\right\} =|\boldsymbol a|^2+|\boldsymbol b|^2+2\left|\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b\right| \ \geqslant\ |\boldsymbol a|^2+|\boldsymbol b|^2 ,$$

等号当且仅当 $\boldsymbol a\perp\boldsymbol b$。遇到「和向量与差向量一起出现」，先写这两条，不要一条一条算。

第 (2) 条要连着课本那句提问一起记：「如果 $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=0$，是否有$\boldsymbol a=\boldsymbol 0$ 或 $\boldsymbol b=\boldsymbol 0$？」——不是。 这正是数量积与数的乘法 最大的分野：数里 $xy=0$ 必有一个是 $0$，向量里 $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=0$ 还可以是两者垂直。 第 (4) 条就是 $|\cos\theta|\leqslant1$ 的换装，它给出「数量积不会超过两模之积」这个天花板。

五、三条运算律，以及不成立的那两条

对向量 $\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c$ 与实数 $\lambda$：

$$(1)\ \boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=\boldsymbol b\cdot\boldsymbol a;\qquad (2)\ (\lambda\boldsymbol a)\cdot\boldsymbol b=\lambda(\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b) =\boldsymbol a\cdot(\lambda\boldsymbol b);\qquad (3)\ (\boldsymbol a+\boldsymbol b)\cdot\boldsymbol c=\boldsymbol a\cdot\boldsymbol c+\boldsymbol b\cdot\boldsymbol c .$$

有了这三条，含数量积的式子可以像多项式一样展开，课本例 11 验的就是这件事：

$$(\boldsymbol a+\boldsymbol b)^2=\boldsymbol a^2+2\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b+\boldsymbol b^2,\qquad (\boldsymbol a+\boldsymbol b)\cdot(\boldsymbol a-\boldsymbol b)=\boldsymbol a^2-\boldsymbol b^2 .$$

完全平方与平方差照搬——这是本节最实用的一条：以后遇到 $(\boldsymbol a+2\boldsymbol b)\cdot(\boldsymbol a-3\boldsymbol b)$（例 12）就乘开、合并、代数。

分配律 (3) 的证明思路值得一提：课本用投影来证。把 $\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol a+\boldsymbol b$ 都投到 $\boldsymbol c$ 上，投影向量满足 $\overrightarrow{OD_1}=\overrightarrow{OB_1}+\overrightarrow{OA_1}$ （投影这个操作保持加法），两边同时乘 $|\boldsymbol c|$ 就得到分配律。 换句话说：分配律的几何内容就是「投影可加」。

两条不成立的，务必单独记住：

• 没有结合律：$(\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b)\boldsymbol c$ 与 $\boldsymbol a(\boldsymbol b\cdot\boldsymbol c)$ 一般不等（课本「思考」问的就是它）。 理由不必算：$(\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b)\boldsymbol c$ 是「一个数乘 $\boldsymbol c$」， 方向跟着 $\boldsymbol c$；$\boldsymbol a(\boldsymbol b\cdot\boldsymbol c)$ 方向跟着 $\boldsymbol a$。 两个向量方向都不同，怎么会相等（除非共线或那两个数都为 $0$）。 顺带一句：$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b\cdot\boldsymbol c$ 这种写法没有意义， 因为 $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b$ 已经是数，数与向量之间没有「$\cdot$」这个运算。
• 不能约分：$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=\boldsymbol a\cdot\boldsymbol c$ 推不出 $\boldsymbol b=\boldsymbol c$。正确的结论是 $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=\boldsymbol a\cdot\boldsymbol c \iff\boldsymbol a\perp(\boldsymbol b-\boldsymbol c)$（习题6.2 第 20 题）—— 移项后用分配律即得。约分在向量里换成了「垂直」。

六、这一节的题都怎么下手

三类，各一句话：

1. 给模与夹角，求某个数量积 → 乘开，把每一项化成 $|\cdot|^2$ 或 $|\cdot||\cdot|\cos\theta$，代数。 （例 12、习题6.2 第 11(1) 题。）
2. 给数量积与模，求夹角 → 先算 $\cos\theta$，再由 $\theta\in[0,\pi]$ 定角。 （例 10、习题6.2 第 18、19 题。）
3. 垂直的条件 → 一律翻译成「数量积 $=0$」，然后展开解方程。 （例 13：$(\boldsymbol a+k\boldsymbol b)\cdot(\boldsymbol a-k\boldsymbol b)=0 \Rightarrow\boldsymbol a^2-k^2\boldsymbol b^2=0\Rightarrow k=\pm\dfrac34$。 注意 $\boldsymbol a$ 与 $\boldsymbol b$ 不共线这个前提让 $k\ne0$ 的解有意义。）

一条贯穿的纪律：遇到模就平方，遇到垂直就点乘为零，遇到夹角就写夹角公式。 三句话覆盖本节几乎所有题。

七、易错清单（按失分频率排）

1. 夹角没共起点就读。$\triangle ABC$ 里 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC} =-|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{BC}|\cos B$，那个负号就是「没平移」吃掉的分。
2. 把 $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b$ 当向量（写「方向」、写「模」）， 或反过来把 $|\boldsymbol a|\cos\theta$ 当成投影向量。前者是数，后者是数，投影向量才是向量。
3. $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=0$ 就断言有一个是零向量。垂直也给 $0$。
4. 给数量积套结合律：$(\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b)\boldsymbol c\ne\boldsymbol a(\boldsymbol b\cdot\boldsymbol c)$。
5. 两边约掉 $\boldsymbol a$：$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=\boldsymbol a\cdot\boldsymbol c$ 只给出 $\boldsymbol a\perp(\boldsymbol b-\boldsymbol c)$。
6. $\boldsymbol a^2$ 写成 $|\boldsymbol a|$（漏了平方），或算出 $|\boldsymbol a|^2$ 之后忘了开方。
7. 求角忘了 $\theta\in[0,\pi]$ 这一句。余弦为负时角是钝角，别写成负角； 而在 $[0,\pi]$ 上余弦与角一一对应，算出余弦就定死了角，不必再讨论。
8. 只验一个特例就断言「恒成立」。「下列哪个一定成立」这类选择题，代一组具体向量进去只能否掉选项。特别地，$\boldsymbol a\perp\boldsymbol b$ 且等长这种取等的特例最没有筛选力——它会让方向相反的两个选项同时通过。挑退化的（让某个量变成 $\boldsymbol 0$）才砍得动。
9. 零向量的情形没交代。夹角只对非零向量定义；题目里出现 $\boldsymbol a$ 可能为 $\boldsymbol 0$ 时， 要么由条件排除，要么单独说一句。

八、这一节考过的真题（怎么读）

数量积是浙江卷向量题的全部技术底座，出题形式基本三种：

• 纯代数式的最值：2020 年第 17 题（两个单位向量，$|2\vec e_1-\vec e_2|\leqslant\sqrt2$， 求 $\cos^2\theta$ 的最小值）——把 $\vec e_1\cdot\vec e_2$ 设成一个字母， 约束与目标都变成它的一次式，本节的「遇到模就平方」用到底。

• 坐标形式：2021 年第 17 题、2023 年第 3 题一类，走的是 §6.3.5 的坐标公式， 但判据仍是本节的「垂直 $\iff$ 数量积为零」。

• 几何背景里的数量积：给三角形或四边形，求 $\overrightarrow{XY}\cdot\overrightarrow{ZW}$—— 先把所有向量用同一组基表示，再按多项式乘开（习题6.2 第 14、24 题就是这个模式的课本版）。

• 搬进空间的数量积：2015 年第 15 题（两个空间单位向量夹角 $\dfrac{\pi}{3}$， 已知 $\vec b$ 与它们的两个数量积，求 $\left|\vec b\right|$）——本节的定义式 $\vec a\cdot\vec b=\left|\vec a\right|\left|\vec b\right|\cos\theta$ 一字不改地搬进空间， 但它能定住的东西少了一维：在平面里，两个不共线方向上的数量积正好把一个向量定死； 到了空间，同样两个数只定住它在那张平面上的投影，垂直于平面的那一截毫无约束。 这道题练的正是”数量积读出的是投影”这句话的边界——它是本节定义最容易被用过头的地方。

• 和向量与差向量一起出场：2014 年浙江第 8 题——用 $\max$、$\min$ 的定义作包装， 实际问的是 $\max\{|\vec a+\vec b|^2,|\vec a-\vec b|^2\}$ 与 $|\vec a|^2+|\vec b|^2$ 谁大 （答案：前者不小于后者）。走第四节末尾那两条恒等式，一行就到底： 和是 $2(|\vec a|^2+|\vec b|^2)$，差是 $4\,\vec a\cdot\vec b$，于是取大的那个 $=|\vec a|^2+|\vec b|^2+2|\vec a\cdot\vec b|$，只增不减。 它同时考了反面：另两个选项比的是不带平方的 $\min\{|\vec a+\vec b|,|\vec a-\vec b|\}$ 与 $\min\{|\vec a|,|\vec b|\}$——没有平方就没有恒等式，那一半大小完全不定，只能举反例。 这道题是「遇到模就平方」这句话的正反两面同时出现的最好例子。

习题6.2 里最像高考题的是第 24 题：$\odot C$ 中问「只知道半径或只知道弦长，能不能求出 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$」。答案是只要弦长就够，因为 $\overrightarrow{AC}$ 在 $\overrightarrow{AB}$ 上的投影恰好是 $\overrightarrow{AB}$ 的一半—— 这种「圆心到弦的垂线平分弦」与投影的合流，正是本节几何味最足的一道。

这一份收印在第 27—31 页上的题：§6.2.4 途中的两组 练习（第 27 页一组、第 29 页一组）， 以及全节 6.2 之后的 习题6.2（第 29—31 页，共 24 题）。按”题落在印它那几页所在的那一份里”， 习题6.2 虽然把 §6.2.1 向量的加法、§6.2.2 向量的减法、§6.2.3 向量的数乘、§6.2.4 向量的数量积 一起考了，但它整份印在本节的页面上，所以 24 题都收在这里，一共 30 道。

30 道全部收下，没有因为转写缺表格而收不了的。第 9、15、17、21—24 题题面写着”如图”， 但图上的信息（中点、平行、圆心与弦、多边形的顶点次序）题面文字都交代全了，不看图也能解， 所以照收。

按方法分四段读：

• 加减与数乘的运算（习题6.2 第 1—9、13—17、22、23 题）：全靠两条口诀——“首尾相接并成一个” 与”同起点相减指向被减向量的终点”，再加一句”结果是向量，零要写成 $\boldsymbol 0$”。
• 数量积的定义与投影（第 27 页 练习 三道、第 21、24 题）： $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=|\boldsymbol a||\boldsymbol b|\cos\theta$ 与投影向量 $|\boldsymbol a|\cos\theta\,\boldsymbol e$， 符号跟着夹角走（锐角正、直角零、钝角负）。
• 运算律与求模（第 29 页 练习 三道、第 10、11、18、19 题）：$\boldsymbol a^2=|\boldsymbol a|^2$ 是模与数量积 之间唯一的桥；求模一律”先平方、后开方”。
• 边界与反例（第 29 页 练习 第 1 题、第 12、20 题）：数量积没有结合律、不能约分， 数乘的系数为负时夹角会翻成 $\pi-\theta$。这三道是本节最容易想当然的地方。

练习（第 27 页）第 1 题

1. 已知 $\left| p \right| = 8$ ， $\left| q \right| = 6$ ，p 和 q 的夹角是 $60^{\circ}$ ，求 $p \cdot q$ .

数量积的定义只有一条：$\boldsymbol p\cdot\boldsymbol q=|\boldsymbol p||\boldsymbol q|\cos\theta$。 三个量题目全给了，直接代——

$$\boldsymbol p\cdot\boldsymbol q=8\times6\times\cos 60^\circ=48\times\frac12=24 .$$

所以 $\boldsymbol p\cdot\boldsymbol q=24$。

两句提醒。第一，结果是一个数，不是向量，不能写成 $24\boldsymbol e$ 之类；这也是”数量积”这个 名字的来处。第二，夹角 $60^\circ$ 是锐角、$\cos$ 为正，所以数量积为正—— 符号与夹角的对应（锐角正、直角零、钝角负）后面几乎每道题都要用， 从这道最简单的题开始就把它记牢。

练习（第 27 页）第 2 题

2. 已知 $\triangle ABC$ 中，$\overrightarrow{AB} = a$，$\overrightarrow{AC} = b$，当 $a \cdot b < 0$ 或 $a \cdot b = 0$ 时，试判断 $\triangle ABC$ 的形状.

$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol a$ 与 $\overrightarrow{AC}=\boldsymbol b$ 共起点 $A$，所以它们的夹角就是三角形的内角 $A$。 这一步是本节最容易出错的地方：夹角必须共起点才谈得上，$\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 的夹角是 $\pi-B$，不是 $B$。

设 $\angle A=\theta\in(0,\pi)$，则 $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=|\boldsymbol a||\boldsymbol b|\cos\theta$。 三角形的两边非零，$|\boldsymbol a|>0$、$|\boldsymbol b|>0$，所以数量积的符号完全由 $\cos\theta$ 决定：

• $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b<0\iff\cos\theta<0\iff\theta\in\left(\dfrac\pi2,\pi\right)$，$\angle A$ 是钝角， $\triangle ABC$ 是钝角三角形；
• $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=0\iff\cos\theta=0\iff\theta=\dfrac\pi2$， $\triangle ABC$ 是直角三角形（直角在顶点 $A$）。

结论别多说也别少说。 $\angle A$ 钝时另外两角自然都是锐角，所以”钝角三角形”已是完整回答， 但这个条件推不出等腰之类的进一步性质。反过来，一个钝角三角形若把钝角放在 $B$，则 $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b>0$——符号只报告 $\angle A$ 的胖瘦，不报告别的角。

练习（第 27 页）第 3 题

3. 已知 $|a| = 6$，$e$ 为单位向量，当向量 $a$，$e$ 的夹角 $\theta$ 分别等于 $45^\circ$，$90^\circ$，$135^\circ$ 时，求向量 $a$ 在向量 $e$ 上的投影向量.

投影向量的公式也只有一条：$\boldsymbol a$ 在单位向量 $\boldsymbol e$ 上的投影向量是 $|\boldsymbol a|\cos\theta\,\boldsymbol e$。这里 $|\boldsymbol a|=6$，逐个代 $\theta$——

三行连起来读，正好是本节要立的图像：投影向量永远与 $\boldsymbol e$ 共线，锐角时同向、直角时缩成 零向量、钝角时反向；那个系数 $|\boldsymbol a|\cos\theta$ 就是可正可负可零的”投影数量”。

$\theta=90^\circ$ 那一格要写 $\boldsymbol 0$ 而不是 $0$——问的是向量，零向量与数 $0$ 是两回事。

练习（第 29 页）第 1 题

1. 已知 $|a| = 1$, $|b| = 2$, $|c| = 3$, 向量 $a$ 与 $b$ 的夹角为 $\frac{\pi}{6}$, 向量 $b$ 与 $c$ 的夹角为 $\frac{\pi}{4}$, 计算: (1) $(a \cdot b)c$; (2) $a(b \cdot c)$.

先把两个数量积各自算出来（它们都是数）：

$$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=|\boldsymbol a||\boldsymbol b|\cos\frac\pi6=1\times2\times\frac{\sqrt3}{2}=\sqrt3,\qquad \boldsymbol b\cdot\boldsymbol c=|\boldsymbol b||\boldsymbol c|\cos\frac\pi4=2\times3\times\frac{\sqrt2}{2}=3\sqrt2 .$$

(1) $(\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b)\boldsymbol c=\sqrt3\,\boldsymbol c$：一个与 $\boldsymbol c$ 同向、模为 $3\sqrt3$ 的向量。

(2) $\boldsymbol a(\boldsymbol b\cdot\boldsymbol c)=3\sqrt2\,\boldsymbol a$：一个与 $\boldsymbol a$ 同向、模为 $3\sqrt2$ 的向量。

这道题真正想说的事。 两个结果都是向量，但一个沿 $\boldsymbol c$、一个沿 $\boldsymbol a$，模也不等 （$3\sqrt3\approx5.20$ 对 $3\sqrt2\approx4.24$）。它们不共线：$\boldsymbol a$ 与 $\boldsymbol c$ 的夹角只能是 $\dfrac\pi4-\dfrac\pi6=\dfrac{\pi}{12}$（同侧）或 $\dfrac\pi4+\dfrac\pi6=\dfrac{5\pi}{12}$（异侧），都不是 $0$ 也不是 $\pi$。所以

$$(\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b)\boldsymbol c\neq\boldsymbol a(\boldsymbol b\cdot\boldsymbol c),$$

数量积没有结合律。 因此 $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b\cdot\boldsymbol c$ 是一个没有意义的式子——它既不指明 先算哪一对，两种算法给的还是两个不同的向量。根子上的原因是 $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b$ 已经不是向量了， 再和第三个向量”点乘”根本无从谈起，只能当数乘用。

练习（第 29 页）第 2 题

2. 已知 $|a| = \sqrt{2}$，$|b| = 1$，且 $a - b$ 与 $a + 2b$ 互相垂直，求证 $a \perp b$.

”$\boldsymbol a-\boldsymbol b$ 与 $\boldsymbol a+2\boldsymbol b$ 互相垂直”翻译成一个等式：

$$(\boldsymbol a-\boldsymbol b)\cdot(\boldsymbol a+2\boldsymbol b)=0 .$$

按分配律展开（中间两项要用到交换律 $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=\boldsymbol b\cdot\boldsymbol a$）：

$$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol a+2\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b-\boldsymbol b\cdot\boldsymbol a-2\boldsymbol b\cdot\boldsymbol b =|\boldsymbol a|^2+\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b-2|\boldsymbol b|^2=0 .$$

代 $|\boldsymbol a|=\sqrt2$、$|\boldsymbol b|=1$，得 $2+\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b-2=0$，即

$$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=0 .$$

又 $|\boldsymbol a|=\sqrt2\neq0$、$|\boldsymbol b|=1\neq0$，两个都不是零向量，所以 $\boldsymbol a\perp\boldsymbol b$。$\blacksquare$

为什么最后非要补”非零”那一句。 $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=0$ 有两种可能：真的垂直，或者其中一个是 零向量（零向量与任何向量的数量积都规定为 $0$，而”垂直”对它没有意义）。本题把两个模都给了， 一句话就能排除后一种。以后凡是由数量积为零断言垂直，都要走这一步。

练习（第 29 页）第 3 题

3. 求证： $(a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4a\cdot b.$

把两个平方各自展开（$(\boldsymbol a\pm\boldsymbol b)^2$ 的意思是 $(\boldsymbol a\pm\boldsymbol b)\cdot(\boldsymbol a\pm\boldsymbol b)$， 用分配律与 $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol a=|\boldsymbol a|^2$）：

$$(\boldsymbol a+\boldsymbol b)^2=|\boldsymbol a|^2+2\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b+|\boldsymbol b|^2,\qquad (\boldsymbol a-\boldsymbol b)^2=|\boldsymbol a|^2-2\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b+|\boldsymbol b|^2 .$$

相减，$|\boldsymbol a|^2$ 与 $|\boldsymbol b|^2$ 全部抵消，只剩中间项的两倍：

$$(\boldsymbol a+\boldsymbol b)^2-(\boldsymbol a-\boldsymbol b)^2=4\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b . \qquad\blacksquare$$

它的用处。 注意 $(\boldsymbol a\pm\boldsymbol b)^2=|\boldsymbol a\pm\boldsymbol b|^2$，所以这条恒等式换个写法就是

$$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=\frac{|\boldsymbol a+\boldsymbol b|^2-|\boldsymbol a-\boldsymbol b|^2}{4}$$

——以 $\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$ 为邻边作平行四边形，只量两条对角线的长就能算出数量积，夹角都不用测。 顺带落下一条本章反复出现的判据：$|\boldsymbol a+\boldsymbol b|=|\boldsymbol a-\boldsymbol b|\iff\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=0$， 下面 习题6.2 第 7 题问的正是它。

习题6.2 第 1 题

1. 如果 $a$ 表示“向东走 $10\mathrm{km}$ ”，$b$ 表示“向西走 $5\mathrm{km}$ ”，$c$ 表示“向北走 $10\mathrm{km}$ ”，$d$ 表示“向南走 $5\mathrm{km}$ ”，那么下列向量具有什么意义？(1）$a + a$；(2）$a + b$；(3）$a + c$；(4）$b + d$；(5）$b + c + b$；(6）$d + a + d$。

四个向量都是”方向 + 长度”的位移，向量加法就是”接着往下走”。逐个读——

后四式的两个方向互相垂直，合位移是直角三角形的斜边；因为两条直角边恰好等长 （$10$ 与 $10$、$5$ 与 $5$），斜边是 $10\sqrt2$、$5\sqrt2$，偏角都是 $45^\circ$。

两点值得记下来。 一是同向相加长度直接相加（第 1 式），反向相加是长度相减、方向随长的那个 （第 2 式：$10-5=5$，仍向东）。二是第 5、6 式说明向量加法可交换、可结合—— $\boldsymbol b+\boldsymbol c+\boldsymbol b$ 里两次向西可以先并成”西 $10$“，答案与先后顺序无关； 这正是位移合成的物理事实，也是这几条运算律的来处。

习题6.2 第 2 题

2. 一架飞机向北飞行 $300 \mathrm{~km}$, 然后改变方向向西飞行 $400 \mathrm{~km}$, 求飞机飞行的路程及两次位移的合成.

路程是走过的路的总长，与方向无关，两段直接相加：

$$300+400=700\ (\mathrm{km}).$$

位移的合成要按向量加法。先向北 $300$，再向西 $400$，两段互相垂直，首尾相接后合位移是 直角三角形的斜边：

$$\sqrt{300^2+400^2}=\sqrt{250000}=500\ (\mathrm{km}).$$

方向：合位移与正北方向的夹角 $\alpha$ 满足 $\tan\alpha=\dfrac{400}{300}=\dfrac43$， 故 $\alpha=\arctan\dfrac43\approx53^\circ$。

答：飞行的路程是 $700\ \mathrm{km}$；两次位移的合成是沿北偏西约 $53^\circ$、大小 $500\ \mathrm{km}$ 的位移。

路程与位移不是一回事。 这道题里路程 $700$、位移只有 $500$；如果飞机绕一圈飞回原地， 路程可以很大而位移是零向量。前者是数量，只有大小；后者是向量，方向也算在内—— 这正是本章一开头要区分”数量”与”向量”的理由。

习题6.2 第 3 题

3. 一艘船垂直于对岸航行，航行速度的大小为 $16 \, km/h$ ，同时河水流速的大小为 $4 \, km/h$ 。求船实际航行的速度的大小与方向（精确到 $1^{\circ}$ ）。

设船在静水中的航行速度为 $\boldsymbol v_1$（垂直指向对岸，$|\boldsymbol v_1|=16$），水流速度为 $\boldsymbol v_2$（沿河岸，$|\boldsymbol v_2|=4$）。实际航行速度是两者的合成 $\boldsymbol v=\boldsymbol v_1+\boldsymbol v_2$，而 $\boldsymbol v_1\perp\boldsymbol v_2$，所以

$$|\boldsymbol v|=\sqrt{|\boldsymbol v_1|^2+|\boldsymbol v_2|^2}=\sqrt{16^2+4^2}=\sqrt{272}=4\sqrt{17}\approx16.5\ (\mathrm{km/h}).$$

方向：$\boldsymbol v$ 与船头方向（也就是 $\boldsymbol v_1$）的夹角 $\theta$ 满足

$$\tan\theta=\frac{|\boldsymbol v_2|}{|\boldsymbol v_1|}=\frac{4}{16}=\frac14, \qquad \theta=\arctan\frac14\approx14^\circ .$$

答：实际航行速度大小约为 $16.5\ \mathrm{km/h}$，方向与船头方向（垂直于对岸的方向）成约 $14^\circ$，偏向水流去的那一侧（下游）。

“垂直于对岸航行”说的是船头朝向，不是实际航线。 船实际走的是一条斜线，被水推向下游。 若要真的垂直渡河，得让船头逆着水流偏一个角 $\varphi$，使 $|\boldsymbol v_1|\sin\varphi=|\boldsymbol v_2|$ （即 $\sin\varphi=\frac14$，$\varphi\approx14^\circ$）；代价是过河的速度降到 $\sqrt{16^2-4^2}=\sqrt{240}\approx15.5\ \mathrm{km/h}$。同一副直角三角形，一个是把 $4$ 当直角边、 一个是把 $4$ 当另一条直角边，问的不同，图就不同。

习题6.2 第 4 题

4. 化简：

(1) $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC} +\overrightarrow{CA}$

(2) $(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{MB}) + \overrightarrow{BO} + \overrightarrow{OM}$;

(3) $\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OC} +\overrightarrow{BO} +\overrightarrow{CO};$

(4) $\overrightarrow{AB} -\overrightarrow{AC} +\overrightarrow{BD} -\overrightarrow{CD};$

(5) $\overrightarrow{OA} -\overrightarrow{OD} +\overrightarrow{AD}$;

(6) $\overrightarrow{AB} -\overrightarrow{AD} -\overrightarrow{DC}$;

(7) $\overrightarrow{NQ} +\overrightarrow{QP} +\overrightarrow{MN} -\overrightarrow{MP}.$

七个小题只用三件事：首尾相接就并成一个（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$）、 同起点相减指向被减向量的终点（$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}$）、 反着走就是相反向量（$\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}$）。遇到减号先改写成加一个相反向量， 然后一律”首尾相接”。

(1) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\boldsymbol 0$.

(2) 先挪次序（加法可交换、可结合），把能接上的三项凑到一起：

$$(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MB})+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OM} =\overrightarrow{AB}+(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OM}) =\overrightarrow{AB}+(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OM})=\overrightarrow{AB}.$$

(3) $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{CO} =(\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA})+(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CO}) =\overrightarrow{BA}+\boldsymbol 0=\overrightarrow{BA}$.

(4) 两个减法各自合并：$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$， $\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{BC}$，于是

$$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BC}=\boldsymbol 0 .$$

(5) $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AD}=\boldsymbol 0$.

(6) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CB}$.

(7) $\overrightarrow{NQ}+\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{NP}$，$\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{PN}$，故

$$\overrightarrow{NQ}+\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PN}=\boldsymbol 0 .$$

汇总：$\boldsymbol 0$、$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{BA}$、$\boldsymbol 0$、$\boldsymbol 0$、$\overrightarrow{CB}$、$\boldsymbol 0$。

结果写 $\boldsymbol 0$ 不写 $0$：化简的结果仍是向量。另外留意 (1)(4)(5)(7) 为零的共同原因—— 都回到了出发点：一串向量首尾相接，若终点与起点重合，和必是零向量。第 17 题会把这件事 推广到 $n$ 边形。

习题6.2 第 5 题

5. 作图验证： (1) $\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})+\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=\boldsymbol{a}$ ; (2) $\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})-\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=\boldsymbol{b}$ .

以 $\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$ 为邻边作平行四边形 $OACB$：$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol a$、$\overrightarrow{OB}=\boldsymbol b$。 两条对角线正是加法与减法的几何形象——

$$\overrightarrow{OC}=\boldsymbol a+\boldsymbol b,\qquad \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\boldsymbol a-\boldsymbol b .$$

设 $M$ 为对角线 $OC$ 的中点。平行四边形的对角线互相平分，所以 $M$ 同时是 $BA$ 的中点，图上就有

$$\overrightarrow{OM}=\frac12(\boldsymbol a+\boldsymbol b),\qquad \overrightarrow{BM}=\overrightarrow{MA}=\frac12(\boldsymbol a-\boldsymbol b).$$

(1) 从 $O$ 到 $M$ 再到 $A$，是首尾相接的两段：

$$\frac12(\boldsymbol a+\boldsymbol b)+\frac12(\boldsymbol a-\boldsymbol b) =\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{OA}=\boldsymbol a . \checkmark$$

(2) 相减改写成加相反向量，$-\frac12(\boldsymbol a-\boldsymbol b)=\overrightarrow{MB}$，于是从 $O$ 到 $M$ 再到 $B$：

$$\frac12(\boldsymbol a+\boldsymbol b)-\frac12(\boldsymbol a-\boldsymbol b) =\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{OB}=\boldsymbol b . \checkmark$$

图与算的对照。 纯代数地看，这两式只是”半和加半差得 $\boldsymbol a$、半和减半差得 $\boldsymbol b$”， 把向量当字母合并即可；作图之后它们变成一句几何话—— 平行四边形的两条半对角线首尾相接，恰好补成它的一条边。 作图验证的价值就在这里：向量的运算律与数的一致，不是形式上的巧合， 背后有几何依据。

习题6.2 第 6 题

6.（1）已知向量 $a$ ， $b$ ，求作向量 $c$ ，使 $a + b + c = 0$

(2) (1) 中表示 $a, b, c$ 的有向线段能构成三角形吗?

(1) 由 $\boldsymbol a+\boldsymbol b+\boldsymbol c=\boldsymbol 0$ 解出

$$\boldsymbol c=-(\boldsymbol a+\boldsymbol b).$$

作法一（只在 $\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$ 不共线时可用）：先用平行四边形法则作出 $\boldsymbol a+\boldsymbol b$，再作它的相反向量（长度不变、方向反过来），就是所求的 $\boldsymbol c$。

这里必须先验一句前提：平行四边形法则要求两个向量不共线（共线时三个顶点落在一条直线上， 平行四边形根本作不出来），而本题没有排除共线——(2) 里我们正要讨论共线的情形。 所以共线时这条作法失效，得改用下面那条。

作法二（更省事）：从任一点 $A$ 出发作 $\overrightarrow{AB}=\boldsymbol a$，接着作 $\overrightarrow{BC}=\boldsymbol b$， 则 $\overrightarrow{CA}$ 就是 $\boldsymbol c$——因为 $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\boldsymbol 0$（上一题的 (1)）。 这个作法顺手把 (2) 的图也画好了。

(2) 不一定。 作法二已经把三条有向线段首尾相接成一条闭合折线 $A\to B\to C\to A$：

• 若 $\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$ 不共线，则 $A$、$B$、$C$ 三点不共线，三条有向线段正好构成一个三角形；
• 若 $\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$ 共线，则 $A$、$B$、$C$ 共线，三条线段压在同一条直线上，构不成三角形。 特别地，$\boldsymbol b=-\boldsymbol a$ 时 $\boldsymbol c=\boldsymbol 0$，第三条线段退化成一个点。

结论：当且仅当 $\boldsymbol a$ 与 $\boldsymbol b$ 不共线时，这三条有向线段能构成三角形。

这正是”三角形法则”的适用边界：和为零向量说的是”走一圈回到原处”，但走出来的是不是一个真 三角形，还要看中间有没有拐弯。

习题6.2 第 7 题

7. 已知 $a, b$ 为两个非零向量，

(1) 求作向量 $a + b$ ，a - b；

(2) 当向量 a, b 成什么位置关系时，满足 $\left|a+b\right|=\left|a-b\right|$ ？(不要求证明)

(1) 把 $\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$ 平移到同一起点 $O$：$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol a$、$\overrightarrow{OB}=\boldsymbol b$， 作平行四边形 $OACB$。两条对角线就是所求：

$$\boldsymbol a+\boldsymbol b=\overrightarrow{OC},\qquad \boldsymbol a-\boldsymbol b=\overrightarrow{BA}.$$

（作 $\boldsymbol a-\boldsymbol b$ 也可以直接用”同起点相减、由减向量的终点指向被减向量的终点”这一条， 不必先画出 $-\boldsymbol b$。）

(2) 由第 29 页 练习 第 3 题的恒等式

$$|\boldsymbol a+\boldsymbol b|^2-|\boldsymbol a-\boldsymbol b|^2=4\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b$$

立刻得到

$$|\boldsymbol a+\boldsymbol b|=|\boldsymbol a-\boldsymbol b|\iff\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=0\iff\boldsymbol a\perp\boldsymbol b$$

（两个向量都非零，所以由数量积为零可以断言垂直）。

答：当 $\boldsymbol a\perp\boldsymbol b$ 时 $|\boldsymbol a+\boldsymbol b|=|\boldsymbol a-\boldsymbol b|$。

题目说”不要求证明”，就是让人从图上把它读出来：两式的两边分别是平行四边形 $OACB$ 两条对角线 的长度，而对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的邻边互相垂直。上面那条恒等式则是同一件事的 代数证明——图给直觉，式子给把握。

习题6.2 第 8 题

8. 化简：

(1) $5(2a-2b)+4(2b-3a)$ ;

(2) $6(a - 3b + c) - 4(-a + b - c)$;

(3) $\frac{1}{2}\left[(3\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b}) + 5\boldsymbol{a} - \frac{1}{3}(6\boldsymbol{a} - 9\boldsymbol{b})\right]$;

(4) $(x - y)(a + b) - (x - y)(a - b)$.

把向量当字母合并同类项即可。合法性由数乘的两条分配律保证： $\lambda(\boldsymbol a+\boldsymbol b)=\lambda\boldsymbol a+\lambda\boldsymbol b$ 与 $(\lambda+\mu)\boldsymbol a=\lambda\boldsymbol a+\mu\boldsymbol a$。

(1)

$$5(2\boldsymbol a-2\boldsymbol b)+4(2\boldsymbol b-3\boldsymbol a) =10\boldsymbol a-10\boldsymbol b+8\boldsymbol b-12\boldsymbol a=-2\boldsymbol a-2\boldsymbol b .$$

(2)

$$6(\boldsymbol a-3\boldsymbol b+\boldsymbol c)-4(-\boldsymbol a+\boldsymbol b-\boldsymbol c) =6\boldsymbol a-18\boldsymbol b+6\boldsymbol c+4\boldsymbol a-4\boldsymbol b+4\boldsymbol c =10\boldsymbol a-22\boldsymbol b+10\boldsymbol c .$$

(3) 先算方括号里的。$\frac13(6\boldsymbol a-9\boldsymbol b)=2\boldsymbol a-3\boldsymbol b$，故

$$(3\boldsymbol a-2\boldsymbol b)+5\boldsymbol a-(2\boldsymbol a-3\boldsymbol b)=6\boldsymbol a+\boldsymbol b,$$

再乘上 $\frac12$：

$$\frac12(6\boldsymbol a+\boldsymbol b)=3\boldsymbol a+\frac12\boldsymbol b .$$

(4) $x-y$ 是数，可以提出来：

$$(x-y)(\boldsymbol a+\boldsymbol b)-(x-y)(\boldsymbol a-\boldsymbol b) =(x-y)\bigl[(\boldsymbol a+\boldsymbol b)-(\boldsymbol a-\boldsymbol b)\bigr] =(x-y)\cdot2\boldsymbol b=2(x-y)\boldsymbol b .$$

要小心的只有符号。 减号后面的括号必须整体变号：(2) 里 $-4\times(-\boldsymbol a)=+4\boldsymbol a$， (3) 里 $-(2\boldsymbol a-3\boldsymbol b)=-2\boldsymbol a+3\boldsymbol b$。还有 (4) 的结果：$x-y$ 可能是负数甚至 $0$， $2(x-y)\boldsymbol b$ 就不一定与 $\boldsymbol b$ 同向，$x=y$ 时它是零向量——数乘的系数不许默认为正。

习题6.2 第 9 题

9. 如图， $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ ， $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ . 求证 $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ .

用”同起点相减”把 $\overrightarrow{MN}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 都拆到起点 $A$：

$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM} =\frac13\overrightarrow{AC}-\frac13\overrightarrow{AB} =\frac13\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\frac13\overrightarrow{BC}. \qquad\blacksquare$$

三步都是基本功：$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}$（同起点相减，指向被减向量的终点）、 提公因数 $\frac13$（数乘对减法的分配律）、$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$。

这个结论比图上看到的更强。 一句向量等式同时说了两件事：$MN\parallel BC$（数乘意味着共线） 和 $|MN|=\frac13|BC|$（系数就是长度比）。把 $\frac13$ 换成 $\frac12$，它就是三角形中位线定理的 向量证法；换成任意 $\lambda$，证明一个字都不用改——这正是向量方法比纯几何省力的地方。

习题6.2 第 10 题

10. 填空：

（1）若 a，b 满足 $\left|a\right|=2$ ， $\left|b\right|=3$ ，则 $\left|a+b\right|$ 的最大值为 ____，最小值为 ____；

(2) 当不共线的向量 a，b 满足 ____ 时， $a+b$ 平分 a 与 b 的夹角.

(1) 用平方展开把模化成数量积：

$$|\boldsymbol a+\boldsymbol b|^2=|\boldsymbol a|^2+2\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b+|\boldsymbol b|^2 =4+9+2\times2\times3\cos\theta=13+12\cos\theta,$$

其中 $\theta$ 是 $\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$ 的夹角，$\cos\theta\in[-1,1]$。所以

• $\cos\theta=1$（两向量同向）时最大：$|\boldsymbol a+\boldsymbol b|=\sqrt{25}=5$；
• $\cos\theta=-1$（两向量反向）时最小：$|\boldsymbol a+\boldsymbol b|=\sqrt{1}=1$。

填：最大值 $5$，最小值 $1$。

不用数量积也行：三角形两边之和大于第三边给出 $\bigl|\,|\boldsymbol a|-|\boldsymbol b|\,\bigr|\le|\boldsymbol a+\boldsymbol b|\le|\boldsymbol a|+|\boldsymbol b|$， 即 $1\le|\boldsymbol a+\boldsymbol b|\le5$，两端的等号分别在反向、同向（此时三角形退化成线段）时取到。

(2) 填：$|\boldsymbol a|=|\boldsymbol b|$（两个向量的模相等）。

几何理由一眼可见：以 $\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$ 为邻边作平行四边形，$\boldsymbol a+\boldsymbol b$ 是它的对角线。 邻边相等的平行四边形是菱形，而菱形的对角线平分内角；反过来，若对角线平分那个夹角， 由等腰三角形的性质也能推回邻边相等。

也可以纯用数量积验一遍。设 $\boldsymbol a+\boldsymbol b$ 与 $\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$ 的夹角分别为 $\alpha$、$\beta$，则

$$\cos\alpha=\frac{(\boldsymbol a+\boldsymbol b)\cdot\boldsymbol a}{|\boldsymbol a+\boldsymbol b||\boldsymbol a|} =\frac{|\boldsymbol a|^2+\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b}{|\boldsymbol a+\boldsymbol b||\boldsymbol a|},\qquad \cos\beta=\frac{|\boldsymbol b|^2+\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b}{|\boldsymbol a+\boldsymbol b||\boldsymbol b|}.$$

$\alpha=\beta$ 等价于 $\cos\alpha=\cos\beta$（都在 $[0,\pi]$ 内），去掉公分母后整理得

$$\left(|\boldsymbol a|-|\boldsymbol b|\right)\left(|\boldsymbol a||\boldsymbol b|-\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b\right)=0 .$$

题目已声明 $\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$ 不共线，故 $\cos\theta<1$、$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b<|\boldsymbol a||\boldsymbol b|$， 后一个因子非零，只能 $|\boldsymbol a|=|\boldsymbol b|$。

习题6.2 第 11 题

11.（1）已知 $|a| = 3$ ， $|b| = 4$ ，且 $a$ 与 $b$ 的夹角 $\theta = 150^{\circ}$ ，求 $a \cdot b$ ， $(a + b)^2$ ， $|a + b|$

(2) 已知 $\left|a\right|=2,\left|b\right|=5$ ，且 $a\cdot b=-3$ ，求 $\left|a+b\right|,\left|a-b\right|$

(1) $|\boldsymbol a|=3$、$|\boldsymbol b|=4$、$\theta=150^\circ$。先算数量积：

$$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=3\times4\times\cos150^\circ=12\times\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=-6\sqrt3 .$$

再展开平方：

$$(\boldsymbol a+\boldsymbol b)^2=|\boldsymbol a|^2+2\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b+|\boldsymbol b|^2 =9+2\times(-6\sqrt3)+16=25-12\sqrt3 .$$

最后开方（$25-12\sqrt3\approx4.22>0$）：

$$|\boldsymbol a+\boldsymbol b|=\sqrt{(\boldsymbol a+\boldsymbol b)^2}=\sqrt{25-12\sqrt3}\approx2.05 .$$

(2) $|\boldsymbol a|=2$、$|\boldsymbol b|=5$、$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=-3$：

$$|\boldsymbol a+\boldsymbol b|^2=4+2\times(-3)+25=23\ \Longrightarrow\ |\boldsymbol a+\boldsymbol b|=\sqrt{23},$$ $$|\boldsymbol a-\boldsymbol b|^2=4-2\times(-3)+25=35\ \Longrightarrow\ |\boldsymbol a-\boldsymbol b|=\sqrt{35}.$$

两小题练的是同一条通道：模的平方与数量积互通，桥就是 $\boldsymbol a^2=|\boldsymbol a|^2$。 求模的固定套路是先求模的平方、最后开方，且模非负、只取算术平方根。

顺手一个自检：把两式相加，$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b$ 会消掉，得到与夹角无关的

$$|\boldsymbol a+\boldsymbol b|^2+|\boldsymbol a-\boldsymbol b|^2=2\left(|\boldsymbol a|^2+|\boldsymbol b|^2\right).$$

(2) 里 $23+35=58=2\times(4+25)$ ✓；(1) 里若接着算 $|\boldsymbol a-\boldsymbol b|^2=25+12\sqrt3$， 也有 $(25-12\sqrt3)+(25+12\sqrt3)=50=2\times(9+16)$ ✓。这条”平行四边形恒等式”用来复查最方便。

习题6.2 第 12 题

12. 求证：

$(\lambda \boldsymbol {a}) \cdot \boldsymbol {b} = \lambda (\boldsymbol {a} \cdot \boldsymbol {b}) = \boldsymbol {a} \cdot (\lambda \boldsymbol {b}).$

要证的是数乘可以在数量积里自由搬动。回到定义 $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=|\boldsymbol a||\boldsymbol b|\cos\theta$（$\theta$ 为 $\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$ 的夹角），按 $\lambda$ 的符号分情形。

退化情形。 若 $\lambda=0$，或 $\boldsymbol a=\boldsymbol 0$，或 $\boldsymbol b=\boldsymbol 0$，则 $\lambda\boldsymbol a$、$\lambda\boldsymbol b$ 中出现零向量， 三个式子都等于 $0$（零向量与任何向量的数量积规定为 $0$），等式成立。

以下设 $\lambda\neq0$，且 $\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$ 都非零，$\theta$ 为它们的夹角。

情形一：$\lambda>0$。 此时 $\lambda\boldsymbol a$ 与 $\boldsymbol a$ 同向，故 $\lambda\boldsymbol a$ 与 $\boldsymbol b$ 的夹角仍是 $\theta$， 且 $|\lambda\boldsymbol a|=\lambda|\boldsymbol a|$：

$$(\lambda\boldsymbol a)\cdot\boldsymbol b=\lambda|\boldsymbol a|\cdot|\boldsymbol b|\cos\theta=\lambda(\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b).$$

情形二：$\lambda<0$。 此时 $\lambda\boldsymbol a$ 与 $\boldsymbol a$ 反向，故 $\lambda\boldsymbol a$ 与 $\boldsymbol b$ 的夹角是 $\pi-\theta$， 且 $|\lambda\boldsymbol a|=-\lambda|\boldsymbol a|$：

$$(\lambda\boldsymbol a)\cdot\boldsymbol b=(-\lambda)|\boldsymbol a|\cdot|\boldsymbol b|\cos(\pi-\theta) =(-\lambda)|\boldsymbol a|\cdot|\boldsymbol b|\cdot(-\cos\theta)=\lambda(\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b).$$

两情形合起来得 $(\lambda\boldsymbol a)\cdot\boldsymbol b=\lambda(\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b)$。再用交换律把它搬到第二个位置：

$$\boldsymbol a\cdot(\lambda\boldsymbol b)=(\lambda\boldsymbol b)\cdot\boldsymbol a=\lambda(\boldsymbol b\cdot\boldsymbol a)=\lambda(\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b).$$

故三者相等。$\blacksquare$

为什么非得分 $\lambda$ 的正负。 数乘只改长度、不改所在直线，但 $\lambda<0$ 时方向翻转， 夹角从 $\theta$ 变成 $\pi-\theta$，$\cos$ 跟着变号；同时 $|\lambda\boldsymbol a|=|\lambda|\,|\boldsymbol a|$ 里的 $|\lambda|=-\lambda$ 又变一次号。两次变号刚好相抵，等式才成立。顺带记住： 直接写 $|\lambda\boldsymbol a|=\lambda|\boldsymbol a|$ 是错的，必须带绝对值。

习题6.2 第 13 题

13. 根据下列各小题中的条件，分别判断四边形 ABCD 的形状，并给出证明： (1) $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ ; (2) $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ ; (3) $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ ，且 $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{AD}\right|$ .

四边形 $ABCD$ 的顶点按顺序排，两组对边是 $AB$ 与 $CD$、$BC$ 与 $AD$。判形状之前先认清 哪两条是对边——这道题一半的分就在这上面。

(1) $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ 说 $AD$ 与 $BC$ 同向且等长，即一组对边平行且相等， 故 $ABCD$ 是平行四边形。

证明：

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DB} =\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DC},$$

所以另一组对边 $AB$ 与 $DC$ 也平行且相等，四边形是平行四边形。

(2) $\overrightarrow{AD}=\frac13\overrightarrow{BC}$ 说 $AD\parallel BC$，但 $|AD|=\frac13|BC|\neq|BC|$， 故 $ABCD$ 是梯形（$AD$、$BC$ 是两底，且 $BC=3AD$）。

证明：由 $\overrightarrow{AD}=\frac13\overrightarrow{BC}$ 得 $AD\parallel BC$（数乘关系意味着共线）， 这一组对边平行；若另一组对边 $AB$ 与 $DC$ 也平行，四边形便是平行四边形，从而 $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$，与 $|AD|\neq|BC|$ 矛盾。所以恰有一组对边平行——是梯形。

(3) $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ 给出一组对边 $AB$、$DC$ 平行且相等，$ABCD$ 是平行四边形； 再加上 $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AD}|$，即邻边相等，故 $ABCD$ 是菱形。

别把条件写串了。 $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ 与 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ 都推出平行四边形， 但 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ 推不出——那说的是 $AB$ 与 $CD$ 同向等长，四个点会绕成一个 自交的”叉”形（此时是 $ABDC$ 才成平行四边形）。同一组线段，标号次序一换，图就换了。

习题6.2 第 14 题

14. 在 $\triangle ABC$ 中，$\overrightarrow{AD} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$，$DE \parallel BC$，且与边 $AC$ 相交于点 $E$，$\triangle ABC$ 的中线 $AM$ 与 $DE$ 相交于点 $N$。设 $\overrightarrow{AB} = a$，$\overrightarrow{AC} = b$，用 $a$，$b$ 分别表示向量 $\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{DE}$，$\overrightarrow{DB}$，$\overrightarrow{EC}$，$\overrightarrow{DN}$，$\overrightarrow{AN}$。

$DE\parallel BC$ 且 $\overrightarrow{AD}=\frac14\overrightarrow{AB}$，由平行线分线段成比例（等价地， $\triangle ADE\sim\triangle ABC$，相似比 $\frac14$）得 $\overrightarrow{AE}=\frac14\overrightarrow{AC}$。有了这两条， 剩下的全是拆分：

$$\overrightarrow{AE}=\frac14\boldsymbol b,\qquad \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\boldsymbol b-\boldsymbol a,$$ $$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}=\frac14\boldsymbol b-\frac14\boldsymbol a=\frac14(\boldsymbol b-\boldsymbol a),$$ $$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\boldsymbol a-\frac14\boldsymbol a=\frac34\boldsymbol a,\qquad \overrightarrow{EC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AE}=\boldsymbol b-\frac14\boldsymbol b=\frac34\boldsymbol b .$$

再看中线。$M$ 是 $BC$ 的中点，所以

$$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{BC}=\boldsymbol a+\frac12(\boldsymbol b-\boldsymbol a)=\frac12(\boldsymbol a+\boldsymbol b).$$

$N$ 是 $AM$ 与 $DE$ 的交点。稳妥的办法是设两个参数把它定死：设 $\overrightarrow{AN}=t\,\overrightarrow{AM}$、 $\overrightarrow{DN}=s\,\overrightarrow{DE}$，则

$$\overrightarrow{AN}=\frac t2(\boldsymbol a+\boldsymbol b),\qquad \overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AD}+s\,\overrightarrow{DE}=\frac14\boldsymbol a+\frac s4(\boldsymbol b-\boldsymbol a) =\frac{1-s}{4}\boldsymbol a+\frac s4\boldsymbol b .$$

$\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$ 不共线（它们是三角形的两条边），同一向量按它们的分解唯一，比较系数：

$$\frac t2=\frac{1-s}{4}=\frac s4\ \Longrightarrow\ s=\frac12,\quad t=\frac14 .$$

于是

$$\overrightarrow{AN}=\frac14\overrightarrow{AM}=\frac18(\boldsymbol a+\boldsymbol b),\qquad \overrightarrow{DN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AD}=\frac18(\boldsymbol a+\boldsymbol b)-\frac14\boldsymbol a=\frac18(\boldsymbol b-\boldsymbol a).$$

汇总七个向量：

$$\overrightarrow{AE}=\frac14\boldsymbol b,\quad \overrightarrow{BC}=\boldsymbol b-\boldsymbol a,\quad \overrightarrow{DE}=\frac14(\boldsymbol b-\boldsymbol a),\quad \overrightarrow{DB}=\frac34\boldsymbol a,$$ $$\overrightarrow{EC}=\frac34\boldsymbol b,\quad \overrightarrow{DN}=\frac18(\boldsymbol b-\boldsymbol a),\quad \overrightarrow{AN}=\frac18(\boldsymbol a+\boldsymbol b).$$

两个副产品。 一是 $s=\frac12$ 说明 $N$ 是 $DE$ 的中点—— 三角形的中线一定平分与底边平行的那条截线；二是 $\overrightarrow{DN}=\frac12\overrightarrow{DE}$ 与 $\overrightarrow{AN}=\frac14\overrightarrow{AM}$ 都是”$\frac14$ 缩小” 的必然结果（$\triangle ADE$ 是 $\triangle ABC$ 以 $A$ 为中心按 $\frac14$ 缩小得到的，$M$ 的对应点就是 $N$）。 认出这层相似关系，可以不设参数直接写答案；设参数的好处是不必担心”对应点”这一步说不清。

习题6.2 第 15 题

15. 如图，在任意四边形 $ABCD$ 中，$E$，$F$ 分别为 $AD$，$BC$ 的中点，求证：$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} = 2\overrightarrow{EF}$.

从 $E$ 到 $F$ 有两条路可走，都用首尾相接：

$$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF},\qquad \overrightarrow{EF}=\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CF}.$$

两式相加：

$$2\overrightarrow{EF}=\left(\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{ED}\right) +\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right) +\left(\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CF}\right).$$

$E$ 是 $AD$ 的中点，故 $\overrightarrow{EA}$ 与 $\overrightarrow{ED}$ 等长反向，$\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{ED}=\boldsymbol 0$； $F$ 是 $BC$ 的中点，同理 $\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CF}=\boldsymbol 0$。于是

$$2\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}. \qquad\blacksquare$$

“两条路相加”是处理中点的标准手法：中点给的是一对相反向量，只要让它们同时出现在式子里， 就自动消掉。这条结论也可以叫任意四边形的中位线公式；当 $AB\parallel DC$（梯形）时，三个向量 两两同向，取模即得梯形中位线定理”中位线长等于两底和的一半”。注意题目说的是任意四边形—— 凸的、凹的都成立，因为证明里一句”凸”都没用到。

习题6.2 第 16 题

16. 飞机从甲地沿北偏西 $15^{\circ}$ 的方向飞行 $1400\mathrm{km}$ 到达乙地，再从乙地沿南偏东 $75^{\circ}$ 的方向飞行 $1400\mathrm{km}$ 到达丙地. 画出飞机飞行的位移示意图，并说明丙地在甲地的什么方向？丙地距甲地多远？

记甲、乙、丙三地为 $A$、$B$、$C$。以甲地为原点建系，$x$ 轴指东、$y$ 轴指北，把两段位移写成坐标：

• $A\to B$ 沿北偏西 $15^\circ$（从正北向西偏 $15^\circ$）： $\overrightarrow{AB}=1400\left(-\sin15^\circ,\ \cos15^\circ\right)$；
• $B\to C$ 沿南偏东 $75^\circ$（从正南向东偏 $75^\circ$）： $\overrightarrow{BC}=1400\left(\sin75^\circ,\ -\cos75^\circ\right)$。

相加：

$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} =1400\left(\sin75^\circ-\sin15^\circ,\ \cos15^\circ-\cos75^\circ\right).$$

而 $\sin75^\circ=\cos15^\circ$、$\sin15^\circ=\cos75^\circ$，所以两个分量恰好相等，都等于

$$1400\left(\cos15^\circ-\cos75^\circ\right)=1400\times2\sin45^\circ\sin30^\circ =1400\times\frac{\sqrt2}{2}=700\sqrt2 .$$

于是 $\overrightarrow{AC}=\left(700\sqrt2,\ 700\sqrt2\right)$：向东、向北的分量相等且都为正，方向是 北偏东 $45^\circ$；模是

$$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt2\times700\sqrt2=1400\ (\mathrm{km}).$$

答：丙地在甲地的北偏东 $45^\circ$ 方向，距甲地 $1400\ \mathrm{km}$。

示意图其实是一个等边三角形。 三条边 $AB$、$BC$、$CA$ 都是 $1400\ \mathrm{km}$，这不是巧合： $\overrightarrow{AB}$ 反过来（乙看甲）是南偏东 $15^\circ$，与 $\overrightarrow{BC}$ 的南偏东 $75^\circ$ 之间正好差 $75^\circ-15^\circ=60^\circ$，等腰三角形的顶角是 $60^\circ$，自然等边。看出这一点，不做任何三角计算 也能直接答出 $1400\ \mathrm{km}$。

别把”南偏东 $75^\circ$“读成”东偏南 $75^\circ$”。 中文方位的规矩是先南北、后偏东西， $75^\circ$ 是从正南量起的。这两种读法差得离谱：南偏东 $75^\circ$ 是从正北顺时针转 $180^\circ-75^\circ=105^\circ$，而东偏南 $75^\circ$ 是转 $90^\circ+75^\circ=165^\circ$，相差 $60^\circ$。

更要紧的是后者的下场：东偏南 $75^\circ$ 恰好就是南偏东 $15^\circ$，也就是 $\overrightarrow{AB}$ 的 正反方向。这样误读会得到 $\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{AB}$，于是

$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\boldsymbol 0$$

——丙地退回甲地、距离为 $0$，示意图成了一条来回折返的线段，连三角形都没有了。

习题6.2 第 17 题

17.（1）如图（1），在 $\triangle ABC$ 中，计算 $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC} +\overrightarrow{CA}$ (2）如图（2），在四边形ABCD中，计算 $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC} +\overrightarrow{CD} +\overrightarrow{DA}$ (3）如图（3），在 $n$ 边形 $A_{1}A_{2}A_{3}\dots A_{n}$ 中， $\overrightarrow{A_1A_2} +\overrightarrow{A_2A_3} +\overrightarrow{A_3A_4} +\dots +\overrightarrow{A_{n - 1}A_n} +\overrightarrow{A_nA_1} = ?$ 证明你的结论.

(1) 首尾相接两次即可：

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\boldsymbol 0 .$$

(2) 同样地：

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA} =\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA} =\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DA}=\boldsymbol 0 .$$

(3) 结论：和是零向量，

$$\overrightarrow{A_1A_2}+\overrightarrow{A_2A_3}+\overrightarrow{A_3A_4}+\cdots +\overrightarrow{A_{n-1}A_n}+\overrightarrow{A_nA_1}=\boldsymbol 0 .$$

证明就是把 (1)(2) 的做法重复下去，用数学归纳法写清楚。先证前 $n-1$ 项之和是 $\overrightarrow{A_1A_n}$： $k=2$ 时 $\overrightarrow{A_1A_2}=\overrightarrow{A_1A_2}$ 显然成立；设

$$\overrightarrow{A_1A_2}+\overrightarrow{A_2A_3}+\cdots+\overrightarrow{A_{k-1}A_k}=\overrightarrow{A_1A_k},$$

则再加一项，由首尾相接得

$$\overrightarrow{A_1A_k}+\overrightarrow{A_kA_{k+1}}=\overrightarrow{A_1A_{k+1}},$$

故结论对一切 $k$ 成立。取 $k=n$，前 $n-1$ 项之和是 $\overrightarrow{A_1A_n}$，最后加上第 $n$ 项：

$$\overrightarrow{A_1A_n}+\overrightarrow{A_nA_1}=\boldsymbol 0 . \qquad\blacksquare$$

一句话记住它。 首尾相接的一串向量，其和只由起点与终点决定（这叫多边形法则）； 若终点回到起点，和就是零向量。三个用处：闭合折线求和一眼判零（第 4 题里四个 $\boldsymbol 0$ 都是它）； 中途绕多少个点都不影响结果；反过来，看到”和为零向量”就该想到”走了一圈回到原处”。 结论与多边形凸不凸、顶点是否有三点共线都无关——只要顶点按同一顺序首尾相接。

习题6.2 第 18 题

18. 已知 $|a| = 4$，$|b| = 3$，且 $(2a - 3b) \cdot (2a + b) = 61$，求 $a$ 与 $b$ 的夹角 $\theta$.

把条件展开，用分配律和 $\boldsymbol a^2=|\boldsymbol a|^2$：

$$(2\boldsymbol a-3\boldsymbol b)\cdot(2\boldsymbol a+\boldsymbol b) =4\boldsymbol a^2+2\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b-6\boldsymbol b\cdot\boldsymbol a-3\boldsymbol b^2 =4|\boldsymbol a|^2-4\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b-3|\boldsymbol b|^2 .$$

代 $|\boldsymbol a|=4$、$|\boldsymbol b|=3$：

$$4\times16-4\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b-3\times9=37-4\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=61 \ \Longrightarrow\ \boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=-6 .$$

回到夹角公式：

$$\cos\theta=\frac{\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b}{|\boldsymbol a||\boldsymbol b|}=\frac{-6}{4\times3}=-\frac12 .$$

夹角的取值范围是 $[0^\circ,180^\circ]$，在这个范围里 $\cos\theta=-\frac12$ 只有一个解：

$\theta=120^\circ$。

两个常错处。 一是展开时中间有两项：$2\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b$ 与 $-6\boldsymbol b\cdot\boldsymbol a$，合并后是 $-4\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b$。这里两种典型错法给出 两个不同的假答案，值得分清——

• 真把 $-6\boldsymbol b\cdot\boldsymbol a$ 那一项漏掉：剩下 $37+2\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=61$， 得 $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=12$、$\cos\theta=\dfrac{12}{12}=1$、$\theta=0^\circ$ （此时 $|\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b|$ 正好顶到 $|\boldsymbol a||\boldsymbol b|$ 的天花板，本身就该起疑）；
• 只是合并时符号弄反、写成 $37+4\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=61$：得 $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=6$、$\cos\theta=\dfrac12$、$\theta=60^\circ$。

所以算出 $0^\circ$ 就去找漏掉的项，算出 $60^\circ$ 就去查中间项的符号，两条线索不要混。

二是由 $\cos\theta$ 定 $\theta$ 时不要写"$\pm$"或加周期——向量夹角天然限定在 $[0^\circ,180^\circ]$， $\cos$ 在这段上严格递减，一个余弦值对一个角。

习题6.2 第 19 题

19. 已知 $|a| = 8$，$|b| = 10$，且 $|a + b| = 16$，求 $a$ 与 $b$ 的夹角 $\theta$ （精确到 $1^\circ$）。（可用计算工具）

模的平方展开，把未知的数量积解出来：

$$|\boldsymbol a+\boldsymbol b|^2=|\boldsymbol a|^2+2\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b+|\boldsymbol b|^2,$$ $$16^2=8^2+10^2+2\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b\ \Longrightarrow\ 256=164+2\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b \ \Longrightarrow\ \boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=46 .$$

于是

$$\cos\theta=\frac{\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b}{|\boldsymbol a||\boldsymbol b|}=\frac{46}{8\times10}=\frac{23}{40}=0.575 ,$$

用计算工具得 $\theta=\arccos0.575\approx54.9^\circ$。

答：$\theta\approx55^\circ$。

先检验条件自不自洽是个好习惯。 由三角不等式 $\bigl|\,|\boldsymbol a|-|\boldsymbol b|\,\bigr|\le|\boldsymbol a+\boldsymbol b|\le|\boldsymbol a|+|\boldsymbol b|$ 得 $2\le|\boldsymbol a+\boldsymbol b|\le18$，题给的 $16$ 落在里面，这样的两个向量确实存在。 若把 $|\boldsymbol a+\boldsymbol b|$ 改成 $19$，照上面算会得到 $\cos\theta=\frac{197}{160}>1$—— 那时该判”无解”，而不是硬着头皮取反余弦。

习题6.2 第 20 题

20. 已知 $a$ 是非零向量，$b \neq c$，求证：

$a \cdot b = a \cdot c \Leftrightarrow a \perp (b - c).$

题设 $\boldsymbol a\neq\boldsymbol 0$、$\boldsymbol b\neq\boldsymbol c$，后者保证 $\boldsymbol b-\boldsymbol c\neq\boldsymbol 0$—— 两个非零向量之间谈垂直才有意义。

由分配律（准确地说是数量积对减法的分配律 $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b-\boldsymbol a\cdot\boldsymbol c=\boldsymbol a\cdot(\boldsymbol b-\boldsymbol c)$）：

$$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=\boldsymbol a\cdot\boldsymbol c \iff \boldsymbol a\cdot\boldsymbol b-\boldsymbol a\cdot\boldsymbol c=0 \iff \boldsymbol a\cdot(\boldsymbol b-\boldsymbol c)=0 .$$

而 $\boldsymbol a$ 与 $\boldsymbol b-\boldsymbol c$ 都是非零向量，所以

$$\boldsymbol a\cdot(\boldsymbol b-\boldsymbol c)=0\iff\boldsymbol a\perp(\boldsymbol b-\boldsymbol c).$$

两串等价接起来，即得 $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=\boldsymbol a\cdot\boldsymbol c\Leftrightarrow\boldsymbol a\perp(\boldsymbol b-\boldsymbol c)$。$\blacksquare$

这道题是给”约分”念的紧箍咒。 在数里，$ab=ac$ 且 $a\neq0$ 就能推出 $b=c$；在向量里， $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=\boldsymbol a\cdot\boldsymbol c$ 推不出 $\boldsymbol b=\boldsymbol c$，只能推出 $\boldsymbol b-\boldsymbol c$ 与 $\boldsymbol a$ 垂直。 看投影就明白原因：$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b$ 只认 $\boldsymbol b$ 在 $\boldsymbol a$ 方向上的那一份，垂直于 $\boldsymbol a$ 的成分 怎么改都不影响结果——所以满足 $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=\boldsymbol a\cdot\boldsymbol c$ 的 $\boldsymbol c$ 有无穷多个， 它们的终点铺成一条垂直于 $\boldsymbol a$ 的直线。

习题6.2 第 21 题

21. 已知 $\triangle ABC$ 的外接圆圆心为 $O$, 且 $2\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$, $|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{AB}|$, 则向量 $\overrightarrow{BA}$ 在向量 $\overrightarrow{BC}$ 上的投影向量为 ( ). (A) $\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}$ (B) $\frac{\sqrt{3}}{4}\overrightarrow{BC}$ (C) $-\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}$ (D) $-\frac{\sqrt{3}}{4}\overrightarrow{BC}$

第一步：读出 $O$ 的位置。 设 $M$ 为 $BC$ 的中点，则由 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}$、$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC}$ 相加， 并用 $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\boldsymbol 0$，得中线的向量表达

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}.$$

与条件 $2\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ 一比，$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AM}$，即 外心 $O$ 就是 $BC$ 的中点。

第二步：定出三角形的形状。 外心落在 $BC$ 的中点，说明 $BC$ 是外接圆的直径，于是 $\angle BAC=90^\circ$。记外接圆半径为 $R$，则 $|\overrightarrow{BC}|=2R$、$|\overrightarrow{OA}|=R$； 条件又给 $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{OA}|=R$。在直角三角形 $ABC$ 中

$$\cos\angle ABC=\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{BC}|}=\frac{R}{2R}=\frac12, \qquad \angle ABC=60^\circ .$$

第三步：算投影向量。 $\overrightarrow{BA}$ 在 $\overrightarrow{BC}$ 上的投影向量等于

$$\left(|\overrightarrow{BA}|\cos\angle ABC\right)\frac{\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|} =\left(R\times\frac12\right)\times\frac{\overrightarrow{BC}}{2R}=\frac14\overrightarrow{BC}.$$

选 (A)。

也可以不求角，直接用数量积的公式算。因为 $\angle BAC=90^\circ$，$\overrightarrow{BC}$ 在 $\overrightarrow{BA}$ 方向上的投影恰是 $\overrightarrow{BA}$ 本身，故 $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{BA}|^2=R^2$，于是

$$\frac{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|^2}\overrightarrow{BC} =\frac{R^2}{4R^2}\overrightarrow{BC}=\frac14\overrightarrow{BC}.$$

排除法先砍掉一半。 $\angle ABC$ 是锐角，投影向量必与 $\overrightarrow{BC}$ 同向、系数为正， (C)(D) 立刻出局。剩下 $\frac14$ 与 $\frac{\sqrt3}{4}$ 的差别正是 $\cos60^\circ$ 与 $\cos30^\circ$ 之差—— 把 $R$ 配给哪条边（题目给的是 $|\overrightarrow{AB}|=R$，不是 $|\overrightarrow{AC}|=R$）决定了答案， 读题时要盯住 $|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{AB}|$ 这一条。

习题6.2 第 22 题

22. 如图，O 是平行四边形 ABCD 外一点，用 $\overrightarrow{OA}$ ， $\overrightarrow{OB}$ ， $\overrightarrow{OC}$ 表示 $\overrightarrow{OD}$ .

平行四边形 $ABCD$ 的关键等式是一组对边相等：$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$。 把两边都拆到公共起点 $O$：

$$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD},$$

解出 $\overrightarrow{OD}$：

$$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}.$$

也可以沿边走一圈：

$$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC} =\overrightarrow{OA}+\left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}\right),$$

结果一样（用的是平行四边形的另一组对边 $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$）。

两点提醒。 一是 $O$ 在四边形外、内、甚至落在某条边上都不影响推导——过程只用了 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，$O$ 只是一个公共起点，题目说”外一点”只是为了图好画。 二是把结果移项写成

$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD},$$

它说的是两条对角线的中点重合（两边同除以 $2$ 就看出来了）。下一题正是从这个形式出发的。

习题6.2 第 23 题

23. 已知 $O$ 为四边形 $ABCD$ 所在平面内一点, 且向量 $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$, $\overrightarrow{OD}$ 满足等式 $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}$.

(1) 作出满足条件的四边形 ABCD.

(2) 四边形 ABCD 有什么特点？请证明你的猜想.

(1) 先把等式整理成”两个差相等”的形式：

$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD} \iff \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC} \iff \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}.$$

作法：任取一点 $O$，任意作 $\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC}$（只要保证 $A$、$B$、$C$ 不共线）， 再按 $\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ 定出 $D$；等价的画法是从 $C$ 出发作 $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$，终点即 $D$。依次连 $A$、$B$、$C$、$D$，就得到满足条件的四边形。

(2) 四边形 $ABCD$ 是平行四边形。 两种证法：

证法一（看对边）。 由上面的等价变形得 $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$，两边取相反向量得 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，即一组对边 $AB$ 与 $DC$ 平行且相等，故是平行四边形。

证法二（看对角线）。 把原等式两边同除以 $2$：

$$\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}}{2}=\frac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}}{2}.$$

左边是 $AC$ 中点相对 $O$ 的位置向量，右边是 $BD$ 中点的——两条对角线的中点重合， 即对角线互相平分，故是平行四边形。

“猜想”要猜得准。 条件里 $O$ 完全自由，所以结论不可能牵涉 $O$，只能是 $A$、$B$、$C$、$D$ 四点之间的性质。证法二把这一点讲得最透：等式的真正内容是”$AC$ 与 $BD$ 共中点”，与 $O$ 选在 哪里无关。另外补一句退化情形：若 $A$、$B$、$C$ 共线，则四点共线，得到的是压成一条线段的 退化图形，所以作图时应取不共线的三点。

习题6.2 第 24 题

24. 如图，在 $\odot C$ 中，是不是只需知道 $\odot C$ 的半径或弦 $AB$ 的长度，就可以求出 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ 的值？

先把 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ 算清楚。$C$ 是圆心、$A$ 与 $B$ 在圆上，所以 $|CA|=|CB|=R$，$\triangle ABC$ 是以 $C$ 为顶点的等腰三角形，$C$ 到底边 $AB$ 的垂足恰是 $AB$ 的中点 $M$。把 $\overrightarrow{AC}$ 沿 $AB$ 拆成两段：

$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} =\overrightarrow{AB}\cdot\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC}\right) =\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{MC} =|\overrightarrow{AB}|\times\frac{|\overrightarrow{AB}|}{2}+0=\frac{|\overrightarrow{AB}|^2}{2}$$

（$\overrightarrow{MC}\perp\overrightarrow{AB}$，那一项为零；$\overrightarrow{AM}$ 与 $\overrightarrow{AB}$ 同向，长度是一半）。

于是结论分两句：

• 只知弦 $AB$ 的长度就够了：$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{|AB|^2}{2}$，与半径无关。
• 只知半径 $R$ 不够：同一个圆里弦长可以从接近 $0$ 变到 $2R$，数量积随之从接近 $0$ 变到 $2R^2$，不是定值。

答：只需知道弦 $AB$ 的长度，即可求出 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{|AB|^2}{2}$；只知道半径则不能确定。

用夹角公式再验一遍：设 $\angle BAC=\alpha$，等腰三角形里 $\cos\alpha=\dfrac{|AB|/2}{R}$，故

$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=|AB|\times R\times\frac{|AB|}{2R}=\frac{|AB|^2}{2},$$

$R$ 自己约掉了——这就是”半径给了也没用、弦长才是唯一的自由量”的算式解释。

这道题的一般化是本节最好用的一句口诀： 一个向量点乘另一个向量，等于它的长度乘对方在它方向上的投影长度。 凡是”两向量之一垂直于第三条边”或”等腰、圆心到弦”的图形，都能像这样 一步把点乘化成长度的乘积；2020 年浙江卷第 17 题（两个单位向量夹角受限时求 $\cos^2\theta$ 的最小值） 就是这条口诀的加强版——那里把 $\boldsymbol b$ 拆成”沿 $\boldsymbol a$ 的一份 + 垂直于 $\boldsymbol a$ 的一份”， 二次比二次的分式立刻约成一次比一次。