6.2.4 向量的数量积

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6.2.4 向量的数量积

前面我们学习了向量的加、减运算. 类比数的运算，出现了一个自然的问题：向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？

在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s（图 6.2-18），那么力 F 所做的功

$W = | \boldsymbol {F} | | \boldsymbol {s} | \cos \theta ,$

其中 $\theta$ 是 F 与 s 的夹角.

功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定。这给我们一种启示，能否把“功”看作两个向量“相乘”的结果呢？受此启发，我们引入向量“数量积”的概念。

因为力做功的计算公式中涉及力与位移的夹角，所以我们先要定义向量的夹角概念.

已知两个非零向量 a，b （图 6.2-19），O 是平面上的任意一点，作 $\overrightarrow{OA}=a$ ， $\overrightarrow{OB}=b$ ，则 $\angle AOB=\theta$ （ $0\leqslant\theta\leqslant\pi$ ）叫做向量 a 与 b 的夹角.

显然，当 $\theta=0$ 时，a 与 b 同向；当 $\theta=\pi$ 时，a 与 b 反向.

如果 $a$ 与 $b$ 的夹角是 $\frac{\pi}{2}$，我们说 $a$ 与 $b$ 垂直，记作 $a \perp b$.

已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 $\theta$ ，我们把数量 $\left|a\right|\left|b\right|\cos\theta$ 叫做向量 a 与 b 的数量积（或内积（inner product）），记作 $a \cdot b$ ，即

a, b 的夹角记作 $\langle a, b \rangle$ .

$\boldsymbol {a} \cdot \boldsymbol {b} = | \boldsymbol {a} | | \boldsymbol {b} | \cos \theta .$

规定：零向量与任一向量的数量积为 0.

对比向量的线性运算，我们发现，向量线性运算的结果是一个向量，而两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关.

例9 已知 $|a| = 5$ ， $|b| = 4$ ， $a$ 与 $b$ 的夹角 $\theta = \frac{2\pi}{3}$ ，求 $a \cdot b$.

解： a \cdot b = |a||b|\cos\theta$$=5\times4\times\cos\frac{2\pi}{3}$$=5\times4\times\left(-\frac{1}{2}\right)$$=-10.

例10 设 $|a| = 12, |b| = 9, a \cdot b = -54\sqrt{2}$，求 $a$ 与 $b$ 的夹角 $\theta$. 解：由 $a \cdot b = |a||b|\cos \theta$，得

$\cos \theta = \frac {\boldsymbol {a} \cdot \boldsymbol {b}}{| \boldsymbol {a} | | \boldsymbol {b} |} = \frac {- 5 4 \sqrt {2}}{1 2 \times 9} = - \frac {\sqrt {2}}{2}.$

因为 $\theta\in[0,\pi]$ ，所以 $\theta=\frac{3\pi}{4}$ .

如图6.2-20（1），设 $a$ ， $\pmb{b}$ 是两个非零向量， $\overrightarrow{AB} = a$ ， $\overrightarrow{CD} = b$ ，我们考虑如下的变换：过 $\overrightarrow{AB}$ 的起点 $A$ 和终点 $B$ ，分别作 $\overrightarrow{CD}$ 所在直线的垂线，垂足分别为 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ，得到$\overrightarrow{A_1B_1}$ ，我们称上述变换为向量 $a$ 向向量 $\pmb{b}$ 投影（project)， $\overrightarrow{A_1B_1}$ 叫做向量 $a$ 在向量 $\pmb{b}$ 上的投影向量.

如图 6.2-20（2），我们可以在平面内任取一点 O，作 $\overrightarrow{OM}=a,\overrightarrow{ON}=b$ 。过点 M 作直线 ON 的垂线，垂足为 $M_{1}$ ，则 $\overrightarrow{OM_{1}}$ 就是向量 a 在向量 b 上的投影向量。

探究

如图6.2-20（2），设与 $\pmb{b}$ 方向相同的单位向量为 $e$ ， $a$ 与 $\pmb{b}$ 的夹角为 $\theta$ ，那么$\overrightarrow{OM_1}$ 与 $e$ ， $a$ ， $\theta$ 之间有怎样的关系？

显然，$\overrightarrow{OM_1}$ 与 $e$ 共线，于是

$\overrightarrow {O M _ {1}} = \lambda \boldsymbol {e}.$

下面我们探究 $\lambda$ 与 $a$ ，$\theta$ 的关系，进而给出 $\overrightarrow{OM_1}$ 的明确表达式．我们分 $\theta$ 为锐角、直角、钝角以及 $\theta = 0$ ，$\theta = \pi$ 等情况进行讨论.

当 $\theta$ 为锐角（图6.2-21(1))时， $\overrightarrow{OM_1}$ 与 $\pmb{e}$ 方向相同， $\lambda = |\overrightarrow{OM_1}| = |\pmb{a}|\cos \theta$ ，所以

$\overrightarrow {O M _ {1}} = | \overrightarrow {O M _ {1}} | \boldsymbol {e} = | \boldsymbol {a} | \cos \theta \boldsymbol {e};$

当 $\theta$ 为直角（图6.2-21(2))时， $\lambda = 0$ ，所以

$\overrightarrow {O M _ {1}} = \mathbf {0} = | \boldsymbol {a} | \cos \frac {\pi}{2} \boldsymbol {e};$

当 $\theta$ 为钝角（图 6.2-21(3)）时， $\overrightarrow{OM_{1}}$ 与 e 方向相反，所以

$\begin{array}{r l} \lambda & = - | \overrightarrow {O M _ {1}} | = - | \boldsymbol {a} | \cos \angle M O M _ {1} \\ & = - | \boldsymbol {a} | \cos (\pi - \theta) = | \boldsymbol {a} | \cos \theta , \end{array}$

即

$\overrightarrow {O M _ {1}} = | \boldsymbol {a} | \cos \theta \boldsymbol {e}.$

当 $\theta = 0$ 时， $\lambda = |a|$ ，所以

$\overrightarrow {O M _ {1}} = | \boldsymbol {a} | \boldsymbol {e} = | \boldsymbol {a} | \cos 0 \boldsymbol {e};$

当 $\theta = \pi$ 时，$\lambda = -|a|$，所以

$\overrightarrow {O M _ {1}} = - | \boldsymbol {a} | \boldsymbol {e} = | \boldsymbol {a} | \cos \pi \boldsymbol {e}.$

从上面的讨论可知，对于任意的 $\theta \in [0, \pi]$，都有

$\overrightarrow {O M _ {1}} = | \boldsymbol {a} | \cos \theta \boldsymbol {e}.$

探究

从上面的探究我们看到，两个非零向量 $a$ 与 $b$ 相互平行或垂直时，向量 $a$ 在向量 $b$ 上的投影向量具有特殊性.这时，它们的数量积又有怎样的特殊性？

由向量数量积的定义，可以得到向量数量积的如下重要性质.

设 $a, b$ 是非零向量，它们的夹角是 $\theta, e$ 是与 $b$ 方向相同的单位向量，则

(1) $a \cdot e = e \cdot a = |a| \cos \theta.$

如果 $a \cdot b = 0$ ，是否有 a = 0，或 b = 0？

(2) $a \perp b \Leftrightarrow a \cdot b = 0.$

（3）当 $a$ 与 $b$ 同向时，$a \cdot b = |a||b|$；当 $a$ 与 $b$ 反向时，$a \cdot b = -|a||b|$。特别地，$a \cdot a = |a|^2$ 或 $|a| = \sqrt{a \cdot a}$。

$a \cdot a$ 常常记作 $a^{2}$ .

此外，由 $|\cos \theta| \leqslant 1$ 还可以得到

(4) $|a \cdot b| \leqslant |a||b|$.

练习

1. 已知 $\left| p \right| = 8$ ， $\left| q \right| = 6$ ，p 和 q 的夹角是 $60^{\circ}$ ，求 $p \cdot q$ .

2. 已知 $\triangle ABC$ 中，$\overrightarrow{AB} = a$，$\overrightarrow{AC} = b$，当 $a \cdot b < 0$ 或 $a \cdot b = 0$ 时，试判断 $\triangle ABC$ 的形状.

3. 已知 $|a| = 6$，$e$ 为单位向量，当向量 $a$，$e$ 的夹角 $\theta$ 分别等于 $45^\circ$，$90^\circ$，$135^\circ$ 时，求向量 $a$ 在向量 $e$ 上的投影向量.

与向量的线性运算一样，定义了向量的数量积后，就要研究数量积运算是否满足一些运算律.

探究

类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？你能证明吗？

由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：

对于向量 a, b, c 和实数 $\lambda$ ，有

(1) $a \cdot b = b \cdot a$;

(2) $(\lambda a) \cdot b = \lambda (a \cdot b) = a \cdot (\lambda b)$;

(3) $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c.$

下面我们利用向量投影证明分配律（3）.

证明：如图6.2-22，任取一点 $O$ ，作 $\overrightarrow{OA} = a$ ， $\overrightarrow{OB} = b$ ， $\overrightarrow{OC} = c$ ， $\overrightarrow{OD} = a + b$

设向量 $a, b, a + b$ 与 $c$ 的夹角分别为 $\theta_{1}, \theta_{2}, \theta$，它们在向量 $c$ 上的投影向量分别为 $\overrightarrow{OA_{1}}, \overrightarrow{OB_{1}}, \overrightarrow{OD_{1}}$，与 $c$ 方向相同的单位向量为 $e$，则

$\begin{array}{l} \overrightarrow {O A _ {1}} = | \boldsymbol {a} | \cos \theta_ {1} \boldsymbol {e}, \\ \overrightarrow {O B _ {1}} = | \boldsymbol {b} | \cos \theta_ {2} \boldsymbol {e}, \\ \overrightarrow {O D _ {1}} = | \boldsymbol {a} + \boldsymbol {b} | \cos \theta \boldsymbol {e}. \end{array}$

因为 $a=\overrightarrow{BD}$ ，所以 $\overrightarrow{OA_{1}}=\overrightarrow{B_{1}D_{1}}$ 。于是

$\overrightarrow {O D _ {1}} = \overrightarrow {O B _ {1}} + \overrightarrow {B _ {1} D _ {1}} = \overrightarrow {O B _ {1}} + \overrightarrow {O A _ {1}},$

即

$\left| \boldsymbol {a} + \boldsymbol {b} \right| \cos \theta \boldsymbol {e} = \left| \boldsymbol {a} \right| \cos \theta_ {1} \boldsymbol {e} + \left| \boldsymbol {b} \right| \cos \theta_ {2} \boldsymbol {e}.$

整理，得

$(\mid a + b \mid \cos \theta - \mid a \mid \cos \theta_ {1} - \mid b \mid \cos \theta_ {2}) e = 0,$

所以

$\mid \boldsymbol {a} + \boldsymbol {b} \mid \cos \theta - \mid \boldsymbol {a} \mid \cos \theta_ {1} - \mid \boldsymbol {b} \mid \cos \theta_ {2} = 0,$

即

$\left| \boldsymbol {a} + \boldsymbol {b} \right| \cos \theta = \left| \boldsymbol {a} \right| \cos \theta_ {1} + \left| \boldsymbol {b} \right| \cos \theta_ {2}.$

所以

$\left| \boldsymbol {a} + \boldsymbol {b} \right| \left| \boldsymbol {c} \right| \cos \theta = \left| \boldsymbol {a} \right| \left| \boldsymbol {c} \right| \cos \theta_ {1} + \left| \boldsymbol {b} \right| \left| \boldsymbol {c} \right| \cos \theta_ {2}.$

因此

$(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c.$

思考

设 $a, b, c$ 是向量，$(a \cdot b)c = a(b \cdot c)$ 一定成立吗？为什么？

例 11 我们知道，对任意 $a, b \in R$ ，恒有

$(a + b) ^ {2} = a ^ {2} + 2 a b + b ^ {2}, (a + b) (a - b) = a ^ {2} - b ^ {2}.$

对任意向量 a，b，是否也有下面类似的结论？

(1) $(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b})^2 = \boldsymbol{a}^2 + 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + \boldsymbol{b}^2$;

(2) $(a+b)\cdot(a-b)=a^{2}-b^{2}.$

解：(1) (a+b)^{2}=(a+b)\cdot(a+b)$$=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b$$=a^{2}+2a\cdot b+b^{2} ;

(2) $(a + b) \cdot (a - b) = a \cdot a - a \cdot b + b \cdot a - b \cdot b = a^2 - b^2.$

因此，上述结论是成立的.

例 12 已知 $\left|a\right|=6,\left|b\right|=4,\boldsymbol{a}$ 与 b 的夹角为 $60^{\circ}$ ，求 $(a+2b)\cdot(a-3b)$ .

解： $(a+2b)\cdot(a-3b)$

$\begin{array}{l} = a \cdot a - 3 a \cdot b + 2 b \cdot a - 6 b \cdot b \\ = | a | ^ {2} - a \cdot b - 6 | b | ^ {2} \\ = | a | ^ {2} - | a | | b | \cos \theta - 6 | b | ^ {2} \\ = 6 ^ {2} - 6 \times 4 \times \cos 6 0 ^ {\circ} - 6 \times 4 ^ {2} \\ = - 7 2. \end{array}$

例13 已知 $|a| = 3$ ， $|b| = 4$ ，且 $a$ 与 $b$ 不共线.当 $k$ 为何值时，向量 $a + kb$ 与 $a - kb$ 互相垂直？

解： $a + kb$ 与 $a - kb$ 互相垂直的充要条件是

$(\boldsymbol {a} + k \boldsymbol {b}) \cdot (\boldsymbol {a} - k \boldsymbol {b}) = 0,$

即

$\boldsymbol {a} ^ {2} - k ^ {2} \boldsymbol {b} ^ {2} = 0.$

因为 $a^2 = 3^2 = 9, b^2 = 4^2 = 16,$

所以 $9 - 16k^2 = 0.$

解得 $k = \pm \frac{3}{4}$

也就是说，当 $k = \pm \frac{3}{4}$ 时，$a + kb$ 与 $a - kb$ 互相垂直.

练习

1. 已知 $|a| = 1$, $|b| = 2$, $|c| = 3$, 向量 $a$ 与 $b$ 的夹角为 $\frac{\pi}{6}$, 向量 $b$ 与 $c$ 的夹角为 $\frac{\pi}{4}$, 计算: (1) $(a \cdot b)c$; (2) $a(b \cdot c)$.

2. 已知 $|a| = \sqrt{2}$，$|b| = 1$，且 $a - b$ 与 $a + 2b$ 互相垂直，求证 $a \perp b$.

3. 求证： $(a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4a\cdot b.$

习题6.2

复习巩固

1. 如果 $a$ 表示“向东走 $10\mathrm{km}$ ”，$b$ 表示“向西走 $5\mathrm{km}$ ”，$c$ 表示“向北走 $10\mathrm{km}$ ”，$d$ 表示“向南走 $5\mathrm{km}$ ”，那么下列向量具有什么意义？(1）$a + a$；(2）$a + b$；(3）$a + c$；(4）$b + d$；(5）$b + c + b$；(6）$d + a + d$。

2. 一架飞机向北飞行 $300 \mathrm{~km}$, 然后改变方向向西飞行 $400 \mathrm{~km}$, 求飞机飞行的路程及两次位移的合成.

3. 一艘船垂直于对岸航行，航行速度的大小为 $16 \, km/h$ ，同时河水流速的大小为 $4 \, km/h$ 。求船实际航行的速度的大小与方向（精确到 $1^{\circ}$ ）。

4. 化简：

(1) $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC} +\overrightarrow{CA}$

(2) $(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{MB}) + \overrightarrow{BO} + \overrightarrow{OM}$;

(3) $\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OC} +\overrightarrow{BO} +\overrightarrow{CO};$

(4) $\overrightarrow{AB} -\overrightarrow{AC} +\overrightarrow{BD} -\overrightarrow{CD};$

(5) $\overrightarrow{OA} -\overrightarrow{OD} +\overrightarrow{AD}$;

(6) $\overrightarrow{AB} -\overrightarrow{AD} -\overrightarrow{DC}$;

(7) $\overrightarrow{NQ} +\overrightarrow{QP} +\overrightarrow{MN} -\overrightarrow{MP}.$

5. 作图验证： (1) $\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})+\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=\boldsymbol{a}$ ; (2) $\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})-\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=\boldsymbol{b}$ .

6.（1）已知向量 $a$ ， $b$ ，求作向量 $c$ ，使 $a + b + c = 0$

(2) (1) 中表示 $a, b, c$ 的有向线段能构成三角形吗?

7. 已知 $a, b$ 为两个非零向量，

(1) 求作向量 $a + b$ ，a - b；

(2) 当向量 a, b 成什么位置关系时，满足 $\left|a+b\right|=\left|a-b\right|$ ？(不要求证明)

8. 化简：

(1) $5(2a-2b)+4(2b-3a)$ ;

(2) $6(a - 3b + c) - 4(-a + b - c)$;

(3) $\frac{1}{2}\left[(3\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b}) + 5\boldsymbol{a} - \frac{1}{3}(6\boldsymbol{a} - 9\boldsymbol{b})\right]$;

(4) $(x - y)(a + b) - (x - y)(a - b)$.

9. 如图， $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ ， $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ . 求证 $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ .

(第9题)

10. 填空：

（1）若 a，b 满足 $\left|a\right|=2$ ， $\left|b\right|=3$ ，则 $\left|a+b\right|$ 的最大值为 ____，最小值为 ____；

(2) 当不共线的向量 a，b 满足 ____ 时， $a+b$ 平分 a 与 b 的夹角.

11.（1）已知 $|a| = 3$ ， $|b| = 4$ ，且 $a$ 与 $b$ 的夹角 $\theta = 150^{\circ}$ ，求 $a \cdot b$ ， $(a + b)^2$ ， $|a + b|$

(2) 已知 $\left|a\right|=2,\left|b\right|=5$ ，且 $a\cdot b=-3$ ，求 $\left|a+b\right|,\left|a-b\right|$

12. 求证：

$(\lambda \boldsymbol {a}) \cdot \boldsymbol {b} = \lambda (\boldsymbol {a} \cdot \boldsymbol {b}) = \boldsymbol {a} \cdot (\lambda \boldsymbol {b}).$

综合运用

13. 根据下列各小题中的条件，分别判断四边形 ABCD 的形状，并给出证明： (1) $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ ; (2) $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ ; (3) $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ ，且 $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{AD}\right|$ .

14. 在 $\triangle ABC$ 中，$\overrightarrow{AD} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$，$DE \parallel BC$，且与边 $AC$ 相交于点 $E$，$\triangle ABC$ 的中线 $AM$ 与 $DE$ 相交于点 $N$。设 $\overrightarrow{AB} = a$，$\overrightarrow{AC} = b$，用 $a$，$b$ 分别表示向量 $\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{DE}$，$\overrightarrow{DB}$，$\overrightarrow{EC}$，$\overrightarrow{DN}$，$\overrightarrow{AN}$。

15. 如图，在任意四边形 $ABCD$ 中，$E$，$F$ 分别为 $AD$，$BC$ 的中点，求证：$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} = 2\overrightarrow{EF}$.

16. 飞机从甲地沿北偏西 $15^{\circ}$ 的方向飞行 $1400\mathrm{km}$ 到达乙地，再从乙地沿南偏东 $75^{\circ}$ 的方向飞行 $1400\mathrm{km}$ 到达丙地. 画出飞机飞行的位移示意图，并说明丙地在甲地的什么方向？丙地距甲地多远？

(第15题)

17.（1）如图（1），在 $\triangle ABC$ 中，计算 $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC} +\overrightarrow{CA}$ (2）如图（2），在四边形ABCD中，计算 $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC} +\overrightarrow{CD} +\overrightarrow{DA}$ (3）如图（3），在 $n$ 边形 $A_{1}A_{2}A_{3}\dots A_{n}$ 中， $\overrightarrow{A_1A_2} +\overrightarrow{A_2A_3} +\overrightarrow{A_3A_4} +\dots +\overrightarrow{A_{n - 1}A_n} +\overrightarrow{A_nA_1} = ?$ 证明你的结论.

18. 已知 $|a| = 4$，$|b| = 3$，且 $(2a - 3b) \cdot (2a + b) = 61$，求 $a$ 与 $b$ 的夹角 $\theta$.

19. 已知 $|a| = 8$，$|b| = 10$，且 $|a + b| = 16$，求 $a$ 与 $b$ 的夹角 $\theta$ （精确到 $1^\circ$）。（可用计算工具）

20. 已知 $a$ 是非零向量，$b \neq c$，求证：

$a \cdot b = a \cdot c \Leftrightarrow a \perp (b - c).$

拓广探索

21. 已知 $\triangle ABC$ 的外接圆圆心为 $O$, 且 $2\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$, $|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{AB}|$, 则向量 $\overrightarrow{BA}$ 在向量 $\overrightarrow{BC}$ 上的投影向量为 ( ). (A) $\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}$ (B) $\frac{\sqrt{3}}{4}\overrightarrow{BC}$ (C) $-\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}$ (D) $-\frac{\sqrt{3}}{4}\overrightarrow{BC}$

22. 如图，O 是平行四边形 ABCD 外一点，用 $\overrightarrow{OA}$ ， $\overrightarrow{OB}$ ， $\overrightarrow{OC}$ 表示 $\overrightarrow{OD}$ .

23. 已知 $O$ 为四边形 $ABCD$ 所在平面内一点, 且向量 $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$, $\overrightarrow{OD}$ 满足等式 $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}$.

(1) 作出满足条件的四边形 ABCD.

(2) 四边形 ABCD 有什么特点？请证明你的猜想.

24. 如图，在 $\odot C$ 中，是不是只需知道 $\odot C$ 的半径或弦 $AB$ 的长度，就可以求出 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ 的值？