把给定的常数当参数

解题套路

1. 换字母：把条件里那个突兀的常数换成 $\lambda$（其余条件不动），照原路径推一遍， 得到”目标量 $=$ 关于 $\lambda$ 的表达式”。这一步不需要新知识，只是不许提前代数。
2. 找特殊值：写出”如果多一个好性质会怎样”的方程——常见的好性质是 等腰／垂直／相切／恰好取到等号／某一项恰好为零——解出对应的 $\lambda_0$。
3. 对比：若 $\lambda_0$ 正好等于题目给的那个数，说明这条好性质是设计出来的， 可以直接拿来当起点，两问常常各剩一行。若不等，也有收获： 你顺手知道了这道题”离那个特殊情形有多远”，以及改动哪个数会让答案变漂亮。

为什么值得多花这两分钟

• 它把一道题变成一族题。 $\lambda$ 的表达式在手，换个数字的同类题不用重做。
• 它能证伪”巧合”。 算出来的答案漂亮（整数、恰好约掉、恰好等腰）， 多半不是运气；参数化会告诉你漂亮的原因，从而告诉你能不能反过来利用它。
• 它是检查算错的第二只眼。 参数式代回题给的数应当复现原答案； 对不上就说明前面某一步依赖了那个具体数字（往往正是算错的地方）。

注意

• 别把参数化当成万能：只有当那个常数参与了结构（决定角度、比例、判别式符号）时 才值得换；如果它只是最后一步的一个倍数，换了也看不出东西。
• 换掉一个就够。同时把两个数字都换成字母，表达式会复杂到看不出结构， 失去这一招的全部意义。
• 回代必须做。只推出 $\lambda$ 的式子却不代回原数字，等于没有验算； 这一步也是唯一能暴露”我把条件抄错了”的环节。