中心对称点两两配对

解题套路

若定点集关于点 $O$ 中心对称（每个 $A$ 都有一个 $A'$ 使 $O$ 是 $AA'$ 的中点），处理任何形如 $\sum f(|PA_i|)$ 的量时，先配对再求和：

配对之后，每一对给出的都是同一个 $|PO|^2$ 加一个常数，$P$ 的方向信息全部消失。

什么图形能配对

• 正偶数边形的顶点：$A_i$ 与 $A_{i+n/2}$ 是一条直径的两端；
• 矩形、平行四边形的四个顶点（对角线交点为中心）；
• 圆上关于圆心对称的任意点对；
• 一般地，任何中心对称点集。

正奇数边形配不了对——那时改用坐标法或直接用 $\sum\overrightarrow{OA_i}=\boldsymbol 0$。

为什么值得先配对

一个个展开也能算，但要处理 $n$ 个交叉项 $-2\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OA_i}$，最后靠「它们加起来是零」收尾；配对则是两项一抵，每一步都看得见抵消，不必先知道总和为零这个结论，也不必写任何坐标。

失手处

• 配错对：正 $2m$ 边形里与 $A_i$ 配对的是 $A_{i+m}$（隔一半），不是相邻的 $A_{i+1}$。
• 常数项漏乘：每对贡献 $2|OA|^2$，$m$ 对就是 $2m|OA|^2=n|OA|^2$。