8.6.3 平面与平面垂直

文字转写

设截得棱台的棱锥的体积为 V，去掉的棱锥的体积为 $V'$ 、高为 $h'$ ，则 $PO' = h'$ . 于是

$V ^ {\prime} = \frac {1}{3} S ^ {\prime} h ^ {\prime}, V = \frac {1}{3} S (h ^ {\prime} + h).$

所以棱台的体积

V _ {\text {棱台}} = V - V ^ {\prime} = \frac {1}{3} S (h ^ {\prime} + h) - \frac {1}{3} S ^ {\prime} h ^ {\prime} = \frac {1}{3} \big [ S h + (S - S ^ {\prime}) h ^ {\prime} \big ].\tag{①}

由棱台的上、下底面平行，可以证明棱台的上、下底面相似 $^{①}$ ，并且

$\frac {S ^ {\prime}}{S} = \frac {h ^ {\prime 2}}{(h ^ {\prime} + h) ^ {2}},$

所以

$h ^ {\prime} = \frac {\sqrt {S ^ {\prime}} h}{\sqrt {S} - \sqrt {S ^ {\prime}}}.$

① 请你自己证明这个结论.

代入①，得

$\begin{array}{r l} V _ {\text {棱台}} & = \frac {1}{3} h \left[ S + (S - S ^ {\prime}) \frac {\sqrt {S ^ {\prime}}}{\sqrt {S} - \sqrt {S ^ {\prime}}} \right] \\ & = \frac {1}{3} h \left(S ^ {\prime} + \sqrt {S ^ {\prime} S} + S\right). \end{array}$

练习

1. 已知直线 $a, b$ 和平面 $\alpha$，且 $a \perp b, a \perp \alpha$，则 $b$ 与 $\alpha$ 的位置关系是 ____.

2. 已知 $A, B$ 两点在平面 $\alpha$ 的同侧，且它们与 $\alpha$ 的距离相等，求证：直线 $AB \parallel \alpha$.

3. 如图，EA 和 DC 都垂直于平面 ABC，且 EA = 2DC，F 是 EB 的中点，求证： $DF \parallel$ 平面 ABC.

4. 求证：垂直于同一条直线的两个平面互相平行。（提示：过这条直线作平面与这两个平面相交，则它们的交线平行。）

8.6.3 平面与平面垂直

像研究直线与平面垂直一样，我们首先应给出平面与平面垂直的定义。那么，该如何定义呢？不妨回顾一下直线与平面垂直、直线与直线垂直的定义过程。

在定义直线与平面垂直时，我们利用了直线与直线的垂直。所以，直线与直线垂直是研究直线、平面垂直问题的基础。

在平面几何中，我们先定义了角的概念，利用角刻画两条相交直线的位置关系，进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况。类似地，我们需要先引进二面角的概念，用以刻画两个相交平面的位置关系，进而研究两个平面互相垂直.

如图8.6-21，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角（dihedral angle). 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 棱为 $AB$ ，面分别为 $\alpha$ ，$\beta$ 的二面角记作二面角 $\alpha - AB - \beta$ . 有时为了方便，也可在 $\alpha$ ，$\beta$ 内（棱以外的半平面部分）分别取点 $P$ ，$Q$ ，将这个二面角记作二面角 $P - AB - Q$ . 如果棱记作 $l$ ，那么这个二面角记作二面角 $\alpha - l - \beta$ 或二面角 $P - l - Q$

• •

平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.

思考

如图 8.6-22，在日常生活中，我们常说“把门开大一些”，是指哪个角大一些？受此启发，你认为应该怎样刻画二面角的大小呢？

如图8.6-23，在二面角 $\alpha - l - \beta$ 的棱 $l$ 上任取一点 $O$ ，以点 $O$ 为垂足，在半平面 $\alpha$ 和 $\beta$ 内分别作垂直于棱 $l$ 的射线 $OA$ 和 $OB$ ，则射线 $OA$ 和 $OB$ 构成的 $\angle AOB$ 叫做二面角的平面角.

?

$\angle AOB$ 的大小与点 $O$ 在 $l$ 上的位置有关吗？为什么？

二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。平面角是直角的二面角叫做直二面角。二面角的平面角 $\alpha$ 的取值范围是 $0^{\circ} \leqslant \alpha \leqslant 180^{\circ}$。

观察

教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及其度数.

教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交，它们所成的二面角是直二面角，我们常说墙面直立于地面上.

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。平面 $\alpha$ 与 $\beta$ 垂直，记作 $\alpha \perp \beta$。

如图8.6-24，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直.

在明确了两个平面互相垂直的定义的基础上，我们研究两个平面垂直的判定和性质。先研究平面与平面垂直的判定。

观察

如图 8.6-25，建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直。如果系有铅锤的细线紧贴墙面，工人师傅就认为墙面垂直于地面，否则他就认为墙面不垂直于地面。这种方法说明了什么道理？

这种方法告诉我们，如果墙面经过地面的垂线，那么墙面与地面垂直。类似的结论也可以在长方体中发现。如图8.6-26，在长方体 $ABCD-A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ 中，平面 $ABB^{\prime}A^{\prime}$ 经过平面ABCD的一条垂线 $AA^{\prime}$ ，此时，平面 $ABB^{\prime}A^{\prime}$ 垂直于平面ABCD。

一般地，我们有下面判定两个平面互相垂直的定理：

定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.

图8.6-26

它可以用符号表示为：

$a \subset \alpha , a \perp \beta \Rightarrow \alpha \perp \beta .$

这个定理说明，可以由直线与平面垂直证明平面与平面垂直.

例 7 如图 8.6-27 所示，在正方体 $ABCD-A'B'C'D'$ 中，求证：平面 $A'BD \perp$ 平面 $ACC'A'$ .

分析：要证平面 $A^{\prime}BD\bot$ 平面 $ACC^{\prime}A^{\prime}$ ，根据两个平面垂直的判定定理，只需证明平面 $A^{\prime}BD$ 经过平面 $ACC^{\prime}A^{\prime}$ 的一条垂线即可．这需要利用 $AC$ ， $BD$ 是正方形ABCD的对角线.

证明：∵ $ABCD-A'B'C'D'$ 是正方体，

∴ $AA' \perp$ 平面 ABCD，

图8.6-27

∴ $AA' \perp BD.$

又 $BD \perp AC, AA' \cap AC = A,$

∴ $BD \perp$ 平面 $ACC'A'$ ,

∴ 平面 $A^{\prime}BD \perp$ 平面 $ACC^{\prime}A^{\prime}$ .

例 8 如图 8.6-28, AB 是 $\odot O$ 的直径, PA 垂直于 $\odot O$ 所在的平面, C 是圆周上不同于 A, B 的任意一点. 求证: 平面 $PAC \perp$ 平面 PBC.

分析：要证明两个平面垂直，根据两个平面垂直的判定定理，只需证明其中一个平面内的一条直线垂直于另一个平面。而由直线和平面垂直的判定定理，还需证明这条直线和另一个平面内的两条相交直线垂直。在本题中，由题意可知 $BC \perp AC$，$BC \perp PA$，$AC \cap PA = A$，从而 $BC \perp$ 平面 $PAC$，进而平面 $PAC \perp$ 平面 $PBC$。

证明：∵ $PA \perp$ 平面 ABC，

$BC \subset$ 平面 ABC，

$\therefore PA \perp BC.$

∵ 点 C 是圆周上不同于 A，B 的任意一点，AB 是 $\odot O$ 的直径，

∴ $\angle BCA=90^{\circ}$ ，即 $BC \perp AC$ .

又 $PA \cap AC = A$ ， $PA \subset$ 平面 PAC， $AC \subset$ 平面 PAC，

∴ BC⊥平面 PAC.

又 $BC\subset$ 平面 $PBC$

∴ 平面 PAC⊥平面 PBC.

练习

1. 如图，检查工件的相邻两个（平）面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边和这个面是否密合就可以了。这是为什么？

2. 已知直线 $a, b$ 与平面 $\alpha, \beta, \gamma$，能使 $\alpha \perp \beta$ 的充分条件是（）. (A) $\alpha \perp \gamma, \beta \perp \gamma$ (B) $\alpha \cap \beta = a, b \perp a, b \subset \beta$ (C) $a \parallel \beta, a \parallel \alpha$ (D) $a \parallel \alpha, a \perp \beta$

(第1题)

3. 如图， $AB \perp$ 平面 BCD， $BC \perp CD$ ，你能发现哪些平面互相垂直？为什么？

4. 如图，在正三棱柱 $ABC-A'B'C'$ 中，$D$ 为棱 $AC$ 的中点．求证：平面 $BDC' \perp$ 平面 $ACC'A'$.

下面我们研究平面与平面垂直的性质，也就是在两个平面互相垂直的条件下，能推出哪些结论.

如果两个平面互相垂直，根据已有的研究经验，我们可以先研究其中一个平面内的直线与另一个平面具有什么位置关系.

探究

如图8.6-29，设 $\alpha \perp \beta, \alpha \cap \beta = a$。则 $\beta$ 内任意一条直线 $b$ 与 $a$ 有什么位置关系？相应地，$b$ 与 $\alpha$ 有什么位置关系？为什么？

显然，$b$ 与 $a$ 平行或相交. 当 $b \parallel a$ 时，$b \parallel \alpha$；当 $b$ 与 $a$ 相交时，$b$ 与 $\alpha$ 也相交.

特别地，当 $b \perp a$ 时，如图8.6-30，设 $b$ 与 $a$ 的交点为 $A$ ，过点 $A$ 在 $\alpha$ 内作直线 $c \perp a$ 则直线 $b$ ， $c$ 所成的角就是二面角 $\alpha - a - \beta$ 的平面角．由 $\alpha \perp \beta$ 知， $b \perp c$ ，又因为 $b \perp a$ ， $a$ 和 $c$ 是 $\alpha$ 内的两条相交直线，所以 $b \perp \alpha$

由此我们得到平面与平面垂直的性质定理：

定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.

这个定理说明，由平面与平面垂直可以得到直线与平面垂直.

这个性质定理可以用于解决现实生活中的问题。例如，装修房子时，要在墙壁上画出与地面垂直的直线，只需在墙面上画出地面与墙面的交线的垂线即可。

探究

设平面 $\alpha \perp$ 平面 $\beta$ ，点 $P$ 在平面 $\alpha$ 内，过点 $P$ 作平面 $\beta$ 的垂线 $a$ ，直线 $a$ 与平面 $\alpha$ 具有什么位置关系？

我们知道，过一点只能作一条直线与已知平面垂直。因此，如果过一点有两条直线与平面垂直，那么这两条直线重合。

如图8.6-31，设 $\alpha \cap \beta = c$ ，过点 $P$ 在平面 $\alpha$ 内作直线 $b \perp c$ ，根据平面与平面垂直的性质定理，$b \perp \beta$ 。因为过一点有且只有一条直线与平面 $\beta$ 垂直，所以直线 $a$ 与直线 $b$ 重合，因此 $a \subset \alpha$ 。

对于两个平面互相垂直的性质，我们探究了一个平面内的直线与另一个平面的特殊位置关系。如果直线不在两个平面内，或者把直线换成平面，你又能得到哪些结论？

下面的例子就是其中的一些结果.

例 9 如图 8.6-32，已知平面 $\alpha \perp$ 平面 $\beta$ ，直线 $a \perp \beta, a \not\subset \alpha$ ，判断 a 与 $\alpha$ 的位置关系.

解：在 $\alpha$ 内作垂直于 $\alpha$ 与 $\beta$ 交线的直线 b.

$\because \quad \alpha \perp \beta ,$

$\therefore \quad b \perp \beta.$

又 $a \perp \beta,$

即直线 a 与平面 $\alpha$ 平行.

例 10 如图 8.6-33，已知 $PA \perp$ 平面 ABC，平面 $PAB \perp$ 平面 PBC，求证： $BC \perp$ 平面 PAB.

分析：要证明 $BC \perp$ 平面 $PAB$，需证明 $BC$ 垂直于平面 $PAB$ 内的两条相交直线。由已知条件易得 $BC \perp PA$。再利用平面 $PAB \perp$ 平面 $PBC$，过点 $A$ 作 $PB$ 的垂线 $AE$，由两个平面垂直的性质可得 $BC \perp AE$。

证明：如图 8.6-34，过点 A 作 $AE \perp PB$ ，垂足为 E.

∵ 平面 $PAB \perp$ 平面 PBC，平面 $PAB \cap$ 平面 $PBC = PB$ ，

∴ $AE \perp$ 平面 PBC.

$\because BC \subset$ 平面 PBC,

∴ $AE \perp BC.$

∵ PA⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC，

$\therefore PA \perp BC.$

又 $PA\cap AE = A$

∴ BC⊥平面 PAB.

从本节的讨论可以看到，由直线与直线垂直可以判定直线与平面垂直；由直线与平面垂直的定义可以得到直线与直线垂直；由直线与平面垂直可以判定平面与平面垂直；而由平面与平面垂直的性质可以得到直线与平面垂直。这进一步揭示了直线、平面之间的位置关系可以相互转化。

1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“✓”，错误的画“×”.

（1）如果平面 $\alpha \perp$ 平面 $\beta$ ，那么平面 $\alpha$ 内所有直线都垂直于平面 $\beta$ . （）

(2) 如果平面 $\alpha \perp$ 平面 $\beta$ ，那么平面 $\alpha$ 内一定存在直线平行于平面 $\beta$ . （）

（3）如果平面 $\alpha$ 不垂直于平面 $\beta$ ，那么平面 $\alpha$ 内一定不存在直线垂直于平面 $\beta$ （ ）

2. 若平面 $\alpha \perp$ 平面 $\beta$，且 $\alpha \cap \beta = l$，则下列命题中正确的个数是（ ）.

(1) 平面 $\alpha$ 内的直线必垂直于平面 $\beta$ 内的任意一条直线.

(2) 平面 $\alpha$ 内的已知直线必垂直于平面 $\beta$ 内的无数条直线.

(3) 平面 $\alpha$ 内的任一条直线必垂直于平面 $\beta$ .

(4) 过平面 $\alpha$ 内任意一点作交线 l 的垂线，则此垂线必垂直于平面 $\beta$ . (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0

3. 已知 $\alpha, \beta$ 是两个不同的平面，$m$ 为平面 $\alpha$ 内的一条直线，则 “$\alpha \perp \beta$” 是 “$m \perp \beta$” 的（）. （A）充分不必要条件 (B）必要不充分条件 （C）充要条件 (D）既不充分也不必要条件

4. 已知平面 $\alpha, \beta$，直线 $a$，且 $\alpha \perp \beta, \alpha \cap \beta = AB, a \parallel \alpha, a \perp AB$，判断直线 $a$ 与平面 $\beta$ 的位置关系，并说明理由.

习题8.6

复习巩固

1. 选择题

（1）若空间中四条不同的直线 $l_{1}, l_{2}, l_{3}, l_{4}$ 满足 $l_{1} \perp l_{2}, l_{2} \perp l_{3}, l_{3} \perp l_{4}$，则下面结论正确的是（ ）.

(A) $l_{1} \perp l_{4}$ (B) $l_{1} / / l_{4}$

(C) $l_{1}, l_{4}$ 既不垂直也不平行 (D) $l_{1}, l_{4}$ 的位置关系不确定

(2) 设 $l, m, n$ 均为直线, 其中 $m, n$ 在平面 $\alpha$ 内, 则 “$l \perp \alpha$” 是 “$l \perp m$ 且 $l \perp n$” 的 ( ).

(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件

(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件

(3) 直线 $l_{1}, l_{2}$ 互相平行的一个充分条件是（）. (A) $l_{1}, l_{2}$ 都平行于同一个平面 (B) $l_{1}, l_{2}$ 与同一个平面所成的角相等 (C) $l_{1}, l_{2}$ 都垂直于同一个平面 (D) $l_{1}$ 平行于 $l_{2}$ 所在的平面

2. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画 “√”，错误的画 “×”.

（1）过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直. （）

(2) 过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行. （）

(3) 过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直. ( ) (4) 过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行. ( ) (5) 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. ( )

3. 判断下列命题是否正确，正确的说明理由，错误的举例说明. (1) 一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直； (2) 如果平面 $\alpha \parallel$ 平面 $\alpha_{1}$ ，平面 $\beta \parallel$ 平面 $\beta_{1}$ ，那么平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 所成的二面角和平面 $\alpha_{1}$ 与平面 $\beta_{1}$ 所成的二面角相等或互补； (3) 如果平面 $\alpha \perp$ 平面 $\beta$ ，平面 $\beta \perp$ 平面 $\gamma$ ，那么平面 $\alpha \perp$ 平面 $\gamma$ .

4. 如图，在直三棱柱 $ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$ 中，CA=CB，P 为 $A_{1}B$ 的中点，Q 为棱 $C_{1}C$ 的中点. 求证： (1) $PQ \perp AB$ ; (2) $PQ \perp C_{1}C$ ; (3) $PQ \perp A_{1}B$ .

(第4题)

5. 如图，在三棱锥 $P-ABC$ 中，$CD \perp AB$，垂足为 $D$，$PO \perp$ 底面 $ABC$，垂足为 $O$，且 $O$ 在 $CD$ 上，求证 $AB \perp PC$.

6. 如图，在正方体 $ABCD - A'B'C'D'$ 中，平面 $ABC'D'$ 与正方体的各个面所在的平面所成的二面角的大小分别是多少？

7. 如图，在三棱锥 $V-ABC$ 中，已知 $\angle VAB = \angle VAC = \angle ABC = 90^{\circ}$，判断平面 $VAB$ 与平面 $VBC$ 的位置关系，并说明理由.

8. 求证：如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直.

9. 已知平面 $\alpha, \beta, \gamma$，且 $\alpha \perp \gamma, \beta // \alpha$，求证 $\beta \perp \gamma$.

10. 已知平面 $\alpha, \beta, \gamma$，且 $\alpha \perp \gamma, \beta \perp \gamma, \alpha \cap \beta = l$，求证 $l \perp \gamma$.

综合运用

11. 如下页图，在正方体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中，点 $P$，$Q$ 分别为棱 $AD$，$CC_1$ 的中点. 求证 $A_1P \perp BQ$.

12. 如图，m，n 是两条相交直线， $l_{1}$ ， $l_{2}$ 是与 m，n 都垂直的两条直线，且直线 l 与 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 都相交，求证 $\angle1=\angle2$ .

13. 求证：两条平行直线与同一个平面所成的角相等.

14. 如图，在棱锥 $V-ABC$ 中，$VO \perp$ 平面 $ABC$，$O \in CD$，$VA = VB$，$AD = BD$，你能判定 $CD \perp AB$，以及 $AC = BC$ 吗？

15. 如图，在正方形 $SG_{1}G_{2}G_{3}$ 中，$E$，$F$ 分别是 $G_{1}G_{2}$，$G_{2}G_{3}$ 的中点，$D$ 是 $EF$ 的中点。若沿 $SE$，$SF$ 及 $EF$ 把这个正方形折成一个四面体，使 $G_{1}$，$G_{2}$，$G_{3}$ 三点重合，重合后的点记为 $G$，则在四面体 $S$-EFG 中，哪些棱与面互相垂直？

16. 求证：垂直于两个平行平面中的一个平面的直线也垂直于另一个平面.

17. 求证：三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.

18. 如图，在三棱锥 $V - ABC$ 中，$VA = VB = AB = AC = BC = 2$，$VC = 1$，作出二面角 $V - AB - C$ 的平面角，并求出它的余弦值.

拓广探索

19. 如图，在直三棱柱 $ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$ 中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$AA_{1} = AB$，求证 $A_{1}C \perp AB_{1}$.

20. 如上页图，AB 是 $\odot O$ 的直径，点 C 是 $\odot O$ 上的动点，过动点 C 的直线 VC 垂直于 $\odot O$ 所在平面，D，E 分别是 VA，VC 的中点. 判断直线 DE 与平面 VBC 的位置关系，并说明理由.

21. 如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为正方形，$PA \perp$ 底面 $ABCD$，$PA = AB$，$E$ 为线段 $PB$ 的中点，$F$ 为线段 $BC$ 上的动点。平面 $AEF$ 与平面 $PBC$ 是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由。

? 阅读与思考

欧几里得《原本》与公理化方法

古希腊最为重要的数学著作《原本》是由古希腊数学家欧几里得编著，大约是在公元前300年左右完成的。欧几里得将公元前7世纪以来希腊几何学家积累起来的丰富成果收集、整理起来，并且加以系统化。他从少数已被经验反复验证的公理出发，运用逻辑推理以及数学运算方法演绎出一系列定理与推论，写成了十三卷数学巨著《原本》，使几何学成为一门独立的、演绎的科学。

欧几里得《原本》在人类数学史中第一次给出了公理化的数学体系。过去所积累下来的数学知识是零碎的、片断的，欧几里得借助逻辑方法，把这些知识组织起来，加

欧几里得（Euclid，约公元前330—约前275）

以分类、比较，揭示彼此间的内在联系，把它们组织在一个严密的系统之中。《原本》体现的理性精神对数学的发展产生了深远影响，它跨越地域、民族、语言、时间的障碍传播到了整个世界，其中公理化方法作为一种理论形式为人们普遍接受。按照数学的定义、公理与三段论的逻辑论证来组织数学理论已成为人们的共识。《原本》为数学发展树起一面旗帜，并成为理性思维的象征。

什么是公理化方法呢？

公理化方法就是从尽可能少的原始概念（基本概念）和尽可能少的一组不加证明的原始命题（公理、公设）出发，通过严格的逻辑推理，推导出其余的命题，使某一数学分支成为演绎系统的一种方法.

基本概念是不加定义的，它们必须是真正基本的，无法用更原始、更基本的概念定义。如中学数学中的点、直线、平面、集合等概念都是基本概念。

公理是对基本概念间的相互关系和基本性质所作的一种阐述和规定。如“两点确定一条直线”“过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面”等都是作为公理的命题。

公理化方法主要有以下三个作用：

1. 概括整理数学知识.《原本》就是欧几里得用公理化的方法把零散的几何知识归为一体，树立了以公理化方法研究数学的典范.

2. 促进新理论的创立。由于公理化方法把数学分支的基础分析得十分清楚，结构严谨有序，这就有利于比较数学各分支实质上的异同，从而推动和促进数学新理论的产生，促进数学基础的研究与探索。例如，非欧几何就是在研究和应用公理化的过程中产生的。

3. 对其他学科有示范作用。由于数学公理化方法表述数学理论的简捷性、条理性，以及结构的和谐性，为其他科学理论的表述起了示范作用。其他科学纷纷效法，建立了自己的公理化系统。例如，牛顿仿效欧氏几何，把哥白尼到开普勒时期所积累的力学知识用公理化方法组成一个逻辑体系，使人们能够从万有引力定律（公理）和牛顿三定律（公理）出发，依逻辑方法把力学定律逐条推出。杰弗逊的《独立宣言》、马克思的《资本论》、马尔萨斯的《人口论》也都借鉴了公理化的思想方法。

《原本》是一部影响人类文明进程的不朽之作。两千多年来，它一直是几何学的标准教材，哥白尼、伽利略、笛卡儿、牛顿等伟大的科学家都对它做过深入钻研，深刻体会了其中的公理化方法，并借鉴到自己的科学工作中，从而对人类文明作出了伟大贡献。

文献阅读与数学写作*

几何学的发展

目的：了解欧氏几何的发展以及对数学和人类文明的贡献.

要求：题目自拟，主题突出，论述清楚.

过程：阅读书籍、请教老师、专家或者上网收集欧氏几何发展的历史资料，如发展过程、重要结果、主要人物、关键事件以及对数学和人类文明的贡献等.

交流：将论文发至班级在线交流群，或者制作板报等，供大家学习、交流，进一步了解欧氏几何对数学以及人类文明的贡献。

小结

一、本章知识结构

柱、锥、台、球的结构特征

立体图形的直观图

柱、锥、台、球的表面积和体积

平面的基本性质

空间点、直线、平面的位置关系空间中直线与直线的位置关系

空间中直线与平面的位置关系

空间中平面与平面的位置关系

空间中直线、平面的平行

空间平行、垂直关系之间的转化

空间中直线、平面的垂直

二、回顾与思考

立体几何是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学分支。在本章，我们从对空间几何体的整体观察入手，通过认识柱、锥、台、球等基本立体图形的组成元素及其相互关系，认识了这些图形的几何结构特征，学习了它们在平面上的直观图表示以及它们的表面积和体积的计算。然后以组成立体图形的基本元素——点、直线、平面为对象，在研究平面基本性质的基础上，认识了空间点、直线、平面的位置关系，重点研究了直线、平面的平行和垂直这两种特殊的位置关系。

直观感知、操作确认、推理论证、度量计算是我们认识和探索空间图形、研究它们性质的重要手段。通过对实物模型的直观感知和操作，我们认识了空间几何体的结构特征，进一步掌握了在平面上表示空间图形的方法，了解了它们的表面积和体积的计算。通过对图形的直观想象，我们认识了刻画平面性质的三个基本事实。在给出直线、平面平行（垂直）的定义（即给出了这种位置关系的一个充要条件）后，通过探究直线、平面平行（垂直）的充分条件，我们得到了相应位置关系的判定定理；通过探究直线、平面平行（垂直）的必要条件，我们得到了相应位置关系的性质定理，并进行了证明。在这一过程中，我们可以充分感受到，通过直观想象、类比、归纳等发现数学命题，再通过逻辑推理证明命题，进而获得数学定理，这是研究数学对象的“基本之道”。其中，我们应特别注意学习，在明确研究对象或问题的基础上，如何通过归纳、类比等发现数学规律、提出数学猜想的方法，这对提升我们的创新思维水平是非常重要的。

空间图形问题经常转化为平面图形问题，这是解决空间图形问题的重要思想方法。简单地说，就是要把相关的点、直线（段）转化到同一个平面上，而转化的基本依据就是四个基本事实。例如，探究直线与平面平行的性质，就是在直线 $a$ 平行于平面 $\alpha$ 的条件下，探究直线 $a$ 、平面 $\alpha$ 与空间中其他直线、平面的位置关系，利用基本事实可以发现，过 $a$ 的平面 $\beta$ 与 $\alpha$ 的交线与 $a$ 平行，而且这些交线相互平行。

在研究直线、平面的位置关系时，由简单到复杂、由易到难是研究的一般思路。我们利用直线与直线的位置关系，研究直线与平面的位置关系，利用直线与平面的位置关系研究平面与平面的位置关系。反过来，由平面与平面的位置关系可进一步掌握直线与平面的位置关系，由直线与平面、平面与平面的位置关系又可进一步确定直线与直线的位置关系。这种方法，是我们研究与解决空间直线、平面位置关系的重要方法。

请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧！

1. 我们是从哪些角度入手研究基本几何体的结构特征的？你能用基本几何体的结构特征解释身边物体的结构吗？请举例说明.

2. 对于空间几何体，可以有不同的分类。你能选择不同的分类标准对柱、锥、台、球等空间几何体进行分类吗？请举例说明。

3. 利用斜二测画法可以画出空间几何体的直观图. 你能结合实例说出用斜二测画法画空间几何体的直观图的基本步骤吗?

4. 如何计算柱、锥、台、球的表面积和体积？你能说出柱、锥、台的体积公式之间的联系吗？

5. 刻画平面的三个基本事实是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形、进行逻辑推理的基础。实际上，三个基本事实刻画了平面的“平”、平面的“无限延展”。你能归纳一下刻画的方法吗？

6. 在直线、平面的位置关系中，“平行”和“垂直”是最重要的.

（1）在研究这些位置关系的判定时，我们采用了哪些思想方法？以直线与平面垂直为例，总结一下研究判定的内容、过程和方法.

（2）研究这些位置关系的性质，实际上就是要研究什么问题？以两个平面相互垂直为例，总结一下研究性质的内容、过程和方法.

复习参考题8

复习巩固

1. 从多面体角度去考察棱柱、棱锥、棱台，填写下列表格：

2. 在直四棱柱 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中， $AB \parallel CD$ ， $\angle DAB = 90^{\circ}$ ，AB = 2，CD = 1，AD = 3， $AA_{1} = 4$ .

(1) 画出四棱柱 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 的直观图；

(2) 将四棱柱 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 补成一个长方体，并说出补上的几何体的名称.

3. 填空题

(1) 正方体的棱长扩大到原来的 $n$ 倍, 则其表面积扩大到原来的 ____ 倍, 体积扩大到原来的 ____ 倍;

(2) 球的半径扩大到原来的 $n$ 倍, 则其表面积扩大到原来的 ____ 倍, 体积扩大到原来的 ____ 倍.

4. 如图，一块边长为 $10\mathrm{cm}$ 的正方形铁片上有四块阴影部分。将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，把容器的容积 $V$ （单位： $\mathrm{cm}^3$ ）表示为 $x$ （单位： $\mathrm{cm}$ ）的函数。

5. 三个平面可将空间分成几部分？请分情况说明.

6. 已知 $\alpha, \beta, \gamma$ 是三个平面，且 $\alpha \cap \beta = a, \alpha \cap \gamma = b, \beta \cap \gamma = c.$ (1) 若 $a \cap b = O$，求证：$a, b, c$ 三线共点. (2) 若 $a \parallel b$，则 $a$ 与 $c, b$ 与 $c$ 有什么关系？为什么？

7. 如图，四边形 $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ 是 □ABCD 在平面 $\alpha$ 上的投影 $(AA^{\prime} \parallel BB^{\prime} \parallel CC^{\prime} \parallel DD^{\prime})$ ，求证：四边形 $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ 是平行四边形.

8. 如图，一块正方体形木料的上底面有一点 $E$。若经过点 $E$ 在上底面上画一条直线与 $CE$ 垂直，则应该怎样画？
9. 如图，在三棱锥 $P-ABC$ 中，$PC \perp$ 底面 $ABC$，$AB \perp BC$，$D$，$E$ 分别是 $AB$，$PB$ 的中点。求证：(1) $DE \parallel$ 平面 $PAC$；(2) $AB \perp PB$。

综合运用

10. 如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，点 E 是 AB 的中点，点 F 是 BC 的中点，将 $\triangle AED$ ， $\triangle BEF$ ， $\triangle DCF$ 分别沿 DE，EF，DF 折起，使 A，B，C 三点重合于点 $A'$ . (1) 求证 $A'D \perp EF$ ; (2) 求三棱锥 $A'$ -EFD 的体积.

11. 如下页图，在四面体 $A-BCD$ 中，$M$ 是 $AD$ 的中点，$P$ 是 $BM$ 的中点，点 $Q$ 在线段 $AC$ 上，且 $AQ=3QC$. 求证：$PQ \parallel$ 平面 $BCD$.

12. 如图，在正方体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，求证：

(1) $B_{1}D \perp$ 平面 $A_{1}BC_{1}$ ;

(2) $B_{1}D$ 与平面 $A_{1}BC_{1}$ 的交点 $H$ 是 $\triangle A_{1}C_{1}B$ 的重心.

13. 如图，在三棱锥 P-ABC 中， $\angle ACB=90^{\circ}$ ，PA⊥底面 ABC.

(1) 求证: 平面 $PAC \perp$ 平面 PBC;

(2) 若 AC = BC = PA，M 是 PB 的中点，求 AM 与平面 PBC 所成角的正切值.

14. 如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为正方形，侧面 $PAD$ 是正三角形，侧面 $PAD \perp$ 底面 $ABCD$，$M$ 是 $PD$ 的中点.

(1) 求证: $AM \perp$ 平面 $PCD$;

(2) 求侧面 PBC 与底面 ABCD 所成二面角的余弦值.

拓广探索

15. 从直线 $a, b$ 和平面 $\omega$ 这三个空间元素中任取两个，若已知它们与第三个元素有平行或垂直关系，则所取的两个元素是否也有平行或垂直关系？你能得到哪些结论？写出一些你认为重要的。如果三个元素分别是直线 $m$ 、平面 $\alpha$ 和 $\beta$ ，你能得到哪些结论？

16. 已知 $m, n$ 为异面直线，$m \perp$ 平面 $\alpha, n \perp$ 平面 $\beta$. 若直线 $l$ 满足 $l \perp m, l \perp n, l \not\subset \alpha, l \not\subset \beta$ 则（）.

(A) $\alpha // \beta, l // \alpha$ (B) $\alpha$ 与 $\beta$ 相交，且交线平行于 $l$

(C) $\alpha \perp \beta, l \perp \beta$ (D) $\alpha$ 与 $\beta$ 相交，且交线垂直于 $l$

第九章 统计

在现实生活中，我们经常会接触到各种统计数据，例如，人口总量、经济增长率、就业状况、物价指数、产品的合格率、商品的销售额、农作物的产量、人均水资源、居民人均年收入、电视台节目的收视率、学生的平均身高等。要正确阅读并理解这些数据，需要具备一些统计学的知识。

统计学是通过收集数据和分析数据来认识未知现象的一门科学。面对一个统计问题，首先要根据实际需求，通过适当的方法获取数据，并选择适当的统计图表对数据进行整理和描述，在此基础上用各种统计方法对数据进行分析，从样本数据中提取需要的信息，推断总体的情况，进而解决相应的实际问题。

那么，对于具体的统计问题，应如何收集数据？如何从所收集的数据中提取信息来认识未知现象？这种认识一定正确吗？应如何正确解释统计的结果？本章我们将在初中学过的统计与概率知识的基础上，通过进一步学习，加深对这些问题的认识，并通过解决问题的实践，进一步学习数据分析的方法.