借面面垂直找垂足

解题套路

要求点 $P$ 在平面 $\alpha$ 上的射影（进而求线面角或点面距）：

1. 找一条垂直于 $\alpha$ 的直线：通常是题里已经有的一条线 $m$，满足 $m\perp\alpha$； 更常见的是先证 $m\perp\beta$（$m$ 垂直于 $\beta$ 内两条相交直线），从而 $\beta\perp$ 含 $m$ 的那个平面。
2. 锁定一个过 $P$ 且与 $\alpha$ 垂直的平面 $\beta$：由上一步的 $m\perp\beta$ 与 $m\subset\alpha$， 面面垂直的判定定理给出 $\alpha\perp\beta$；要保证 $P\in\beta$。
3. 在 $\beta$ 内朝交线作垂线：设 $\alpha\cap\beta=l$，在 $\beta$ 内作 $PG\perp l$，垂足 $G$。 由面面垂直的性质定理，$PG\perp\alpha$——$G$ 就是 $P$ 的射影，$PG$ 就是点面距。
4. 把角落到直角三角形里：斜线 $PC$（$C\in\alpha$）与 $\alpha$ 所成的角就是 $\angle PCG$， 且 $\sin\angle PCG=\dfrac{PG}{PC}$。$PG$ 一般用 $\beta$ 内那个直角三角形的斜边上的高算： $PG=\dfrac{P\!A\cdot P\!B}{AB}$。

为什么好用

• 全程在平面内算：第 3 步之后所有长度都在 $\beta$ 这一个平面里，退化成初中的直角三角形， 不必建系、不必算法向量，答案通常一步到位。
• 垂足有着落：线面角最难的一步是「射影到底落在哪」。本套路把它变成「交线上的一个垂足」， 位置由作图唯一确定，不再靠猜、靠看图。
• 与线面角化点面距互补：那一条只求 $\sin\theta=\dfrac{d}{\text{斜线段长}}$ 里的 $d$（可用等体积绕过垂足）， 本条则把垂足真的作出来，顺带给出角的位置，作图题、证明题也能用。

注意

• 第 3 步的垂线必须垂直于交线 $l$，不是垂直于 $\alpha$ 内随便一条线；垂足必须落在 $l$ 上。
• $\beta$ 要过点 $P$。找到了一个与 $\alpha$ 垂直却不过 $P$ 的平面，作出来的垂线与 $P$ 无关。
• 线面角是斜线与射影所成的角，故 $\sin\theta=\dfrac{PG}{PC}$ 的分母是斜线段 $PC$， 不是 $PG$ 所在直角三角形的其它边；抄成 $\dfrac{PG}{PA}$ 是最常见的写错。
• 只有当 $\beta$ 内那个三角形在 $P$ 处是直角时，才能用「直角边之积除以斜边」求高； 否则 $PG$ 得用面积法或余弦定理另算。