浙江 2009 · 数学 q17

转着看 · 换个机位再判断

长方形 $ABCD$（$AB = 2$，$BC = 1$）沿 $AF$ 折起，平面 $ABD \perp$ 平面 $ABC$ · $t \cdot DF = AD^2$，$DF$ 在 $\left(1, 2\right)$ 里滑 ⟹ $t \in \left(\frac{1}{2}, 1\right)$

机位1题图角度2正对 折起的 △ADF3沿 折起的 △ADF 看4俯视自由视角

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冷启动：先把三句题设各翻译成一句可用的话

① 「$F$ 为线段 $EC$（端点除外）上一动点」= $DF$ 在开区间 $(1,2)$ 里取遍。

$AB=2$、$BC=1$，故 $DC=AB=2$、$AD=BC=1$。$E$ 是 $DC$ 的中点，所以 $DE=1$；$F$ 在 $EC$ 上且不取端点，于是

$$DF\in(DE,\;DC)=(1,\;2).$$

整道题的自变量就是这一个 $DF$。

② 「平面 $ABD\perp$ 平面 $ABC$，在平面 $ABD$ 内作 $DK\perp AB$，$K$ 为垂足」= $DK\perp$ 底面。

两个平面垂直、交线是 $AB$，而 $DK$ 在平面 $ABD$ 内且垂直于交线——由面面垂直的性质定理，$DK\perp$ 平面 $ABC$。

这句话的实际价值是：$K$ 就是 $D$ 在底面上的射影，于是 $\triangle AKD$ 在 $K$ 处成直角，$t^2+DK^2=AD^2=1$。顺带得到 $t\in(0,1]$——但真正的范围要窄得多。

③ 「折起」= 折痕那一侧的长度全都不变。

$\triangle AFD$ 整块是刚体：折前折后 $AD=1$、$DF$ 不变、$\angle ADF=90^\circ$（原图中 $AD\perp DC$）都还在。而 $A$、$B$、$C$、$F$ 一动没动。

解法一：建系——两条「折叠不改变」的长度写成距离方程

① 建系。 底面（平面 $ABC$）取作 $z=0$，$A$ 为原点、射线 $AB$ 为 $x$ 轴正向、$AD$ 在原图里的方向为 $y$ 轴正向。没折的那一块坐标照抄原图：

$$A(0,0,0),\quad B(2,0,0),\quad C(2,1,0),\quad F(DF,\;1,\;0).$$

（$F$ 在 $DC$ 上、离 $D$ 有 $DF$，而 $DC\parallel AB$、两条平行线相距 $AD=1$，所以 $F$ 的前两个坐标就是 $(DF,\,1)$。）

② 折起的 $D$ 只剩一个未知数。 由冷启动 ②，$DK\perp$ 底面且 $K\in AB$，$AK=t$，所以

$$K(t,0,0),\qquad D(t,\;0,\;h)\quad(h=DK>0).$$

③ 两条不变的长度，两个方程。

$$|AD|^2=t^2+h^2=AD^2=1, \tag{1}$$ $$|FD|^2=(DF-t)^2+1^2+h^2=DF^2. \tag{2}$$

④ 相减。 把 $(2)$ 展开：$DF^2-2\,t\,DF+t^2+1+h^2=DF^2$，即

$$-2\,t\,DF+\underbrace{(t^2+h^2)}_{=1}+1=0 \quad\Longrightarrow\quad 2\,t\,DF=2 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{t\cdot DF=1}.$$

$DF^2$、$h^2$ 一起消掉，只剩一条线性关系——这就是建系比追角度省事的地方。

⑤ 代入 $DF$ 的范围。 $t=\dfrac1{DF}$ 在 $DF>0$ 上严格递减，$DF$ 取遍 $(1,2)$，所以

$$t\in\left(\frac12,\;1\right).$$

答案 $\left(\dfrac12,1\right)$。

⑥ 两端为什么都取不到。 见下面「端点」一节——这一步不是走形式，是这道题的分数所在。

解法二：不建系——$AF\perp$ 平面 $DKM$，再用一次射影

不想建系也行，纯几何走三步。设 $M$ 是 $D$ 在折痕 $AF$ 上的垂足。

① $AF\perp$ 平面 $DKM$。 由冷启动 ②，$DK\perp$ 平面 $ABC$，而 $AF$ 在这个平面内，故 $DK\perp AF$；又 $DM\perp AF$。$DK$ 与 $DM$ 是平面 $DKM$ 内两条相交直线，由线面垂直的判定定理，

$$AF\perp \text{平面 } DKM .$$

② 于是 $AF\perp KM$，即 $M$ 也是 $K$ 在 $AF$ 上的垂足。 $KM$ 在平面 $DKM$ 内，被 ① 的结论横扫。

③ 两次射影，接成一条式子。

• 在折后的 $\triangle ADF$ 里，$\angle ADF=90^\circ$（折叠不改变它），$DM$ 是斜边 $AF$ 上的高，由射影关系 $$AM\cdot AF=AD^2=1 .$$
• 在底面里，$\triangle AMK$ 中 $\angle AMK=90^\circ$（由 ②），所以 $$AM=AK\cdot\cos\angle KAM=t\cos\angle FAB .$$

两式合起来：

$$1=AM\cdot AF=t\cdot\bigl(AF\cos\angle FAB\bigr).$$

④ 括号里那个量就是 $DF$。 $AF\cos\angle FAB$ 是 $AF$ 在 $AB$ 上的射影长；在原矩形里 $F$ 到 $AD$ 所在直线的距离正是 $DF$（因为 $DC\parallel AB$，$F$ 在 $DC$ 上），而 $A$、$B$、$F$ 折叠后一动没动。故

$$t\cdot DF=1 .$$

与解法一逐字相同，再代 $DF\in(1,2)$ 得 $t\in\left(\dfrac12,1\right)$。

解法三：折叠之前就把 $K$ 画出来

这条路的洞见是：$K$ 根本不用等折完才知道，在原来的平面图上就能画出来。

① 折起时 $D$ 的投影锁在一条线上。 $D$ 绕 $AF$ 旋转，走的是一段以垂足 $M$ 为中心、以 $MD$ 为半径的弧；这段弧所在的平面垂直于 $AF$，它与底面的交线正是过原来的 $D$ 且垂直于 $AF$ 的那条直线。弧上任何一点朝底面投影，都落在这条线上。

② $K$ 就是那个投影。 由冷启动 ②，$DK\perp$ 底面，所以折后的 $D$ 的投影就是 $K$。

③ 于是 $K$ 是一个交点：

$$K=\bigl(\text{过 }D\text{ 垂直于 }AF\text{ 的直线}\bigr)\ \cap\ AB .$$

这条直线在折叠前的矩形里一画就有——教学图左幅那条蓝色虚线。

④ 在平面图里算 $AK$。 记 $\angle DAF=\alpha$。在 $\mathrm{Rt}\triangle ADF$（直角在 $D$）里

$$\tan\alpha=\frac{DF}{AD}=DF .$$

设这条垂线与 $AF$ 交于 $M$。在 $\triangle ADM$ 中 $\angle AMD=90^\circ$、$\angle DAM=\alpha$，故 $\angle ADK=\angle ADM=90^\circ-\alpha$。而 $\angle DAK=90^\circ$（矩形的角），于是在 $\mathrm{Rt}\triangle ADK$ 里

$$t=AK=AD\cdot\tan\angle ADK=\tan(90^\circ-\alpha)=\frac1{\tan\alpha}=\frac1{DF} .$$

一样得到 $t\cdot DF=1$，$t\in\left(\dfrac12,1\right)$。

⑤ 它还顺手回答了「折得起来吗」。 折后的 $D$ 到底面的投影必须落在旋转半径够得着的地方，即 $MK\leqslant MD$。但取等的那一刻要单独排掉：$MK=MD$ 意味着投影点恰好落在弧的端点上，也就是 $D$ 压根没离开底面（$h=0$），平面 $ABD$ 与底面重合，「两平面垂直」当场没有意义。所以真正要的是严格的 $MK<MD$。算一下（仍在平面图里）：$MD=\dfrac{DF}{\sqrt{1+DF^2}}$，$MK=\dfrac1{DF\sqrt{1+DF^2}}$，于是

$$MK<MD\iff \frac1{DF}<DF\iff DF>1 .$$

$DF>1$ 正好就是「$F$ 严格在 $E$ 右边」——题面那句「端点除外」在几何上不是随口一说。

端点：这道题的分数全在这里

$t=\dfrac1{DF}$ 关于 $DF$ 严格递减，所以端点一一对应：

两端都取不到，故

$$t\in\left(\frac12,\;1\right).$$

左端那一行值得再看一眼：即使题面没写「端点除外」，$F=E$ 也必须排除——那不是「取到了端点」，而是题设本身不成立。这与「动点跑到端点时平面退化」是同一个坑。

右端的自检（官方解析走的正是这条）：$F\to C$ 时 $t\to\dfrac12$，$h=\sqrt{1-\frac14}=\dfrac{\sqrt3}2$，于是

$$BD=\sqrt{(2-\tfrac12)^2+\left(\tfrac{\sqrt3}2\right)^2}=\sqrt{\frac94+\frac34}=\sqrt3 ,$$

而 $AD^2+BD^2=1+3=4=AB^2$，故 $AD\perp BD$——与解析写的 $BD=\sqrt3$、$AD\perp BD$ 逐字对上。

三条路的分工

三条路都落到同一条 $t\cdot DF=AD^2$ 上——这个关系式才是本题真正的内容，$\left(\frac12,1\right)$ 只是把 $DF\in(1,2)$ 代进去的结果。