易错点

动点取到端点时平面退化

动点 $M$ 跑到端点上时，原本用来定平面的三个点会共线，「平面 $AMC$ 」当场不存在——含参的法向量在那里分母为零，不是算错，是那个位置本来就不合法，必须先排除再解方程。

坑在哪

题目让 $M$ 在线段 $AP$ 上动，问二面角 $A\text{-}MC\text{-}B$ 什么时候是直角。很多人直接设 $\overrightarrow{PM}=\lambda\overrightarrow{PA}$ ，一路算到

\vec a=\left(0,\;1,\;\frac{2+3\lambda}{4-4\lambda}\right)

然后看到分母 $4-4\lambda$ 心里一紧： $\lambda=1$ 要不要讨论？ 要，但结论不是再算一遍，而是这个位置本来就不在题目问的范围里。 $\lambda=1$ 就是 $M=A$ ，这时 $A$ 、 $M$ 、 $C$ 只剩两个不同的点， 平面 $AMC$ 不存在，「二面角 $A\text{-}MC\text{-}B$ 」这句话本身就没有意义。

原卷写的那句「 $\lambda\neq 1$ 」不是为了让分母有意义，而是为了让题目有意义—— 顺序反了，就会把一个非法位置当成需要单独讨论的解的可能。

同一个坑的其它长相

场景	退化成什么	后果
$M$ 与二面角的顶点重合	三点共线，半平面消失	二面角没有定义
动点使两个半平面重合	二面角为 $0$ 或 $\pi$	「平面角」退化成一条直线
用三点求法向量时三点共线	叉乘为零向量	法向量取不出来，不是「垂直于一切」
动直线过定点时斜率不存在	方程写不出	与本条同源：先定义域，后方程

怎么防

先写定义域，再列方程。 参数化动点之后，立刻把两件事写在旁边：

参数的区间（ $M$ 在线段上，不是整条直线）；
使图形退化的参数值（三点共线、两面重合），把它们从区间里挖掉。

做完这一步，后面遇到分母为零就不用慌：它落在挖掉的那些点上，直接引用前面那句话即可；若它不落在挖掉的点上，那才说明推导有问题，得回头查。

反向自查

解出参数后代回去把图形真的摆一遍：三个点是不是真不共线、动点是不是真落在线段内部。例如解出 $\lambda=\dfrac{2}{5}$ ，那么 $M$ 在 $AP$ 上、离 $A$ 有 $3$ 、离 $P$ 有 $2$ ， $A$ 、 $M$ 、 $C$ 三点不共线——到这一步「存在」两个字才算真站住。

出现在以下题目中

共 2 道题考到本条。