折叠的不变长度列成距离方程

解题套路

「把 $\triangle AFD$ 沿 $AF$ 折起」这句话的全部数学内容只有两条：

• 折起的那块是刚体：$AD$、$DF$、$\angle ADF$……折前折后一模一样；
• 没折的那块一动没动：$A$、$B$、$C$、$F$ 还在原来的平面上、原来的位置上。

于是只要建一个坐标系，把折后的 $D$ 写成待定坐标，再把「不变的那几个长度」逐条写成距离方程，方程组就把 $D$ 定死了。

三步

1. 建系：底面取 $z=0$，把没动的那几个点按原图的坐标写上去（它们的坐标折前折后相同）。
2. 给折起的点设坐标，能用题设减少未知数就减（例如已知它在某条竖线上，就只剩一个高度未知）。
3. 每一条「折叠不改变」的长度写一个方程，联立。

为什么比找角度省事

折起的角度是隐含的未知量，直接去追它要作二面角的平面角、要找垂足，步步都要论证。而距离方程只用到「刚体」这一条，写出来就是代数。两个方程相减往往还能把平方项成片消掉，剩一条线性关系。

注意

• 别把没动的那块也当成变的：折痕另一侧的点坐标照抄原图。
• 「折起」自带一个不等式：折起的点必须真的离开底面（高度 $>0$），这一条常常正是取值范围的一个端点被排除的原因。
• 折前的直角、中点这类条件要先在平面图里读出来再搬进方程，别在折后的图上重新猜。