套路

折起点的投影锁在一条垂线上

点 PP 绕折痕 ℓ\ell 转出平面时，它在原平面上的**投影**始终落在「过 PP 且垂直于 ℓ\ell」的那条直线上——这条线在折叠**之前**就能画出来，投影点往往被别的条件当场定死。

结论

设 PP 在平面 α\alpha 内，ℓ⊂α\ell\subset\alpha，MM 是 PP 在 ℓ\ell 上的垂足。把 PP 绕 ℓ\ell 转到 P′P'，则 P′P' 在 α\alpha 上的投影恒落在直线 PMPM 上（即过 PP 垂直于 ℓ\ell 的那条直线）。

理由：P′P' 跑的是以 MM 为圆心、MPMP 为半径的圆，这个圆所在的平面垂直于 ℓ\ell；它与 α\alpha 的交线正是 PMPM。圆上任一点朝 α\alpha 投影，落点必在这条交线上。

怎么用

题里若另有条件把「P′P' 的投影」定在某条已知直线上（最常见的是「平面 β⊥α\beta\perp\alpha，在 β\beta 内作交线的垂线，垂足为 KK」，这时 KK 就是 P′P' 的投影），那么

K=直线 PM ∩ 那条已知直线,K=\text{直线 }PM\ \cap\ \text{那条已知直线},

一个交点，折叠前就画得出来。折起的角度、折后的高度全都不必先求。

价值

它把一道立体题里最难画的那一步（折后点落在哪）搬回了平面图。平面图上只剩一次「作垂线求交点」，长度用一次解直角三角形就能算——常常比建系还快，而且过程可以完全画在草稿的原图上。

注意

  • 交点必须落在旋转半径够得着的那一段上：∣MK∣⩽MP|MK|\leqslant MP 才折得到。取等时高度为 00，即根本没折起来。
  • 投影落在直线 PMPM 上，但不一定在线段 PMPM 上——转过 90∘90^\circ 之后它会跑到 MM 的另一侧。

出现在以下题目中

共 1 道题考到本条。