翻折后某长度的取值范围

题型说明

• 典型问法：矩形里取一个动点 $F$，「沿 $AF$ 把 $\triangle AFD$ 折起，使平面 $ABD\perp$ 平面 $ABC$；作 $DK\perp AB$ 于 $K$，设 $AK=t$，求 $t$ 的取值范围」。
• 与「折一次求二面角」的区别：这里折痕本身在动，所以要先求出「动点位置 $\mapsto$ 目标长度」的函数关系，再由动点的范围推出值域。

三步

1. 把折叠翻译成方程。 折叠只保长度：折起那块的每条边、每个角都不变；没折的那块坐标照抄原图。建系写距离方程最省事。
2. 解出目标量关于动点参数的表达式。 常常能化到很简洁的一步（本题就是 $t\cdot DF=AD^{2}$）。
3. 由参数范围推值域，再逐个端点回到几何里验。

端点是这类题的全部分数

参数的开闭端不能只看题面那句「端点除外」，还要回到几何问一句：那一刻图形还成立吗？

• 折起的点高度趋于 $0$ $\Rightarrow$ 它根本没离开底面，「两个平面垂直」当场不成立，这个端点必须去掉；
• 折起的点高度趋于最大 $\Rightarrow$ 折成了直立，往往是合法的边界，要看题目问的是闭是开。

先写出关系式，再一个端点一个端点地问「这里图形还在吗」——这类题的失分几乎全在这一步。