面面垂直直接当成线面垂直

错在哪

面面垂直只保证：$\alpha$ 内垂直于交线的那一族直线垂直于 $\beta$。$\alpha$ 内其余的直线， 与 $\beta$ 可以成任何角度——把一本书斜立在桌面上，书页所在平面与桌面垂直， 但书页上随手一条斜线并不垂直于桌面。

典型的错句：

• 「∵面 $ADFC\perp$ 面 $ABC$，∴$DC\perp$ 面 $ABC$」——$DC$ 只是 $ADFC$ 内的一条侧棱，它与交线 $AC$ 成 $45^\circ$；
• 「∵面 $PAB\perp$ 面 $ABC$，∴$PA\perp$ 面 $ABC$」——除非题目另给 $PA\perp AB$（$AB$ 是交线），否则不成立；
• 「两个平面垂直，所以它们内部的直线也两两垂直」——两平面垂直不给任何两条面内直线的关系。

正确做法

1. 先把交线找出来：$\alpha\cap\beta=l$。没有交线，性质定理无从下手。
2. 在 $\alpha$ 内朝 $l$ 作垂线：$DH\perp l$，$H\in l$。这条线才由性质定理得到 $DH\perp\beta$。
3. 垂足位置要交代：$H$ 在交线上，一般不是原有的顶点。写 $DH\perp AC$ 于 $H$， 然后才有 $DH\perp$ 底面、$DH\perp$ 底面内一切直线。
4. 要用某条已有的棱当高，得单独证：例如再给出 $DC\perp AC$，才有 $DC\perp\beta$； 给的是 $\angle ACD=45^\circ$，那就只能老实作 $DH$。

怎么避免

• 看到「面面垂直」，条件反射是作交线的垂线，而不是「哪条棱像高就当高」。
• 建系时尤其危险：把一条不垂直于底面的侧棱当成 $z$ 轴，整套坐标全错而计算过程一路顺畅， 最后答案错得毫无提示。建系前先问一句「这条轴凭什么垂直于底面」。
• 反向也常错：由 $a\subset\alpha$、$a\perp\beta$ 可得 $\alpha\perp\beta$（判定定理）， 这一步是对的；但不能反着用来给 $\alpha$ 内另一条线安上垂直。
• 自查口诀：面面垂直只送一族线——垂直于交线的那一族。