浙江 2016 · 数学 q02

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$\alpha\perp\beta$ 交于 $l$，$n\perp\beta$，$m\parallel\alpha$ · $l$ 躺在 $\beta$ 里、$n$ 是 $\beta$ 的垂线 ⟹ $n \perp l$ 恒成立（官方答案 C）；而 $m$ 只被要求平行 $\alpha$，方向在一整张平面里随便挑——顺进深的 $m_{1}$ 与顺 $l$ 的 $m_{2}$ 两条就把其余三项全否掉：A（$m \parallel l$）栽在 $m_{1}$ 上，B（$m \parallel n$）栽在 $m_{2}$ 上，D（$m \perp n$）栽在 $m_{1}$ 上

机位1题图角度2正对 $\beta$3沿 $\beta$ 看4俯视自由视角

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冷启动：题设一共只有四句话

把题面拆开，条件就四条：

1. $\alpha\perp\beta$——两个平面互相垂直；
2. $\alpha\cap\beta=l$——它们交于直线 $l$；
3. $m\parallel\alpha$——直线 $m$ 平行于平面 $\alpha$；
4. $n\perp\beta$——直线 $n$ 垂直于平面 $\beta$。

问的是「下面哪一条一定成立」。四个待选的位置关系是 $m\parallel l$、$m\parallel n$、$n\perp l$、$m\perp n$。

先做一件事：把这四条按「牵不牵扯 $m$」分堆。

• $m\parallel l$、$m\parallel n$、$m\perp n$ 三条都带 $m$；
• 只有 $n\perp l$ 一条根本没有 $m$。

这个分堆有用，因为题设里关于 $m$ 的信息只有一句 $m\parallel\alpha$—— 它把 $m$ 的方向限制在「与 $\alpha$ 平行的那一整个方向平面」里， $m$ 在那个方向平面里可以随便转。方向能随便转的东西，跟别的线不会有固定关系。 所以真正有希望的是不带 $m$ 的那一条。

下面两条路：一条正面把 $n\perp l$ 证出来，一条搭一个具体模型把带 $m$ 的三条一起打掉。

解法一：交线在两个面里，而 n 是 β 的垂线

这条路只用两个条件：$\alpha\cap\beta=l$ 和 $n\perp\beta$。$m$ 从头到尾不出场。

第一步：$l\subset\beta$——这是「交线」两个字的字面意思

$\alpha\cap\beta=l$ 说的是：$\alpha$ 与 $\beta$ 的公共点恰好组成直线 $l$。 既然 $l$ 上每一点都是公共点，那么 $l$ 上每一点都在 $\beta$ 上，于是

$$l\subset\beta .$$

同理也有 $l\subset\alpha$，不过后面用不上。

这一步没有用到 $\alpha\perp\beta$。两个平面只要相交，交线就同时躺在两个面里， 垂不垂直不影响。题面把「互相垂直」写在前面，容易让人以为这个条件必须用上—— 其实它在这条路上一次都没露面。

第二步：$n\perp\beta$ 的定义就是「与 $\beta$ 内每一条直线都垂直」

直线与平面垂直的定义是：若直线 $n$ 与平面 $\beta$ 内的任意一条直线都垂直，就说 $n\perp\beta$。 定义是双向的，所以反过来可以直接用：

$$n\perp\beta\ \Longrightarrow\ \text{对 }\beta\text{ 内的每一条直线 }a,\ n\perp a .$$

「每一条」是关键——不是「某一条」，也不是「过垂足的那些」，是 $\beta$ 里全部的直线。

这里的「垂直」按空间里的约定理解：两条直线垂直，指的是它们的方向成 $90^\circ$， 并不要求相交。$n$ 与 $\beta$ 内某条直线可能连公共点都没有（异面），照样叫垂直。 所以下一步不必去找 $n$ 和 $l$ 的交点。

第三步：把 $l$ 代进去

$l$ 是 $\beta$ 内的一条直线（第一步），$n$ 与 $\beta$ 内每一条直线都垂直（第二步）， 把「每一条」里的那一条取成 $l$：

$$n\perp l .$$

这正是选项 C。它对任何满足题设的 $\alpha,\beta,l,m,n$ 都成立， 因为整个推导只用了 $\alpha\cap\beta=l$ 和 $n\perp\beta$ 两句题设， 中间没有做任何额外假设，也没有用到 $m$。

第四步：题目是单选，C 已经站住

题干问「一定成立」的是哪一个，第三步已经证明 C 恒成立，选 C。

至于带 $m$ 的另外三条为什么各自都不一定成立，需要造出具体的反例才算数——那是解法二做的事。

解法二：搭一个模型，把另外三条一起打掉

这条路不去证任何一条，而是造一个满足全部题设的具体图形， 让带 $m$ 的三条在这个图形上依次失败。选择题四选一，剩下的那条就是答案。

第一步：先把题设摆成坐标里的一个具体模型

取空间直角坐标系，令

• $\alpha$ 是水平面 $z=0$；
• $\beta$ 是竖直面 $y=0$；
• 于是 $l$ 就是 $x$ 轴。

逐条验题设：

• $\alpha\perp\beta$：$\alpha$ 的法向是 $z$ 方向，$\beta$ 的法向是 $y$ 方向，两个法向垂直，所以两个平面垂直。✓
• $\alpha\cap\beta=l$：同时满足 $z=0$ 与 $y=0$ 的点恰好是 $x$ 轴，$l$ 就是 $x$ 轴。✓
• $n\perp\beta$：$\beta$ 的法向是 $y$ 方向，所以取 $n$ 为过点 $(2,0,0)$、方向为 $y$ 的直线，就有 $n\perp\beta$。✓

$m$ 的条件是 $m\parallel\alpha$，也就是 $m$ 不与 $\alpha$ 相交。 只要让 $m$ 的方向是水平的（$z$ 分量为 $0$），并且整条 $m$ 悬在 $z=1$ 这个高度上， 就一定有 $m\parallel\alpha$。这样的 $m$ 方向可以在水平面里随便转——下面就转两个方向各用一次。

第二步：第一条 $m$——让它顺着进深方向走

取 $m_{1}$：过点 $(1,0,1)$、方向为 $y$ 的直线。

先验它合题设：方向 $y$ 是水平的，整条线在 $z=1$ 上，与 $z=0$ 无公共点，所以 $m_{1}\parallel\alpha$。✓

再看它把哪两条打掉：

• A（$m\parallel l$）：$m_{1}$ 的方向是 $y$，$l$ 的方向是 $x$，两个方向不共线， 所以 $m_{1}$ 不平行 $l$。A 在这个模型上假。
• D（$m\perp n$）：$n$ 的方向也是 $y$，与 $m_{1}$ 的方向同向， 两条线的夹角是 $0^\circ$ 而不是 $90^\circ$，所以 $m_{1}$ 不垂直 $n$。D 在这个模型上假。

$m_{1}$ 满足了题设的全部四条，却让 A 和 D 都不成立——所以 A、D 都不是「一定成立」。

第三步：第二条 $m$——让它顺着 $l$ 的方向走

取 $m_{2}$：过点 $(0,-1,1)$、方向为 $x$ 的直线。

先验它合题设：方向 $x$ 是水平的，整条线在 $z=1$ 上，所以 $m_{2}\parallel\alpha$。✓

再看它打掉谁：

• B（$m\parallel n$）：$m_{2}$ 的方向是 $x$，$n$ 的方向是 $y$，两个方向垂直而不是共线， 所以 $m_{2}$ 不平行 $n$。B 在这个模型上假。

$m_{2}$ 同样满足题设的全部四条，却让 B 不成立——B 也不是「一定成立」。

第四步：四选一，只剩 C

到这里，A、B、D 三条各自都被一个满足全部题设的实例否掉了， 按「一定成立」的标准，它们都出局。

题干是四选一的单选题，四个选项中恰有一个正确。既然 A、B、D 都已排除， 正确的只能是 C。

顺带看一眼这个模型上 C 是什么样：$l$ 是 $x$ 轴，$n$ 的方向是 $y$， $x$ 与 $y$ 垂直，$n\perp l$ 确实成立——它没被这个模型否掉，和排除的结论对得上。

回头看：两条路各自强在哪儿

解法一是这道题的「正解」：两句题设、三行推理，而且给出的是证明—— C 对一切满足题设的图形都成立，不依赖任何具体模型。它的门槛是要把 「$\alpha\cap\beta=l\Rightarrow l\subset\beta$」和「线面垂直的定义」这两件事咬得很准。

解法二是考场上的保险丝：当你一时想不起该用哪条定理， 但能顺手摆出一个「水平面 + 竖直面」的模型时，把三条错的当场打掉一样能定答案。 它的代价是必须逐条验反例合不合题设——漏验一条，反例就作废； 它的收获是顺便看清了「$m$ 为什么帮不上忙」：$m$ 只被要求平行 $\alpha$， 方向在水平面里可以任意转，所以它跟 $l$、跟 $n$ 都不会有固定关系。

一句话记住这道题：交线躺在两个面里，垂线跟面内每条线都垂直——这两句话一碰，答案就出来了，$m$ 是来陪跑的。