球的体积

教材原文

由于球的体积就是这 $n$ 个“小锥体”的体积之和，而这 $n$ 个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积．因此，球的体积

$V _ {\text {球}} = \frac {1}{3} S _ {\text {球}} R = \frac {1}{3} \times 4 \pi R ^ {2} \cdot R = \frac {4}{3} \pi R ^ {3}.$

由此，我们得到球的体积公式

$V _ {\text {球}} = \frac {4}{3} \pi R ^ {3}.$

要点

• $V_{\text{球}}=\dfrac43\pi R^3$，$S_{\text{球}}=4\pi R^2$。两条都只与半径有关。
• 教材的推导是「把球切成 $n$ 个小锥体求和」，所以它的前置是锥体的体积公式——记不住系数时可以顺着 $V=\dfrac13 S_{\text{球}}R=\dfrac13\cdot 4\pi R^2\cdot R$ 现推一遍。
• 半球取一半：$V_{\text{半球}}=\dfrac12\cdot\dfrac43\pi R^3=\dfrac23\pi R^3$。组合体题里露在外面的常常只是半个球，这个 $\dfrac12$ 是高频失分点。
• 代的是半径不是直径：题面给「直径 $2$」时 $R=1$，$R^3$ 会把这个错放大 $8$ 倍。