浙江 2022 · 数学 q05

转着看 · 换个机位再判断

三视图还原出来的组合体：顶上半球（$r = 1$）· 中间圆柱（$r = 1$，$h = 2$）· 下面圆台（下底 $R = 2$，上底 $r = 1$，$h = 2$）·三块相加 $V = \frac{22\pi}{3}$ 立方厘米（官方答案 C）·转到「正对轴截面」，看到的就是卷面那张正视图

机位1题图角度2正对 轴截面3沿 轴截面 看4俯视自由视角

拖动旋转 · 滚轮缩放（触屏双指）

冷启动：三张平面图怎么拼回一个立体

假设你没做过三视图的题。先说清楚这三张图是什么。

① 三视图是三个方向的「影子」。 把一个立体摆好，从正前方看画出的轮廓叫正视图，从正左方看叫侧视图，从正上方往下看叫俯视图。三张图各丢掉一个方向的信息，合起来才够还原。

② 这道题的读法。 题面给的三张图（在页面顶部的原卷截图里）是：

• 俯视图：两个同心圆。 从上往下看是两个圆——说明这个立体是旋转体（横截面是圆），而且上下两处的半径不一样：小圆半径 $1$、大圆半径 $2$。

• 正视图与侧视图：一模一样，从上到下是「半圆拱 + 矩形 + 梯形」。 两张图相同，再次印证是旋转体。轮廓每换一次形状，就是换了一块几何体：

  那一段的轮廓	配上俯视图的圆	是什么	尺寸
  半圆拱（顶上）	圆	半球	半径 $1$，高 $1$
  矩形（中间）	圆	圆柱	底面半径 $1$，高 $2$
  梯形（底下）	两个同心圆	圆台	上底半径 $1$、下底半径 $2$，高 $2$

• 底边标着 $1\!-\!2\!-\!1$，加起来 $4$，正是下底直径 $2R=4$；中间那段 $2$ 就是上底直径 $2r=2$。左边标着 $1,2,2$ 三段高，从上到下依次是半球、圆柱、圆台的高。

③ 于是问题变成一句人话： 把半球、圆柱、圆台三块的体积算出来加起来。

④ 要用到的三条体积公式。

$$V_{\text{球}}=\frac43\pi R^3,\qquad V_{\text{圆柱}}=\pi r^2h,\qquad V_{\text{圆台}}=\frac13\pi h\left(r'^2+r'r+r^2\right)$$

其中圆台那条也可以写成 $V=\dfrac13 h\left(S'+\sqrt{S'S}+S\right)$（$S'$、$S$ 是上下底面积）——两种写法把 $S=\pi r^2$ 代进去就一样。

⚠️ 这一节不在现行教材里。 「三视图」不在现行人教A版 5 册内（见概念页三视图的无出处声明）。体积公式本身仍在教材里（必修第二册 §8.3.2），只是「由三视图还原」这一步不再考。

解法一：三块各套现成公式

怎么想到的。 还原之后每一块都是最标准的旋转体，三条公式现成，那就逐块代进去，再相加。这条路唯一要留神的是别把块认错、别把尺寸串了。

① 半球。 半径 $R_{\text{球}}=1$，注意它只有半个：

$$V_1=\frac12\cdot\frac43\pi\cdot 1^3=\frac{2}{3}\pi$$

正视图顶上是个半圆拱不是整圆，这个 $\dfrac12$ 丢不得。

② 圆柱。 底面半径 $1$、高 $2$：

$$V_2=\pi\cdot 1^2\cdot 2=2\pi$$

③ 圆台。 上底半径 $r'=1$、下底半径 $r=2$、高 $h=2$：

$$V_3=\frac13\pi\cdot 2\cdot\left(1^2+1\cdot 2+2^2\right)=\frac13\pi\cdot 2\cdot 7=\frac{14}{3}\pi$$

这里有个免费的自检：圆台的上底半径必须等于它上面那个圆柱的底面半径（两块是粘在一起的，接缝处必须一样粗）。两个都是 $1$ ✓。若这两个数对不上，说明分块或读数错了。

④ 相加。 通分到 $3$：

$$V=\frac{2}{3}\pi+2\pi+\frac{14}{3}\pi=\frac{2\pi+6\pi+14\pi}{3}=\frac{22}{3}\pi$$

故选 C。

解法二：把圆台补成大圆锥再挖掉小圆锥

怎么想到的。 上一条路要背圆台的体积公式，而那条公式（三项 $r'^2+r'r+r^2$）恰恰是最容易记岔的一条。记不住就别记——圆台本来就是「一个圆锥被平行于底面的平面截掉了顶」，那就把顶补回去：补成一个完整的大圆锥，算出来，再把补上去的小圆锥挖掉。这样全程只用锥体公式 $V=\dfrac13\pi r^2h$。

前两块（半球、圆柱）与解法一完全一样，这里只重算第三块。

① 把圆台的侧棱延长，补出完整的大圆锥。 大圆锥的底面就是圆台的下底（半径 $R=2$），顶点在圆台上方某处。设大圆锥的高为 $H$。

② 用相似比把 $H$ 定出来。 沿轴切开看轴截面：大圆锥是一个等腰三角形，圆台是从它底部截下来的梯形。把小圆锥（截掉的那部分）与大圆锥比较，两者相似，相似比等于底面半径之比：

$$\frac{\text{小锥的高}}{H}=\frac{r'}{R}=\frac12$$

而小锥的高 $=H-h=H-2$（大锥高减去圆台的高）。于是

$$\frac{H-2}{H}=\frac12\ \Longrightarrow\ 2(H-2)=H\ \Longrightarrow\ H=4$$

小圆锥的高就是 $H-2=2$。（顺手核一下：小锥高 $2$、底半径 $1$；大锥高 $4$、底半径 $2$——高与半径都恰好是 $2$ 倍，相似比 $\tfrac12$ 对上了 ✓。）

③ 大锥减小锥。

$$V_{\text{大锥}}=\frac13\pi\cdot 2^2\cdot 4=\frac{16}{3}\pi,\qquad V_{\text{小锥}}=\frac13\pi\cdot 1^2\cdot 2=\frac{2}{3}\pi$$ $$V_3=V_{\text{大锥}}-V_{\text{小锥}}=\frac{16}{3}\pi-\frac{2}{3}\pi=\frac{14}{3}\pi$$

与解法一的 $\dfrac{14}{3}\pi$ 一致 ✓——两条路在这里合流，等于互相验了一次。

④ 三块相加。 半球 $\dfrac23\pi$ + 圆柱 $2\pi$ + 圆台 $\dfrac{14}{3}\pi$ $=\dfrac{22}{3}\pi$，故选 C。

顺带说一句：$V_{\text{大锥}}=\dfrac{16}{3}\pi$ 这个数眼熟吗——它正是选项 D。选 D 的人多半就是把圆台整段当成了一个从底面收到一点的圆锥（高只有 $2$、底半径 $2$，$\dfrac13\pi\cdot4\cdot2=\dfrac83\pi$），加上前两块也恰好得 $\dfrac{16}{3}\pi$。巧合归巧合，两回事：一个是补出来的大锥（高 $4$），一个是把台错当成锥（高 $2$）。

这两条路差在哪

• 解法一只是代公式：三块、三条式子、相加。快，前提是圆台那条公式记得住、记得对。
• 解法二****造了一个题目里没有的东西——补出来的那个完整大圆锥。它不用圆台公式，改用「相似三角形定顶点 + 锥体公式 + 相减」。

分岔点在第三块（前两块两条路一字不差），但解法二引入了原题里不存在的中间对象，且那个对象删不掉——这不是同一次计算换个记法，所以算两条路。

各自的用武之地：考场上公式记得牢就走解法一，一行搞定；一时想不起 $r'^2+r'r+r^2$ 是不是这三项（很容易记成 $r'^2+r^2$ 或漏掉 $\dfrac13$），就走解法二，它只需要圆锥公式和一次相似比，反而更不容易错。有时间的话两条都跑一遍，第三块的结果对上就基本可以交卷了。

🕳️ 避坑

• 半圆拱是半球，别按整球算。 漏掉那个 $\dfrac12$ 会多出 $\dfrac23\pi$，总和变成 $\dfrac{24}{3}\pi=8\pi$——正是选项 B。出题人把这个错原样摆在了选项里。
• 梯形是台不是锥。 轮廓顶上还有一条边，说明上底没有收成一点。把它当锥算（$\dfrac13\pi\cdot 2^2\cdot 2=\dfrac83\pi$）会得到总和 $\dfrac{16}{3}\pi$，正是选项 D。
• 接缝处的半径必须相等。 圆台上底半径 = 圆柱底面半径 = 半球半径 = $1$。这三个数一致是分块正确的标志；对不上就回去重读俯视图。
• 锥体、台体别漏乘 $\dfrac13$。 三条公式挨着背时最容易串——柱体没有这个因子，另外两个有。
• 本题特有的一处：选项 A 的 $22\pi$ 与正确答案 $\dfrac{22}{3}\pi$ 只差一个分母。三块通分相加的最后一步，$\dfrac{2\pi+6\pi+14\pi}{3}$ 里的分母 $3$ 要留到底——算对了却抄丢分母，是这道题最可惜的丢分法。