浙江 2012 · 数学 q11

转着看 · 换个机位再判断

三视图还原出的三棱锥 $P\text{-}ABC$：$AB \perp BC \perp CP$ 三条棱两两垂直（$3$、$1$、$2$）· $V = \frac13 \times \frac{3}{2} \times 2 = 1$ 立方厘米 = 外接长方体 $6$ 的 $\frac1{6}$（官方答案 $1$）

机位1题图角度2正对 底面 ABC（俯视图，面积 $\frac{3}{2}$）3沿 底面 ABC（俯视图，面积 $\frac{3}{2}$） 看4俯视自由视角

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冷启动：题面那句「如图所示」，图得先读回来

本站收录的题面只剩一行字：

已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积等于 ____ cm³.

三张视图在原卷里是图，不是文字，转写时整块丢了（同目录的扫描件 q11-stem.png 里也只有这行字）。 所以先照原卷（2012年浙江高考数学【理】（原卷版） 第 3 页右栏「第 11 题图」）把它读回来—— 下面这三句是本站对那张图的转写，本题所有数字都从这三句来：

• 正视图：直角三角形，水平的底边标着 $3$，右边一条竖边标着 $2$，斜边从左下拉到右上（直角在右下）；
• 侧视图：直角三角形，竖边在左、高与正视图齐平（也就是 $2$），斜边从左上落到右下（直角在左下），宽没标；
• 俯视图：直角三角形，水平的底边与正视图对正（也就是 $3$），右边一条竖边标着 $1$，斜边从左下拉到右上（直角在右下）。

卷面一共只写了三个数：$3$、$2$、$1$。它们分别是这个立体的长、高、进深—— 「长对正、高平齐、宽相等」保证每个尺寸都在两张图上各出现一次，所以侧视图那个没标的宽就是 $1$。

把四个顶点的坐标凑出来

建坐标：$x$ 向右（长）、$y$ 向后（进深）、$z$ 向上（高）。三张视图各丢掉一个坐标，于是各钉住两个：

三棱锥只有四个顶点，而每张视图只画出三个点（有两个顶点在那个方向上重合了）。逐张读：

• 俯视图给出立体在水平面上的影子：一个直角边 $3$、$1$ 的直角三角形，直角在右下。 把它的三个顶点记作 $(0,0)$、$(3,0)$、$(3,1)$——注意俯视图上越靠下越靠前（$y$ 越小）， 所以那条长 $3$ 的边在前（$y=0$），而进深 $1$ 长在右侧。
• 正视图给出 $(x,z)$：影子是直角边 $3$、$2$ 的直角三角形，竖边在 $x=3$ 处，所以最高的那个顶点满足 $x=3$、$z=2$。
• 侧视图给出 $(y,z)$：竖边在左，而侧视图上越靠右越靠前，所以竖边所在的位置是后（$y=1$）， 于是最高那个顶点满足 $y=1$、$z=2$。

四个顶点定死了。给它们起名：

$$A(0,0,0),\qquad B(3,0,0),\qquad C(3,1,0),\qquad P(3,1,2)$$

回代验一遍：把这四个点重新投三次，正视图得 $\{(0,0),(3,0),(3,2)\}$、侧视图得 $\{(0,0),(1,0),(1,2)\}$、 俯视图得 $\{(0,0),(3,0),(3,1)\}$——三张与卷面逐张吻合（本站那份 recipe 就是拿这一步当机检的）。

这个立体的骨架：一条折线，三段两两垂直

坐标一摆出来，结构就明摆着了：

$$\overrightarrow{AB}=(3,0,0),\qquad \overrightarrow{BC}=(0,1,0),\qquad \overrightarrow{CP}=(0,0,2)$$

三条棱首尾相接（$A\to B\to C\to P$），而且三个数量积全为零：

$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=0,\qquad \overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{CP}=0,\qquad \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CP}=0$$

两两垂直，长度依次是 $3$、$1$、$2$。 顺手记下两条马上要用的：

• $CP$ 沿 $z$ 轴，而底面 $ABC$ 在 $z=0$ 上 $\Rightarrow$ $CP\perp$ 底面 $ABC$；
• $AB$ 沿 $x$ 轴，而 $B$、$C$、$P$ 的 $x$ 坐标全是 $3$，即平面 $PBC$ 就是 $x=3$ $\Rightarrow$ $AB\perp$ 平面 $PBC$。

三条解法就是这三条事实的三种用法。

解法一：三张视图各钉两个坐标——俯视图就是底面，正视图右边那条竖边就是高

最正统的一条：俯视图画的就是底面，正视图那条竖边量的就是锥高。

底面。 立体在 $z=0$ 平面上的正投影就是俯视图。四个顶点里 $A$、$B$、$C$ 本来就在 $z=0$ 上， 而 $P(3,1,2)$ 投下来正好落在 $C(3,1,0)$ 头上——所以那个影子就是 $\triangle ABC$ 本身， 不多一块也不少一块。由 $\overrightarrow{BA}=(-3,0,0)$、$\overrightarrow{BC}=(0,1,0)$ 知 $\angle ABC=90^{\circ}$，

$$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC=\frac{1}{2}\times3\times1=\frac{3}{2}$$

高。 冷启动里已经立起来了：$\overrightarrow{CP}=(0,0,2)$ 与底面所在的 $z=0$ 平面垂直， 所以 $CP\perp$ 底面 $ABC$，$P$ 到底面的距离就是 $CP=2$。 （这正是正视图右边那条标着 $2$ 的竖边——它是 $CP$ 平行于正视图投影面时投出的实长。）

代公式。

$$V=\frac{1}{3}\cdot S_{\triangle ABC}\cdot CP=\frac{1}{3}\times\frac{3}{2}\times2=1$$

答案 $1\ \mathrm{cm}^{3}$。

这条路的关键不在算，在两句话：影子恰是底面（因为顶点投在底面的一个顶点上）， 竖边恰是高（因为那条棱垂直于底面）。两句里任何一句不成立，这条路都要改写—— 比如顶点投在底面内部时，俯视图就会比底面多出两条内部的线。

解法二：换一个面当底——$AB$ 垂直于平面 $PBC$，那个面的面积只有 $1$

锥体的 $\frac13Sh$ 里，四个面都能当底。这道题里换一个底反而更省：

先证垂直。 平面 $PBC$ 里取两条相交直线 $BC$、$BP$：

$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=(3,0,0)\cdot(0,1,0)=0, \qquad \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BP}=(3,0,0)\cdot(0,1,2)=0$$

$BC$ 与 $BP$ 相交于 $B$、都在平面 $PBC$ 内，故 $AB\perp$ 平面 $PBC$。

再算那个面。 $\overrightarrow{CB}=(0,-1,0)$、$\overrightarrow{CP}=(0,0,2)$ 垂直，所以 $\triangle PBC$ 也是直角三角形，直角在 $C$：

$$S_{\triangle PBC}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot CP=\frac{1}{2}\times1\times2=1$$

换底代公式。 底是 $\triangle PBC$，对着它的顶点是 $A$，而 $A$ 到平面 $PBC$ 的距离就是 $AB=3$：

$$V=\frac{1}{3}\cdot S_{\triangle PBC}\cdot AB=\frac{1}{3}\times1\times3=1$$

为什么值得换。 这条路一次垂足都没求：高是一条现成的棱 $AB$。 换底的判据只有一句——哪个面上现成挂着一条垂线，就拿那个面当底。 本题两个面各挂一条（$CP\perp$ 底面、$AB\perp$ 平面 $PBC$），所以两条路都通、且都不用解方程； 换成「顶点在底面上的投影落在三角形内部」的题目，就只有挂着现成垂线的那个面能这么算。

解法三：补成 $3\times1\times2$ 的长方体——它恰好是等体积六块中的一块

前两条都用了锥体体积那个 $\frac13$。第三条一次都不用：

四个顶点 $A(0,0,0)$、$B(3,0,0)$、$C(3,1,0)$、$P(3,1,2)$ 全落在长方体

$$\Omega=[0,3]\times[0,1]\times[0,2],\qquad V_{\Omega}=3\times1\times2=6$$

的顶点上。把 $\Omega$ 里每个点 $(x,y,z)$ 换算成三个比值

$$u=\frac{x}{3},\qquad v=\frac{y}{1},\qquad w=\frac{z}{2},$$

三个数都落在 $[0,1]$ 里。按 $u$、$v$、$w$ 的大小次序给点分类，一共 $3!=6$ 种次序， 每种次序占一块；两块之间只共一张平面（体积为零），所以六块内部互不重叠、合起来正是整个 $\Omega$。

而「$u\geqslant v\geqslant w$」那一块的四个顶点是

$$(0,0,0),\quad (3,0,0),\quad (3,1,0),\quad (3,1,2)$$

——正是 $A$、$B$、$C$、$P$。任意两块之间只差一次「把某两个比值互换」的线性变换， 它的行列式是 $\pm1$，所以六块等体积，

$$V=\frac{V_{\Omega}}{6}=\frac{3\times1\times2}{6}=\frac{6}{6}=1$$

（是「等体积」，不是「全等」。 $3$、$1$、$2$ 不相等，那个变换不是等距变换： $u\geqslant v\geqslant w$ 这块的六条棱长是 $\{1,2,3,\sqrt5,\sqrt{10},\sqrt{14}\}$， 而 $v\geqslant u\geqslant w$ 那块是 $\{1,2,3,\sqrt{10},\sqrt{13},\sqrt{14}\}$，两块并不同构。 承重的只是「等体积」这一条——只有长方体退化成正方体时六块才真全等。）

这条路的收获是一条能直接背的结论：三条棱首尾相接、两两垂直、长为 $a$、$b$、$c$ 的四面体， 体积恒为 $\dfrac{abc}{6}$。代进来 $\dfrac{3\times1\times2}{6}=1$，一步落地， 连「哪个面当底」都不用挑。它顺带解释了那个 $\frac13$ 是哪来的： $\dfrac16=\dfrac13\times\dfrac12$，其中 $\dfrac12$ 是「底面直角三角形占长方形的一半」。

三条提醒

1. 俯视图那个 $1$ 是进深，不是高。 三个尺寸各自在两张图上出现一次：长在正视图与俯视图的横向， 高在正视图与侧视图的纵向，进深在侧视图的横向与俯视图的纵向。 把 $1$ 当成高、$2$ 当成进深，底面积就变成 $\frac{1}{2}\times3\times2=3$、高变成 $1$—— 本题恰好还是 $1$（三个数一乘除以 $6$ 与次序无关），但换一道数字不对称的题就当场错一个倍数。 别拿这次的巧合当经验。

2. 视图上的斜边不是棱。 正视图那条斜边长 $\sqrt{3^{2}+2^{2}}=\sqrt{13}\approx3.61$， 它是棱 $AP$ 的影子；而 $AP=\sqrt{3^{2}+1^{2}+2^{2}}=\sqrt{14}\approx3.74$。 差的正是被正视图丢掉的那一维（进深 $1$）。视图上能直接读的只有长、宽、高三个数， 斜着的线段一律要先有坐标再算。

3. 摆放方向反了会做出镜像。 俯视图上越靠下越靠前，侧视图上越靠右越靠前—— 两条合起来一句话：离正视图越远，离观察者越近。 本题里侧视图的竖边在左， 所以最高的顶点在后（$y=1$）、即 $P$ 在 $C$ 的正上方；若把它读成在前， $P$ 就跑到 $B$ 正上方去了。那样体积照样是 $1$（$3$、$1$、$2$ 三条棱还是两两垂直）， 但「$AB\perp$ 平面 $PBC$」「底面的直角在 $B$」这些话全得重写—— 位置关系比体积敏感得多，方向不能靠猜。