换个面当底面算体积

解题套路

一个三棱锥有四个面，随便哪一个都能当底：

同一个 $V$，四种拆法。挑哪一个，看哪个面上现成有一条垂线。

判据很简单：若有一条棱 $\ell$ 垂直于它对面的那个面 $\alpha$，那就拿 $\alpha$ 当底， $\ell$ 的长度直接就是高——一步都不用算。更常见的写法是：

• 找到一条棱 $PA$，它同时垂直于 $\alpha$ 内两条相交的直线 $\Rightarrow$ $PA\perp\alpha$；
• 于是 $V=\tfrac13 S_{\alpha}\cdot PA$。

什么时候想到它

• 顶点到底面的垂足不在底面的顶点上（要另求垂线），而换个面之后垂线是一条现成的棱；
• 题面里出现「$PA\perp$ 平面 $ABC$」「两两垂直」「侧面垂直于底面」这类话——那就是在提示哪个面该当底；
• 反过来用也一样好使：已知 $V$、想求某个点到某个面的距离，就把那个面当底反解 $h$。

两个提醒

• 换底要换成一对。 底换了，高必须换成对着这个底的那个顶点到它的距离，别拿原来的高凑新的底。 写之前先念一句「哪个面当底、哪个点当顶」。
• 垂线要证，不能看图。 图上看着垂直不算；线面垂直得由「垂直于面内两条相交直线」立起来。 证不出来的话，这条路不比原来那条省。