把四面体补成长方体

解题套路

设四面体 $ABCP$ 的三条棱首尾相接：$A\to B\to C\to P$，且

记 $a=AB$、$b=BC$、$c=CP$。以 $A$ 为原点、三条棱的方向为三个坐标轴方向，则

四个顶点全落在长方体 $[0,a]\times[0,b]\times[0,c]$ 上，于是

凭什么是六分之一

把长方体里的每个点 $(x,y,z)$ 换算成三个比值 $\left(\dfrac{x}{a},\dfrac{y}{b},\dfrac{z}{c}\right)$， 三个数都落在 $[0,1]$ 里。按这三个数的大小次序给点分类，一共 $3!=6$ 种次序， 每种次序占一块，六块内部互不重叠（两块之间只共一张平面，体积为零）、合起来就是整个长方体。

而「$\dfrac{x}{a}\geqslant\dfrac{y}{b}\geqslant\dfrac{z}{c}$」那一块，四个顶点正是 $(0,0,0)$、$(a,0,0)$、$(a,b,0)$、$(a,b,c)$——就是本四面体。 六块两两之间只差一次「把某两个比值互换」的线性变换——它的行列式是 $\pm1$，所以体积相等，各占 $\dfrac16$。

是「等体积」，不是「全等」。 $a$、$b$、$c$ 不全相等时那个变换不是等距变换，六块的棱长各不相同 （本例里 $u\geqslant v\geqslant w$ 那块的六条棱是 $\{1,2,3,\sqrt5,\sqrt{10},\sqrt{14}\}$， 而 $v\geqslant u\geqslant w$ 那块是 $\{1,2,3,\sqrt{10},\sqrt{13},\sqrt{14}\}$）。 只有 $a=b=c$（正方体）时六块才真全等。承重的只是「等体积」这一条。

这条路一步都没用到锥体的 $\frac13$。 反过来说，它顺手解释了那个 $\frac13$ 是从哪来的： $\frac16=\frac13\times\frac12$，$\frac12$ 是「底面直角三角形占长方形的一半」。

什么时候想到它

• 三条棱两两垂直（首尾相接的三条，或共一个顶点的三条——共顶点那种也一样是 $\frac{abc}{6}$）；
• 三视图还原出来的立体，三个方向的尺寸摆明了，而「哪个面当底」一时看不清；
• 要的是体积（不是表面积）——补形对体积最省，对表面积没用。

两个提醒

• 只要「两两垂直」，不要求哪个顶点是直角顶点。 三条棱共一个顶点、还是首尾相接排成一条折线， 两种构型的体积都是 $\frac{abc}{6}$；但哪些面是直角三角形不一样， 算表面积时必须分清，算体积时不必。
• 验一验再补。 补形的前提是三个垂直关系都成立；只有两个成立时长方体套不上， 这时得回去老老实实挑底面。