把视图的斜边当成棱的实长

坑长什么样

某三棱锥的正视图是直角边 $3$、$2$ 的直角三角形。顺手写：「所以有一条棱长 $\sqrt{3^{2}+2^{2}}=\sqrt{13}$。」

错。 那条斜边是某条棱在正视图那个投影面上的影子。设那条棱的三个方向分量是 $(3,1,2)$（进深 $1$ 被正视图丢掉了），它的实长是

而视图上量到的是

差的正是被丢掉的那一维。投影只会让长度变短，永不变长。

什么时候视图上的长度就是实长

只有一种情形：那条棱平行于该投影面（等价地，它在被丢掉的那个坐标方向上分量为零）。 所以视图上沿着横轴或纵轴的那些线段可以直接读——它们是三个方向的尺寸； 斜着的那些不行。

于是「三视图上能直接读的数」就三个：长、宽（进深）、高。别的长度一律要先有坐标再算。

怎么躲

• 先定坐标，再算长度。 三张视图各钉住两个坐标，凑齐每个顶点的 $(x,y,z)$， 之后任何棱长、任何面的面积都用两点距离与向量算——不去视图上量。
• 量之前先问一句「这条线段在哪个方向上分量为零」。 答不出来，就不是实长。
• 同一个坑的反面：也别把视图上的角当成立体上的角。正投影不保角， 视图上的直角在立体上可能不是直角，立体上的直角在视图上也可能画成钝角。