浙江 2021 · 数学 q04

转着看 · 换个机位再判断

三视图还原出的四棱柱 ABCD-A₁B₁C₁D₁：底面等腰梯形（上底 $\sqrt{2}$、下底 $2\sqrt{2}$、腰 $1$，高 $\frac{\sqrt{2}}{2}$），棱柱高 $1$ · 体积 = $\frac{3}{2}$

机位1题图角度2正对 底面 ABCD（等腰梯形，面积 $\frac{3}{2}$）3沿 底面 ABCD（等腰梯形，面积 $\frac{3}{2}$） 看4俯视自由视角

拖动旋转 · 滚轮缩放（触屏双指）

读题：三张平面图，还原一个立体

题目给了三视图，问体积。选项是 $\dfrac{3}{2}$、$3$、$\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$、$3\sqrt{2}$。

三视图题的全部难度在还原——把三张平面图在脑子里拼回一个立体。算体积本身只是套公式。

解法一：三视图还原棱柱直接求体积

怎么想到的。 读三视图有固定顺序：俯视图定底面形状，正视图和侧视图定高度与前后左右关系。

第一步：从俯视图读出底面。

俯视图是一个等腰梯形。这说明几何体的底面就是等腰梯形——底面是曲线形的那就该是旋转体，底面是矩形的就该是长方体，都不是。

第二步：从正视图和侧视图读出高度。

正视图是一个 $2\times 1$ 的矩形（宽 2、高 1），侧视图同样是 $2\times 1$ 的矩形。矩形意味着上下等宽——几何体是柱体（不是锥、不是台）。高度直接读出：$h = 1$。

合起来：几何体是一个底面为等腰梯形的四棱柱 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$。

第三步：量出等腰梯形的尺寸。

从三视图的标注读出：

• 上底 $= \sqrt{2}$
• 下底 $= 2\sqrt{2}$
• 腰长 $= 1$

第四步：求梯形的高。

等腰梯形的高不是直接给的，要用腰长算。从上底两端向下底作垂线，梯形被分成一个矩形和两侧全等的直角楔形。每个楔形中：

• 斜边 $=$ 腰长 $= 1$
• 水平直角边 $= \dfrac{\text{下底} - \text{上底}}{2} = \dfrac{2\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

由勾股定理，梯形的高：

$$h_{\text{梯}} = \sqrt{1^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

第五步：套柱体体积公式。

$$V = S_{\text{底}} \times h = \frac{1}{2}(\sqrt{2} + 2\sqrt{2}) \times \frac{\sqrt{2}}{2} \times 1 = \frac{1}{2} \times 3\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3}{2}$$

选 A。

🕳️ 避坑

• 腰长 $\neq$ 梯形高。本题腰长 1、梯形高 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$——直接把腰长当高代入，体积会算成 $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$（选项 C），恰好是干扰项。
• 正视图的宽度 2 是棱柱在投影方向上的跨度，不是底面梯形的任何一条边。底面尺寸只从俯视图读。