翻折后的体积最值

题型说明

• 常见问法：「平面 $ABC$ 外的点 $P$ 与线段 $AC$ 上的点 $D$ 满足 $PD=DA$、$PB=BA$， 求四面体 $PBCD$ 体积的最大值」；或者直白地说「把 $\triangle ABD$ 沿 $BD$ 折起」。 多为填空题的压轴位置，也进解答题。
• 骨架是两层变量：
  1. 折痕的位置（上例里 $D$ 在 $AC$ 上滑，记 $AD=t$）；
  2. 折起的角度（绕折痕转多少度）。
• 关键在于这两层能拆开：先把角度那一层用掉（它只影响「高」，且高在折起面垂直于底面时最大）， 剩下一个关于 $t$ 的一元函数，再按普通的最值题做。

固定动作

1. 认出哪些量在折起时不变。折痕两侧的两个三角形全等，所以 折起的那一块的所有边长、面积都不变，变的只是它相对底面的倾角。
2. 把角度那一层用掉：设折起面与底面沿折痕成二面角 $\varphi$， 折起点到底面的距离 $=$（它到折痕的距离）$\times\sin\varphi$。故 $$h_{\max}=\text{折起点到折痕所在直线的距离},$$ 在折起面 $\perp$ 底面时取到。注意是到折痕所在的直线，不是到折痕的某个端点。
3. 写出 $V(t)$。底面积与 $h_{\max}$ 都是 $t$ 的初等式子，$V=\frac13Sh$。
4. 求 $V(t)$ 的最大值。式子里往往带一个根号，换元把根号收成一个新变量再看单调性最省事； 也可以分别给分子放大、分母缩小，两处等号能同时取到就直接得上界。

为什么可以「先固定 $t$ 再转到垂直」

因为对每一个固定的 $t$，底面积已经定死，$V$ 只随高变化；而高在折起面垂直于底面时最大。 所以先对角度取最大不会漏掉任何情形——

这是「分层取最大」的标准写法，两层顺序反过来也行，但先取角度这一层最省力。

常见失手

• 把折起点到折痕端点的距离当成高（例如误取 $PD=t$ 当高）。高是点到折痕所在直线的垂线段， 只有折痕恰好垂直于那条线段时两者才相等。
• 忘了换元后新变量的范围，于是最值取在一个 $t$ 根本达不到的位置。
• 只算折起面垂直这一种位置就宣布最大，却没说明为什么可以先固定 $t$。