浙江 2017 · 数学 q03

转着看 · 换个机位再判断

三视图还原出的组合体：半圆那半边立成半个圆锥（底半径 $r=1$），三角形那半边立成三棱锥（底是以直径 $2$ 为斜边的等腰直角三角形，$S=1$），两块共用顶点 $S$、公共高 $h=3$，沿轴截面 $SAB$ 粘在一起 ⟹ $V=\frac{r^{2}h}{6}\pi+\frac{S_{\triangle}h}{3}=\frac{1}{2}\pi+1$（官方答案 A）

机位1题图角度2正对 正视面3沿 正视面 看4俯视自由视角

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冷启动：三视图怎么读回一个立体

这类题的难点从来不在算，在还原——三张平面图要在脑子里拼回一个立体。先把三张图各管什么记住：

「高」只在正视图与侧视图上，「深」只在侧视图与俯视图上。 拿正视图的高去当深度，是这类题最稳定的翻车方式。

本题三张图给的是：

• 正视图：一个三角形，底 $1+1=2$，高 $3$；
• 侧视图：同样是底 $2$、高 $3$ 的三角形；
• 俯视图：上半是一个半圆，下半是一个尖朝下的三角形，两者共用中间那条水平线。

读出三条结论。

1. 俯视图就是这个立体在地面上的投影轮廓，也就是它的底面：半圆 + 三角形。
2. 正视图、侧视图都是三角形（上尖下宽），说明这个立体越往上越细，收到一个点——它是个锥。
3. 那个尖点的高是 $3$；而正视图与侧视图的尖都在正中间，说明尖点就在底面中心的正上方。

半圆的半径：俯视图那条水平线（半圆的直径）被正视图标成了 $1+1=2$，所以

$$r=1,\qquad \text{直径}=2,\qquad h=3$$

下半的三角形以这条直径为斜边，是个等腰直角三角形（尖朝下，两腰相等且夹角为直角）。

到这里题目已经变成：一个高 $3$、顶点在中心正上方、底面是「半圆 + 三角形」的锥体，求体积。

解法一：分块求和

怎么想到的。 底面由两块拼成，那就沿着那条直径把立体竖着切开，两块各是一个见过的标准几何体，各套各的公式再相加。

① 半圆那块 = 半个圆锥。 顶点在圆心正上方、底是半个圆——把它补上另一半，就是一个底面半径 $r=1$、高 $h=3$ 的完整圆锥。所以它的体积是整锥的一半：

$$V_{1}=\frac12\cdot\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac12\cdot\frac{1}{3}\pi\cdot 1^{2}\cdot 3=\frac{\pi}{2}$$

② 三角形那块 = 一个三棱锥。 先算它的底面积。这个等腰直角三角形的斜边是 $2$，尖朝下。直角顶点到斜边的距离等于斜边的一半（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，而等腰时这条中线就是高），即 $1$，于是

$$S_{\triangle}=\frac12\times 2\times 1=1$$

再套锥体体积：

$$V_{2}=\frac{1}{3}S_{\triangle}h=\frac13\times 1\times 3=1$$

③ 相加。

$$V=V_{1}+V_{2}=\frac{\pi}{2}+1$$

对照选项，故选 A。

解法二：先合底面再算一次

怎么想到的。 上一条路把 $\dfrac13\cdot(\text{底})\cdot(\text{高})$ 算了两遍，而两块的高相同、顶点还是同一个点。既然如此，何必分开——把两块底面先加成一块，整体就是一个锥体，公式只用一次。

判据是这么一句：顶点是同一个、底面在同一个平面上，那么「两个锥体拼起来」与「一个以合并底面为底的锥体」是同一个立体。本题正视图与侧视图的尖都在正中且高都是 $3$，正说明两块共用那一个顶点。

① 把俯视图的面积加起来。

$$S=\underbrace{\frac{\pi r^{2}}{2}}_{\text{半圆}}+\underbrace{S_{\triangle}}_{\text{三角形}}=\frac{\pi}{2}+1$$

② 套一次锥体公式。

$$V=\frac13 S h=\frac13\left(\frac{\pi}{2}+1\right)\times 3=\frac{\pi}{2}+1$$

确认是 A。

顺带解释了一个巧合。 本题的答案在数值上恰好等于底面积，看着像是「体积 = 面积」这种荒唐事。原因就在这条路上：高是 $3$，而锥体公式带着 $\dfrac13$，两者正好抵消。换成高 $6$ 的同一个立体，答案就变成 $\pi+2$，与底面积不再相等。

这两条路差在哪。 解法一是通用的：无论两块高不高、顶点同不同，分块求和永远成立，是这类题的默认打法。解法二快得多，但它有一个必须先验的前提——同顶点、同底面；前提不成立时（比如一块是锥、一块是柱）合并底面就是错的。所以顺序应该是：先看一眼两块是不是共顶点，是就走解法二，不是就老实分块。

四个选项来自同一个动作的四种做法——那个 $\dfrac13$ 除没除。

选项	值	半圆锥那块	三棱锥那块
A	$\dfrac{\pi}{2}+1$	$\dfrac12\cdot\dfrac13\pi r^2h=\dfrac{\pi}{2}$ ✓	$\dfrac13S_\triangle h=1$ ✓
B	$\dfrac{\pi}{2}+3$	✓	$S_\triangle h=3$——漏乘 $\dfrac13$，当成柱体了
C	$\dfrac{3\pi}{2}+1$	$\dfrac{\pi r^2}{2}\cdot h=\dfrac{3\pi}{2}$——同样漏乘 $\dfrac13$	✓
D	$\dfrac{3\pi}{2}+3$	漏乘	漏乘

也就是说，四个选项里没有一个是「还原错了」的产物——出题人赌的是你把锥算成柱。所以算完务必回头念一句：上尖下宽的是锥，锥的体积要除以 $3$。

另一处该自查的是深度：本题正视图与侧视图恰好一模一样（都是底 $2$、高 $3$），所以「宽」和「深」都是 $2$，混用也不出错。但这纯属本题的巧合——正视图与侧视图不同的题里，拿正视图的高去当俯视图的纵向尺寸，底面积当场就错一个倍数。