浙江 2018 · 数学 q03

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三视图还原出的直四棱柱 ABCD-A₁B₁C₁D₁：底面前 $2$、后 $1$、宽 $2$，棱柱高 $2$ · 体积 $= 6$

机位1题图角度2正对 底面 ABCD（面积 $3$）3沿 底面 ABCD（面积 $3$） 看4俯视自由视角

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读题：三张平面图，还原一个立体

题目给了三视图，问体积。选项是 $2$、$4$、$6$、$8$。

三视图题的全部难度在还原——把三张平面图在脑子里拼回一个立体。算体积本身只是套公式。

读图的固定顺序：俯视图定底面形状，正视图和侧视图定高度。

• 俯视图是一个直角梯形（右边竖直、左边斜）。底面既不是曲线围成的轮廓、也不是矩形，所以既不是旋转体一类、也不是长方体。
• 正视图是高 $2$、宽 $2$ 的矩形，中间有一条竖线把底边分成 $1+1$。矩形说明上下一样宽——这是柱体，不是锥、不是台。高就是 $2$。
• 侧视图是边长 $2$ 的正方形：前后方向也是 $2$，高还是 $2$。

合起来：几何体是一个底面为直角梯形、高为 $2$ 的直四棱柱。

俯视图上方对应正视图的「前」。于是直角梯形的两条平行边是：

• 前边（对着正视图）长 $2$
• 后边长 $1$
• 两条平行边之间的距离（梯形的高）等于侧视图的宽，也是 $2$
• 直角在右侧

正视图中间那条竖线，就是后边左端点投到前边上的位置——前边长 $2$，后边短了 $1$ 且靠右对齐，投影正好落在前边中点。

解法一：还原成直角梯形底四棱柱

怎么想到的。 先按三视图把底面和高读出来，再套柱体体积。不必拆块。

① 俯视图定底面。 俯视图是一个直角梯形：右边一条竖线（直角腰），左边一条斜线，上边长、下边短。俯视图上方对应正视图的「前」，所以：

• 前边 = 正视图的底边 $= 2$（正视图底边标了 $1+1$）
• 后边比前边短 $1$，且靠右对齐，故后边 $= 1$
• 两条平行边之间的距离 = 侧视图的水平边 $= 2$
• 直角在右侧（俯视图右边是竖线）

这就是直角梯形的四个量：两底 $1$、$2$，高 $2$（两底之间的垂直距离，不是斜腰）。

② 正视图、侧视图定柱高。 两张都是矩形，上下一样宽，所以是直棱柱而不是锥或台。正视图竖边标着 $2$，侧视图也是边长 $2$ 的正方形，柱高就是 $2$，并且垂直于底面。

③ 先验再套公式。 梯形面积公式里的「高」是两底间的垂距，已经从侧视图的水平边读出，不是斜腰。柱体 $V=Sh$ 里的 $h$ 是垂直于底的高，已经从正视图竖边读出。两条前提都成立。

$$S = \frac{1}{2}(1+2)\times 2 = 3,\qquad V = Sh = 3\times 2 = 6$$

一次写：

$$V = \frac{1}{2}(1+2)\cdot 2\cdot 2 = 6$$

选 C。

自检。 四个选项里 $6$ 是 C。漏乘柱高得到的是底面积 $3$，不在选项里；若把底面当成 $2\times 2$ 的矩形再乘柱高，会得到 $8$（选项 D）；只算那个矩形、不乘柱高，才是 $4$（选项 B）。

解法二：沿正视图中线切成柱加楔

怎么想到的。 正视图中间那条竖线把底边分成 $1+1$，正好对应「前边 $2$、后边靠右的 $1$」——沿这条线竖切，右边是长方体，左边是三棱柱，两块都不必用梯形面积。

尺寸仍从三视图读：柱高 $2$（正视图竖边）、前后方向 $2$（侧视图水平边）、左右在切口两侧各 $1$（正视图底边的 $1+1$）。

切口是过前边中点、垂直于前边的竖直平面。切开之后：

• 右侧：左右 $1$、前后 $2$、高 $2$ 的长方体。体积 $1\times 2\times 2 = 4$。
• 左侧：底面是直角边为 $1$（左右）与 $2$（前后）的直角楔、高为 $2$ 的直三棱柱。体积 $\dfrac{1}{2}\times 1\times 2\times 2 = 2$。

$$V = 4 + 2 = 6$$

还是选 C。

自检。 两块拼回去，右侧长方体的左侧面与左侧三棱柱的直角侧面重合，底面正好是原来那个直角梯形（$1+1$ 拼出前边 $2$，后边只留下右侧那 $1$）。$4+2$ 与解法一的 $3\times 2$ 相同：梯形面积 $3$ 本来就可以拆成矩形 $2$ 加直角楔 $1$。