浙江 2020 · 数学 q05

转着看 · 换个机位再判断

三视图还原出的组合体：下部直三棱柱（底面等腰直角三角形，斜边 $2$、面积 $1$，柱高 $2$）+ 上部三棱锥（锥高 $1$）· 体积 $= \frac{7}{3}$。虚线是同底、高 $3$ 的外框柱体（体积 $3$）

机位1题图角度2正对 底面（面积 $1$）3沿 底面（面积 $1$） 看4俯视自由视角

拖动旋转 · 滚轮缩放（触屏双指）

冷启动：三张平面图先拼回一个立体

三视图是图，不在文字里。 本站的题面转写只抽得出文字，那三张视图与四个选项的排版都是图； 下面这一段是照本页上方的原卷扫描图读出来的。读图归读图，读完之后每一步都能自己验。

扫描图上的三张视图（单位 cm）：

• 主视图：一个宽 $1+1=2$、高 $2$ 的矩形，顶上再压一个高 $1$ 的三角形，顶点在正中；矩形中间有一条竖线。
• 侧视图：一个宽 $1$、高 $2$ 的矩形，顶上压一个高 $1$ 的直角三角形，竖直的那条直角边在左侧。
• 俯视图：一个尖朝下的三角形，水平的那条边长 $2$、尖到这条边的距离是 $1$；中间有一条竖线。

四个选项都是数（$\dfrac73$、$\dfrac{14}{3}$、$3$、$6$），所以图只用来还原、不用来对号。往下两条路： 一条老老实实还原完再算，一条只挣两个不等号就把选项刷完。

原卷解析这里有一处笔误。 它写的是「下部是直三棱柱，底面是斜边长为 2 的等腰直角三角形， 棱锥的高为2」——这一句讲的是下部那个柱，「棱锥」应作「棱柱」。下一句「上部是一个三棱锥… 棱锥的高为 1」才是锥。两个高一个是 $2$ 一个是 $1$，对调了就算不出 $\dfrac73$，故这处笔误不难认出。

解法一：还原成「柱 + 锥」，两块各算各的

怎么想到的。 这类题的难点从来不在算，在还原。还原分三件事：把三个方向的尺寸各归位、 认出底面、在轮廓变形状的地方切一刀。切完剩下的只是两条体积公式。

① 三个方向的尺寸各从哪张视图读。 三视图的投影规则是「长对正、高平齐、宽相等」， 每个尺寸都能在两张图上量到——量两遍对得上，就是一次免费的自检：

「深」是唯一不出现在主视图里的尺寸——主视图是从前往后看的，前后方向被压没了。本题的全部 分歧都在这个 $1$ 上：把它错抄成主视图的高 $2$，底面积就翻倍。

② 俯视图给的就是底面。 俯视图是立体沿竖直方向的正投影，而下面这一段（见 ③）的水平截面 处处相同，所以俯视图与底面全等。于是底面是这样一个三角形：一条边长 $2$，对面的顶点到这条 边的距离是 $1$，而且（由俯视图中间那条竖线，见 ④）这个顶点落在那条边的中垂线上。

顶点在中垂线上 $\Rightarrow$ 它到边的中点的连线就是这条边上的中线，长度恰是 $1=\dfrac{2}{2}$， 即中线等于该边的一半。由「直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半」的逆命题，这个顶点处是直角： 底面是一个斜边为 $2$ 的等腰直角三角形，两条直角边各为 $\sqrt2$。它的面积

$$S=\frac12\times 2\times 1=1$$

③ 下面那块是直三棱柱，高 $2$。 在 $0$ 到 $2$ 这一段上，主视图与侧视图都是矩形——左右轮廓 是两条竖直线。轮廓竖直意味着这一段的水平截面在左右、前后两个方向上的宽度都不随高度变化； 配上俯视图那个三角形，这一段就是底面三角形沿竖直方向平移出来的直三棱柱。既然侧棱竖直， 两底面之间的距离就是主视图上标的那个 $2$，它同时是侧棱长——这里不必担心”标的是侧棱还是高”， 斜棱柱才有这个问题。

④ 上面那块是三棱锥，高 $1$。 在 $2$ 到 $3$ 这一段上，主视图与侧视图都收成一个尖：

• 主视图（往 $xz$ 面投影）在最高处收成一点 $\Rightarrow$ 这一段最高层的点只有一个左右坐标；
• 侧视图（往 $yz$ 面投影）在最高处也收成一点 $\Rightarrow$ 最高层的点只有一个前后坐标。

两个坐标都被钉死，最高层就只剩一个点。又两张视图的轮廓都是直线段（不是曲线、也不是折线）， 说明这一段是从下面那个三角形直线地收到那一点——这正是三棱锥。

为什么不能是”屋脊形”（楔体）。 楔体的顶上是一条水平的棱脊而不是一个点。设棱脊沿左右 方向：沿棱脊方向看过去的那张（侧视图，往 $yz$ 面投影）棱脊被压成一个点，轮廓确实收成尖； 可垂直于棱脊方向看过去的那张（主视图，往 $xz$ 面投影）会把整条棱脊看成一条水平边，轮廓 就成了梯形。棱脊无论朝哪个水平方向，总有一张视图要露出它。本题主视图、侧视图两张都是 三角形，楔体就被排除了。

这一条不是装饰：以同一个三角形为底、同样高 $1$ 的楔体，严格包含顶点取在棱脊上的那个锥 （锥的四个顶点都在楔体里，而楔体是凸的），所以它的体积严格大于 $\dfrac13$，总体积就严格大于 $\dfrac73$，A 当场作废。上下两块的形状必须各自认准，不能”看着像”。

锥顶在哪儿，俯视图中间那条竖线说了算：它只能是锥的一条侧棱在水平面上的投影（柱的三条竖棱 各自投影成一个点，投不出线来）。这条线从水平边的中点连到下面那个尖，说明锥顶正在水平边中点 的正上方——也就是在过那条边的竖直面上。这与官方解析那句「一个侧面与底面等腰直角三角形垂直」 是同一件事。锥高是这一段的高度 $3-2=1$，也就是主视图顶上那个三角形标着的 $1$。

顺带一提锥顶的左右位置不影响答案：等底等高的锥体积相同。它只影响立体长什么样，不影响这道 题问的那个数。

⑤ 逐块算，相加。 切面 $z=2$ 是同一个平面，所以柱的顶面与锥的底面是同一个三角形—— 锥的底面不必另算，仍是 $S=1$。

$$V_{1}=S\cdot h_{1}=1\times 2=2,\qquad V_{2}=\frac13 S\cdot h_{2}=\frac13\times 1\times 1=\frac13$$ $$V=V_{1}+V_{2}=2+\frac13=\frac73$$

对照选项，选 A。

四个选项分别是哪一种错法

这道题的干扰项做得极工整——每一个都对应一步具体的错：

看到某个选项恰好是自己答案的两倍或三倍，先回头查底面积和那个 $\dfrac13$——出题人把这两处 最常见的错都摆在选项里等着。

解法二：不算体积，把它夹在两个柱体之间

怎么想到的。 选择题只要求认出那个数，不要求算出它。而这个立体有一个极便宜的上下界： 它显然比下面那个柱大，又显然装得进一个同底、更高的柱里。如果这两个界之间只剩一个选项，就不必算了。

① 底面积照旧要算。 $S=1$。这一步免不掉——两条路的起点是同一个。

② 下界。 整个立体包含下面那个高 $2$ 的柱，而上面那个锥的体积是正的，所以

$$V>S\times 2=2$$

③ 上界。 把底面沿竖直方向拉高 $3$，得到一个同底、高 $3$ 的柱（教学图里的虚线框）。整个立体 装在它里面：立体上每一点的高度都在 $0$ 到 $3$ 之间，而每个水平截面都落在底面那个三角形之内 （下半段截面就是底面本身，上半段是锥的截面，它比底面还小）。锥没有把最上面那一层填满，所以

$$V<S\times 3=3$$

④ 夹逼。 合起来 $2<V<3$。四个选项的值是

$$\frac73\approx 2.33,\qquad \frac{14}{3}\approx 4.67,\qquad 3,\qquad 6$$

落在 $(2,\ 3)$ 里的只有 $\dfrac73$（$3$ 是端点，被上界的严格不等号挡在外面）。故选 A。

⑤ 它免疫什么，不免疫什么。 这条路完全没用到”上面那块是三棱锥”——是锥、是楔、是别的 什么形状都不影响，只要它满足两件事：体积为正（给出 $V>2$），且没把最上面那一层填满 （给出严格的 $V<3$；③ 里那句”水平截面不超出底面轮廓”是它的一半，本题由俯视图直接给出）。 两件事都只需要看轮廓：视图顶上是尖不是矩形，那一层就必然有空。所以 这道题最难的”还原”那一步，它基本绕过去了。但它不免疫底面积算错：若把 $S$ 错成 $2$， 夹逼变成 $4<V<6$，正好把 B 圈进来还显得很有道理。底面积那一步，两条路都必须做对。

两条路差在哪。 解法一是正面算：还原、分块、套公式、相加，得到的是一个数，换成填空题 照样能写。解法二是侧面卡：只挣两个不等号，得到的是一个区间，靠”区间里只剩一个选项”收工—— 它比解法一快得多，但离开选择题就什么也没算出来。真正值得记住的是它俩共用的前两步： 读清三个方向的尺寸、把底面积算对。这道题的分不是丢在体积公式上，是丢在底面上。

🕳️ 避坑

• 深度从侧视图读，不从主视图读。 底面要的是「长 $\times$ 深」，而深只在侧视图的宽和俯视图的 纵向尺寸上出现。抄了主视图的高，底面积翻倍，答案变成 B。
• 锥体的 $\dfrac13$。 上面那块是锥不是柱，漏掉 $\dfrac13$ 得到的 $3$ 就摆在选项 C 上。
• 别急着找”底面是不是直角三角形”的复杂理由。 顶点到边中点的距离等于该边的一半，直接给出直角—— 不必去算两条边的斜率或用勾股逆定理凑。
• 上面那块不一定是锥。 判它是锥的依据是两张视图都收成一个尖；只看一张就下结论， 遇到”屋脊形”（楔体）的题会整块算错。
• 切一刀的位置。 切在”轮廓变形状”的那个水平面上（本题是高 $2$ 处），不是切在”看着差不多”的地方。

两条路殊途同归：正面算得到 $\dfrac73$，侧面卡把选项刷到只剩 $\dfrac73$。故选 A。