浙江 2016 · 数学 q11

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4 个棱长 2 cm 的小正方体拼成的几何体

机位1题图角度2俯视自由视角

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冷启动：三张视图都是「L」，格子边长都是 2

卷面给的三张视图，每一张都由三个边长 $2\,\mathrm{cm}$ 的小正方形拼成一个「L」：

• 正视图（从前往后看，横轴是左右、纵轴是高）：下面一排两格，右上再叠一格；
• 侧视图（从侧面看，横轴是进深、纵轴是高）：同样是下面一排两格、上面一格；
• 俯视图（从上往下看，横轴是左右、纵轴是进深）：一列两格，旁边再挂一格。

三张视图的每一格都是 $2\times 2$，所以这个几何体是由棱长 $2\,\mathrm{cm}$ 的小正方体拼起来的。 问题只剩两个：拼了几块，以及块与块粘住了几处。

把三个方向的格点信息合起来（详见解法一第一步），得到的摆法是： 底层三块摆成一个「L」，其中一块的正上方再叠一块，一共 4 块。

解法一：还原成四个小正方体，散开数面再扣粘合

第一步：把三张视图拼成一个摆法

以小正方体的棱长 $2\,\mathrm{cm}$ 为一格，建立格点坐标 $(x,y,z)$：$x$ 向右、$y$ 向后（进深）、$z$ 向上。

• 俯视图告诉我们底面占哪些格：三格，摆成 L，记作 $(0,0)$、$(0,1)$、$(1,1)$。
• 正视图告诉我们每一列 $x$ 有多高：$x=0$ 那列高 $1$ 格，$x=1$ 那列高 $2$ 格。
• 侧视图告诉我们每一排 $y$ 有多高：$y=0$ 那排高 $1$ 格，$y=1$ 那排高 $2$ 格。

逐格定高：格 $(0,0)$ 受 $x=0$ 与 $y=0$ 两个限制，高不超过 $1$；格 $(0,1)$ 受 $x=0$ 与 $y=1$ 限制， 高不超过 $\min(1,2)=1$；格 $(1,1)$ 受 $x=1$ 与 $y=1$ 限制，高不超过 $2$。 而正视图 $x=1$ 那列确实要出现高 $2$，只能由格 $(1,1)$ 提供，所以它就是 $2$。于是三格的高依次是 $1,1,2$，共

$$1+1+2=4\ \text{块}.$$

摆法：$(0,0,0)$、$(0,1,0)$、$(1,1,0)$ 三块在底层，$(1,1,1)$ 叠在第三块上面。

第二步：体积——粘不粘都一样

体积是可加的，粘合不改变总量。一块小正方体（一个正四棱柱，底面积 $2^{2}$、高 $2$）的体积是 $2^{3}=8$，故

$$V=4\times 2^{3}=32\ (\mathrm{cm}^{3}).$$

第三步：表面积——先按散开算

四块互不相碰时，每块 $6$ 个面，共

$$4\times 6=24\ \text{个正方形面}.$$

第四步：找出粘合处，每处扣两个面

两块相邻（共一个面）就算一处粘合。按第一步的摆法逐对检查：

• $(0,0,0)$ 与 $(0,1,0)$：$y$ 差 $1$，其余相同——相邻；
• $(0,1,0)$ 与 $(1,1,0)$：$x$ 差 $1$，其余相同——相邻；
• $(1,1,0)$ 与 $(1,1,1)$：$z$ 差 $1$，其余相同——相邻；
• 其余三对（$(0,0,0)$ 与 $(1,1,0)$、$(0,0,0)$ 与 $(1,1,1)$、$(0,1,0)$ 与 $(1,1,1)$）都差两个坐标，不相邻。

共 $3$ 处粘合。每处把两块各一个面藏进内部，所以少露

$$2\times 3=6\ \text{个面}.$$

这一步的坑就在这个 $2$。 一处粘合藏起的是两个面而不是一个，只扣一次会多算 $12\,\mathrm{cm}^{2}$。

第五步：合账

露在外面的面共 $24-6=18$ 个，每个面的面积是 $2^{2}=4\ \mathrm{cm}^{2}$，故

$$S=2^{2}\times(24-6)=4\times 18=72\ (\mathrm{cm}^{2}).$$

答案：表面积 $72\,\mathrm{cm}^{2}$，体积 $32\,\mathrm{cm}^{3}$。

解法二：不拼立体，直接对着三张视图算

这条路把「还原」压到最低限度：表面积完全不用知道块与块怎么粘。

第一步：一个几乎白送的结论

对一个每条平行于坐标轴的直线与它相交都只得到一条线段的立体（没有洞、没有悬空的断层），

$$S=2\left(S_{\text{正视图}}+S_{\text{侧视图}}+S_{\text{俯视图}}\right).$$

为什么：把表面按外法向分成六族——朝前、朝后、朝左、朝右、朝上、朝下。 沿 $y$ 方向看过去，每条直线穿进去一次、穿出来一次，所以「朝前的面」总面积 恰等于正视图的面积，「朝后的面」也是；左右两族各等于侧视图的面积，上下两族各等于俯视图的面积。 六族一加就是上式。

这个立体满足条件：底层是连通的一片，唯一的第二层压在底层某一格的正上方， 任何一条竖直线穿过它得到的都是一段连续的柱子；水平方向同理。

第二步：三张视图的面积

每张视图都是三格，每格 $2\times 2=4\ \mathrm{cm}^{2}$，故

$$S_{\text{正视图}}=S_{\text{侧视图}}=S_{\text{俯视图}}=3\times 4=12\ (\mathrm{cm}^{2}).$$

第三步：表面积一步到位

$$S=2\times(12+12+12)=2\times 36=72\ (\mathrm{cm}^{2}).$$

和解法一分毫不差，而且没数过一处粘合。

第四步：体积——给俯视图的每一格标上高

体积这一半绕不开高度信息，但也不必把立体在脑子里立起来， 只要在俯视图的每一格上写一个数（那一格上摞了几层）：

• 格 $(0,0)$：受正视图 $x=0$ 列高 $1$ 与侧视图 $y=0$ 排高 $1$ 的限制，写 $1$；
• 格 $(0,1)$：受正视图 $x=0$ 列高 $1$ 的限制，写 $1$；
• 格 $(1,1)$：正视图 $x=1$ 列高 $2$、侧视图 $y=1$ 排高 $2$，写 $2$。

（每格取两个方向限制中较小的那个；再检查一遍每一列、每一排的最大值确实等于视图给的高， 上面这组数正好都对上。）三个数一加得 $1+1+2=4$，故

$$V=4\times 2^{3}=32\ (\mathrm{cm}^{3}).$$

答案：表面积 $72\,\mathrm{cm}^{2}$，体积 $32\,\mathrm{cm}^{3}$。

回头看：两条路各自强在哪儿

解法一是通法，代价是必须真把立体拼出来。好处是拼出来之后什么都能问： 表面积、体积、外接球、某两条棱的夹角……而且「散开数面再扣粘合」这一招 对任何组合体都成立，不要求形状规整。

解法二的表面积那一步几乎不花力气，因为它把「表面」按六个朝向分了族， 每一族的面积就是一张视图——三视图本来就是这三对投影。 它的适用范围窄一些：立体不能有洞、不能有悬空的断层， 否则一条直线会穿进穿出好几次，公式就不成立了（这个前提在第一步里已经逐条验过）。

两条路的共同前提只有一件事：读懂三张视图各自量的是哪两个方向。 正视图的横轴是左右、侧视图的横轴是进深，两者的纵轴才都是高。 把侧视图的横轴当成高，拼出来的会是另一个立体，两个答案一起错—— 这是三视图题最常见的翻车方式。

一句话记住这道题：几块小正方体拼起来，体积直接乘块数； 表面积先按散开算 $6$ 面一块，再按每处粘合扣掉 $2$ 个面。