割补求三角形面积

解题套路

设 $\triangle ABP$ 的顶点 $A$ 在 $y$ 轴上，另一条边 $BP$ 所在的直线交 $y$ 轴于 $Q$。

1. 切一刀：线段 $AQ$ 把 $\triangle ABP$ 切成 $\triangle AQB$ 与 $\triangle AQP$ 两块（$B$、$P$ 在 $AQ$ 两侧时是切，同侧时是「大块减小块」）。

2. 两块同底：两块都以 $AQ$ 为底，高分别是 $B$、$P$ 到 $y$ 轴的距离，即 $\lvert x_B\rvert$、$\lvert x_P\rvert$。

3. 合起来：无论同侧异侧，都有

   $$S=\frac12\,\lvert AQ\rvert\cdot\lvert x_B-x_P\rvert .$$

竖直方向的 $\lvert AQ\rvert$ 叫铅垂高，水平方向的 $\lvert x_B-x_P\rvert$ 叫水平宽——不少资料就把这条式子写成「水平宽 × 铅垂高 ÷ 2」。

把 $y$ 轴换成任何一条竖直线（或把角色对调换成水平线）都成立，只要那条线把三角形切开。

为什么好用

• 躲开两个最脏的量：弦长 $\lvert AB\rvert$ 要开根号，点到直线的距离 $d$ 要带绝对值和 $\sqrt{A^2+B^2}$；割补法两个因子都是坐标的差，直接由根与系数的关系给出，全程不出现根号。
• 与「设直线 + 联立」天然配套：联立后 $x_B$ 现成，$Q$ 就是把 $x=0$ 代进直线，两步都不额外费力。

注意

• $\lvert AQ\rvert$ 是两个纵坐标之差的绝对值，别漏绝对值。
• 分割线必须真的把三角形切开（或至少与对边所在直线相交）。若 $BP$ 与 $y$ 轴平行，$Q$ 不存在，这条路要换成「底 × 高」。
• 顶点不在坐标轴上时，可以自己作一条过该顶点的竖直辅助线，结论同形。