浙江 2024 · 数学 q16

题面

16. 已知 $A(0,3)$ 和 $P\left(3, \frac{3}{2}\right)$ 为椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)$ 上两点.

(1) 求 C 的离心率;

(2) 若过 $P$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于另一点 $B$, 且 $\triangle ABP$ 的面积为 9, 求 $l$ 的方程.

答案

(1) $\frac{1}{2}$

(2) 直线 l 的方程为 3x - 2y - 6 = 0 或 x - 2y = 0.

解析

分析

（1）代入两点得到关于a,b的方程，解出即可；

（2）方法一：以 $|AP|$ 为底，求出三角形的高，即点B到直线AP的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B点坐标，则得到直线l的方程；方法二：同法一得到点B到直线AP的距离，再设 $B(x_{0},y_{0})$ ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B到直线AP的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB斜率不存在的情况，再设直线 $y=kx+3$ ，联立椭圆方程，得到点B坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB斜率不存在的情况，再设 $PB:y-\frac{3}{2}=k(x-3)$ ，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘 $\frac{1}{2}$ 表达面积即可.

【小问 1 详解】

由题意得 $\left\{\begin{aligned}b&=3\\ \frac{9}{a^{2}}+\frac{9}{b^{2}}&=1\end{aligned}\right.$ ，解得 $\left\{\begin{aligned}b^{2}&=9\\ a^{2}&=12\end{aligned}\right.$

所以 $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{9}{12}} = \frac{1}{2}.$

法一： $k_{AP}=\frac{3-\frac{3}{2}}{0-3}=-\frac{1}{2}$ ，则直线AP的方程为 $y=-\frac{1}{2}x+3$ ，即 $x+2y-6=0$ ，

$\left|AP\right|=\sqrt{\left(0-3\right)^{2}+\left(3-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$ ，由（1）知 $C:\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{9}=1$ ，

设点 B 到直线 AP 的距离为 d，则 $d=\frac{2\times9}{\frac{3\sqrt{5}}{2}}=\frac{12\sqrt{5}}{5}$ ，

则将直线 $AP$ 沿着与 $AP$ 垂直的方向平移 $\frac{12\sqrt{5}}{5}$ 单位即可，

此时该平行线与椭圆的交点即为点 B，

设该平行线的方程为： $x + 2y + C = 0$ ，

则 $\frac{|C + 6|}{\sqrt{5}} = \frac{12\sqrt{5}}{5}$，解得 $C = 6$ 或 $C = -18$，

当 $C = 6$ 时，联立 $\left\{\begin{array}{l} \frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{9} = 1 \\ x + 2y + 6 = 0 \end{array} \right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l} x = 0 \\ y = -3 \end{array} \right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l} x = -3 \\ y = -\frac{3}{2} \end{array} \right.$，

即 $B(0,-3)$ 或 $\left(-3,-\frac{3}{2}\right)$ ,

当 $B(0, -3)$ 时，此时 $k_{l} = \frac{3}{2}$，直线 $l$ 的方程为 $y = \frac{3}{2} x - 3$，即 $3x - 2y - 6 = 0$

当 $B\left(-3, - \frac{3}{2}\right)$ 时，此时 $k_{l} = \frac{1}{2}$ ，直线 $l$ 的方程为 $y = \frac{1}{2} x$ ，即 $x - 2y = 0$

当 $C = -18$ 时，联立 $\left\{\begin{array}{l} \frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{9} = 1 \\ x + 2y - 18 = 0 \end{array} \right.$ 得 $2y^2 - 27y + 117 = 0$

$\Delta = 27^{2} - 4 \times 2 \times 117 = -207 < 0$，此时该直线与椭圆无交点.

综上直线 l 的方程为 3x - 2y - 6 = 0 或 x - 2y = 0.

法二：同法一得到直线 AP 的方程为 $x + 2y - 6 = 0$ ，

点 B 到直线 AP 的距离 $d=\frac{12\sqrt{5}}{5}$ ,

设 $B(x_0, y_0)$，则 $\left\{\begin{array}{l}\frac{|x_0 + 2y_0 - 6|}{\sqrt{5}} = \frac{12\sqrt{5}}{5} \\ \frac{x_0^2}{12} + \frac{y_0^2}{9} = 1 \end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}x_0 = -3 \\ y_0 = -\frac{3}{2} \end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x_0 = 0 \\ y_0 = -3 \end{array}\right.$，即 $B(0, -3)$ 或 $\left(-3, -\frac{3}{2}\right)$，以下同法一。
法三：同法一得到直线 $AP$ 的方程为 $x + 2y - 6 = 0$，
点 $B$ 到直线 $AP$ 的距离 $d = \frac{12\sqrt{5}}{5}$，
设 $B(2\sqrt{3}\cos\theta, 3\sin\theta)$，其中 $\theta \in[0, 2\pi)$，则有 $\frac{|2\sqrt{3}\cos\theta + 6\sin\theta - 6|}{\sqrt{5}} = \frac{12\sqrt{5}}{5}$，
联立 $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$，解得 $\left\{\begin{array}{l}\cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \sin\theta = -\frac{1}{2} \end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}\cos\theta = 0 \\ \sin\theta = -1 \end{array}\right.$，
即 $B(0, -3)$ 或 $\left(-3, -\frac{3}{2}\right)$，以下同法一；
法四：当直线 $AB$ 的斜率不存在时，此时 $B(0, -3)$，
$S_{\triangle PAB} = \frac{1}{2} \times 6 \times 3 = 9$，符合题意，此时 $k_l = \frac{3}{2}$，直线 $l$ 的方程为 $y = \frac{3}{2}x - 3$，即 $3x - 2y - 6 = 0$，
当线 $AB$ 的斜率存在时，设直线 $AB$ 的方程为 $y = kx + 3$，
联立椭圆方程有 $\left\{\begin{array}{l}y = kx + 3 \\ \frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{9} = 1 \end{array}\right.$，则 $(4k^2 + 3)x^2 + 24kx = 0$，其中 $k \neq k_{AP}$，即 $k \neq -\frac{1}{2}$，
解得 $x = 0$ 或 $x = \frac{-24k}{4k^2 + 3}$，$k \neq 0$，$k \neq -\frac{1}{2}$，
令 $x = \frac{-24k}{4k^2 + 3}$，则 $y = \frac{-12k^2 + 9}{4k^2 + 3}$，则 $B\left(\frac{-24k}{4k^2 + 3}, \frac{-12k^2 + 9}{4k^2 + 3}\right)$
同法一得到直线 $AP$ 的方程为 $x + 2y - 6 = 0$，
点 $B$ 到直线 $AP$ 的距离 $d = \frac{12\sqrt{5}}{5}$，

则 $\frac{\left|\frac{-24k}{4k^2 + 3} + 2 \times \frac{-12k^2 + 9}{4k^2 + 3} - 6\right|}{\sqrt{5}} = \frac{12\sqrt{5}}{5}$，解得 $k = \frac{3}{2}$，

此时 $B\left(-3, - \frac{3}{2}\right)$ ，则得到此时 $k_{l} = \frac{1}{2}$ ，直线 $l$ 的方程为 $y = \frac{1}{2} x$ ，即 $x - 2y = 0$

综上直线 $l$ 的方程为 $3x - 2y - 6 = 0$ 或 $x - 2y = 0$.

法五：当 $l$ 的斜率不存在时， $l: x = 3, B\left(3, -\frac{3}{2}\right), \left|PB\right| = 3, A$ 到 $PB$ 距离 $d = 3$

此时 $S_{\triangle ABP} = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = \frac{9}{2} \neq 9$ 不满足条件.

当 $l$ 的斜率存在时，设 $PB:y - \frac{3}{2} = k(x - 3)$ ，令 $P(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$

$\left\{\begin{aligned}y&=k(x-3)+\frac{3}{2}\\ \frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{9}&=1\end{aligned}\right.$ ，消y可得 $\left(4k^{2}+3\right)x^{2}-\left(24k^{2}-12k\right)x+36k^{2}-36k-27=0,$

$\Delta = \left(24k^2 - 12k\right)^2 - 4\left(4k^2 + 3\right)\left(36k^2 - 36k - 27\right) > 0$，且 $k \neq k_{AP}$，即 $k \neq -\frac{1}{2}$，

$\left\{\begin{array}{l}x_{1} + x_{2} = \frac{2 4 k^{2} - 1 2 k}{4 k^{2} + 3}\\x_{1} x_{2} = \frac{3 6 k^{2} - 3 6 k - 2 7}{4 k^{2} + 3}\end{array}, \left| P B \right| = \sqrt{k^{2} + 1} \sqrt{\left(x_{1} + x_{2}\right)^{2} - 4 x_{1} x_{2}} = \frac{4 \sqrt{3} \sqrt{k^{2} + 1} \sqrt{3 k^{2} + 9 k + \frac{2 7}{4}}}{4 k^{2} + 3} \right., \left. \right.$

A 到直线 PB 距离 $d=\frac{\left|3k+\frac{3}{2}\right|}{\sqrt{k^{2}+1}}, S_{\triangle PAB}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4\sqrt{3}\sqrt{k^{2}+1}\sqrt{3k^{2}+9k+\frac{27}{4}}}{4k^{2}+3}\cdot\frac{\left|3k+\frac{3}{2}\right|}{\sqrt{k^{2}+1}}=9$

$\therefore k = \frac{1}{2}$ 或 $\frac{3}{2}$，均满足题意，$\therefore l: y = \frac{1}{2} x$ 或 $y = \frac{3}{2} x - 3$，即 $3x - 2y - 6 = 0$ 或 $x - 2y = 0$.

法六：当 $l$ 的斜率不存在时， $l: x = 3, B\left(3, -\frac{3}{2}\right), \left|PB\right| = 3, A$ 到 $PB$ 距离 $d = 3$

此时 $S_{\triangle ABP} = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = \frac{9}{2} \neq 9$ 不满足条件.

当直线l斜率存在时，设 $l:y=k(x-3)+\frac{3}{2}$ ,

设 $l$ 与 $y$ 轴的交点为 $Q$ ，令 $x = 0$ ，则 $Q\left(0, -3k + \frac{3}{2}\right)$

联立 \begin{cases} y = kx - 3k + \frac{3}{2}, & \text{则有}\left(3 + 4k^2\right)x^2 - 8k\left(3k - \frac{3}{2}\right)x + 36k^2 - 36k - 27 = 0, \\ 3x^2 + 4y^2 = 36 & \end{cases}$$\left(3 + 4k^2\right)x^2 - 8k\left(3k - \frac{3}{2}\right)x + 36k^2 - 36k - 27 = 0,

其中 $\Delta = 8k^2\left(3k - \frac{3}{2}\right)^2 - 4\left(3 + 4k^2\right)\left(36k^2 - 36k - 27\right) > 0$，且 $k \neq -\frac{1}{2}$,

则 $3x_B = \frac{36k^2 - 36k - 27}{3 + 4k^2}, x_B = \frac{12k^2 - 12k - 9}{3 + 4k^2},$

则 $S = \frac{1}{2} |AQ||x_P - x_B| = \frac{1}{2} \left|3k + \frac{3}{2}\right|\left|\frac{12k + 18}{3 + 4k^2}\right| = 9$，解的 $k = \frac{1}{2}$ 或 $k = \frac{3}{2}$，经代入判别式验证均满足题意.

则直线 $l$ 为 $y = \frac{1}{2}x$ 或 $y = \frac{3}{2}x - 3$，即 $3x - 2y - 6 = 0$ 或 $x - 2y = 0$.