浙江 2024 · 数学 q16

冷启动：第 (1) 问其实只是「两个点，两个方程」

假设你刚学完椭圆的标准方程。题面说 $A(0,3)$ 与 $P\left(3,\dfrac32\right)$ 都在

$$C:\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\quad(a>b>0)$$

上。「在曲线上」这四个字的意思就是「坐标代进去等式成立」——两个点就是两个方程，两个未知量 $a^2$、$b^2$ 正好够解。

而 $A$ 这个点还特别好：它在 $y$ 轴上。把 $x=0$ 代进去得 $\dfrac{y^2}{b^2}=1$，也就是 $y=\pm b$——椭圆与 $y$ 轴的交点就是 $(0,\pm b)$。所以 $A(0,3)$ 一露面，$b=3$ 就到手了，连方程都不用解。

第 (2) 问是另一件事。$A$、$P$ 两个点是钉死的，所以线段 $AP$ 的长度也钉死了。三角形 $ABP$ 以 $AP$ 为底，底不动、面积给定 $\Rightarrow$ 高不动——第三个顶点 $B$ 被逼到一个很窄的位置上。这一句就是第 (2) 问的全部灵感来源。

两条路的分歧：是先把 $B$ 找出来再连线，还是干脆直接设出 $l$。

解法一：面积化高，平移底边找 B

怎么想到的。 面积 $=\dfrac12\times$ 底 $\times$ 高。底 $AP$ 是定的，面积是给的，那高就是唯一确定的一个数 $d$。而「到定直线 $AP$ 的距离等于 $d$ 的点」不是随便哪儿——它们恰好构成与 $AP$ 平行、分居两侧、距离都是 $d$ 的两条直线。$B$ 必在这两条线上，又必在椭圆上，联立就能把它抓出来。

① 定出椭圆（第 (1) 问）。 $A(0,3)$ 在椭圆上且在 $y$ 轴上，故 $b=3$，$b^2=9$。把 $P\left(3,\dfrac32\right)$ 代入：

$$\frac{9}{a^2}+\frac{(3/2)^2}{9}=1 \;\Longrightarrow\;\frac{9}{a^2}+\frac14=1 \;\Longrightarrow\;\frac{9}{a^2}=\frac34 \;\Longrightarrow\;a^2=12 .$$

$a^2=12>9=b^2$，与 $a>b>0$ 相符。于是

$$C:\ \frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{9}=1,\qquad e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{9}{12}}=\sqrt{\frac14}=\boxed{\frac12}.$$

② 把底 $AP$ 写出来，算出高。 $k_{AP}=\dfrac{\frac32-3}{3-0}=-\dfrac12$，故 $AP$ 的方程是 $y=-\dfrac12x+3$，即

$$x+2y-6=0,\qquad |AP|=\sqrt{(3-0)^2+\left(\tfrac32-3\right)^2}=\sqrt{9+\tfrac94}=\frac{3\sqrt5}{2}.$$

设 $B$ 到直线 $AP$ 的距离为 $d$，由 $S=\dfrac12|AP|\cdot d=9$：

$$d=\frac{2\times 9}{\frac{3\sqrt5}{2}}=\frac{12}{\sqrt5}=\frac{12\sqrt5}{5}.$$

③ 平移 $AP$，得到 $B$ 所在的两条线。 与 $AP$ 平行的直线可以写成 $x+2y+t=0$。它与 $AP$（即 $t=-6$）之间的距离由点到直线的距离公式给出：

$$\frac{|t-(-6)|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{|t+6|}{\sqrt5}=\frac{12\sqrt5}{5}=\frac{12}{\sqrt5} \;\Longrightarrow\;|t+6|=12 \;\Longrightarrow\;t=6\ \text{或}\ t=-18 .$$

④ 两条线分别与椭圆联立。

• $t=6$，即 $x+2y+6=0$，得 $x=-2y-6$，代入 $\dfrac{x^2}{12}+\dfrac{y^2}{9}=1$（两边乘 $36$：$3x^2+4y^2=36$）：

  $$3(-2y-6)^2+4y^2=36\;\Longrightarrow\;12y^2+72y+108+4y^2=36\;\Longrightarrow\;2y^2+9y+9=0 ,$$

  $\Delta=81-72=9>0$，$y=\dfrac{-9\pm3}{4}$，即 $y=-\dfrac32$（此时 $x=-3$）或 $y=-3$（此时 $x=0$）。得两个候选

  $$B_1(0,-3),\qquad B_2\left(-3,-\frac32\right).$$

• $t=-18$，即 $x+2y-18=0$，同样代入得 $3(-2y+18)^2+4y^2=36$，整理为 $2y^2-27y+117=0$，$\Delta=27^2-4\times2\times117=729-936=-207<0$——这条平行线与椭圆没有交点，整支舍去。（几何上也看得出来：这条线离原点太远，早已跑到椭圆外面去了。）

⑤ 连 $PB$ 得 $l$。

• $B_1(0,-3)$：$k=\dfrac{\frac32-(-3)}{3-0}=\dfrac32$，$l:\ y=\dfrac32x-3$，即 $3x-2y-6=0$；
• $B_2\left(-3,-\dfrac32\right)$：$k=\dfrac{\frac32-\left(-\frac32\right)}{3-(-3)}=\dfrac12$，$l:\ y=\dfrac12x$，即 $x-2y=0$。

两条都要保留：

$$\boxed{3x-2y-6=0\ \text{或}\ x-2y=0}$$

解法二：直接设 l 的斜率，割补算面积

怎么想到的。 上一条路绕了个弯：先找 $B$，再回头连线。既然要求的是 $l$，不妨直接把 $l$ 设出来——它过定点 $P$，所以只差一个斜率 $k$。剩下的问题是「面积怎么用 $k$ 表出来」。这里有个省事的写法：顶点 $A$ 在 $y$ 轴上，而 $l$ 也会交 $y$ 轴于某点 $Q$；那条竖直的线段 $AQ$ 把 $\triangle ABP$ 切成两块，两块同底 $AQ$，高分别是 $B$、$P$ 到 $y$ 轴的距离。于是面积里既不出现弦长、也不出现点到直线的距离，全是坐标差。

① 第 (1) 问同上。 $A(0,3)$ 在 $y$ 轴上又在椭圆上 $\Rightarrow b^2=9$；$P\left(3,\dfrac32\right)$ 代入得 $\dfrac{9}{a^2}+\dfrac14=1$，$a^2=12$。故 $C:\dfrac{x^2}{12}+\dfrac{y^2}{9}=1$，$e=\sqrt{1-\dfrac9{12}}=\dfrac12$。写成整式形式方便后面联立：$3x^2+4y^2=36$。

② 先把「$l$ 竖直」这一支验掉。 若 $l$ 没有斜率，则 $l:x=3$，代入 $3x^2+4y^2=36$ 得 $y^2=\dfrac94$，$y=\pm\dfrac32$，故 $B\left(3,-\dfrac32\right)$，$|PB|=3$。$A$ 到直线 $x=3$ 的距离是 $3$，于是

$$S=\frac12\times3\times3=\frac92\ne 9 ,$$

不合题意，舍。以下设 $l$ 的斜率为 $k$。

③ 设 $l$，写出 $Q$ 与面积。 $l$ 过 $P\left(3,\dfrac32\right)$，故

$$l:\ y=k(x-3)+\frac32=kx+\underbrace{\left(\frac32-3k\right)}_{\textstyle m}.$$

令 $x=0$ 得 $l$ 与 $y$ 轴的交点 $Q\left(0,\dfrac32-3k\right)$，于是竖直段

$$|AQ|=\left|3-\left(\frac32-3k\right)\right|=\left|3k+\frac32\right| .$$

$A$ 在 $y$ 轴上、$B$ 与 $P$ 在 $y$ 轴两侧或同侧都不影响，割补得

$$S=\frac12|AQ|\cdot|x_P-x_B| .$$

④ 用根与系数的关系拿到 $x_B$。 把 $y=kx+m$ 代进 $3x^2+4y^2=36$：

$$(3+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-36=0 .$$

这个二次方程的两根就是 $x_P=3$ 与 $x_B$，故由两根之积

$$3x_B=\frac{4m^2-36}{3+4k^2}.$$

把 $m=\dfrac32-3k$ 代入：$4m^2-36=4\left(\dfrac94-9k+9k^2\right)-36=36k^2-36k-27$，于是

$$x_B=\frac{12k^2-12k-9}{3+4k^2},\qquad |x_P-x_B|=\left|3-\frac{12k^2-12k-9}{3+4k^2}\right|=\left|\frac{12k+18}{3+4k^2}\right| .$$

⑤ 解方程。

$$S=\frac12\cdot\frac{|2k+1|}{2}\cdot 3\cdot\frac{6|2k+3|}{3+4k^2} =\frac{9\,|2k+1|\,|2k+3|}{2(3+4k^2)}=9 \;\Longrightarrow\;|2k+1|\,|2k+3|=8k^2+6 .$$

（这里 $\left|3k+\dfrac32\right|=\dfrac32|2k+1|$、$|12k+18|=6|2k+3|$。）去绝对值分两种情形：

• $(2k+1)(2k+3)=8k^2+6$，即 $4k^2+8k+3=8k^2+6$，得 $4k^2-8k+3=0$，$k=\dfrac12$ 或 $k=\dfrac32$；
• $-(2k+1)(2k+3)=8k^2+6$，即 $12k^2+8k+9=0$，$\Delta=64-432<0$，无解。

两个 $k$ 都要检验：都不等于 $k_{AP}=-\dfrac12$（否则 $A$、$B$、$P$ 共线，构不成三角形），回代得 $k=\dfrac12$ 时 $x_B=-3$、$k=\dfrac32$ 时 $x_B=0$，两个 $B$ 都在椭圆上，合题意。于是

$$l:\ y=\frac32x-3\ \text{或}\ y=\frac12x,\qquad\text{即}\quad \boxed{3x-2y-6=0\ \text{或}\ x-2y=0}$$

这两条路差在哪。 解法一把「面积」立刻翻译成「距离」，问题就退化成一次平移 + 联立，算的都是二次方程，中间不出现带 $k$ 的分式——几何味最重、计算量最小，而且「有一条平行线落空」这件事一眼看得出原因。它的代价是要先绕到 $B$、再回头连线。解法二一步到位地设出所求的 $l$，好处是目标即未知量、不必回头，割补又把面积写成两个坐标差的乘积（躲开了弦长的根号）；代价是要处理带 $k$ 的分式与绝对值，还必须记得先验竖直那一支。考场上若两问都要写完整，解法一更省时间；若题目改成「求面积的最大值」，解法二那种「面积是 $k$ 的函数」的写法才接得下去。

🕳️ 避坑

• 设 $l:y=kx+m$ 就已经把竖直直线排除了。 本题竖直那条 $x=3$ 恰好不合题意，但必须写出来验一遍再舍；换一道题它就可能是答案之一。
• 两条平行线都要试，但不一定都有解。 $t=-18$ 那条判别式为负，直接舍；只算一条就交卷会漏解，只因为「另一条算出来无解」就怀疑前面做错则是白紧张。
• $B$ 有两个，$l$ 就有两条。 联立解出两个交点时，两个都要连线检验，别只写第一个。
• 别忘了排除三点共线。 $k=k_{AP}=-\dfrac12$ 时 $B$ 落在直线 $AP$ 上，$\triangle ABP$ 退化成一条线段，面积为 $0$——这一支在解法二里要显式排掉。
• 第 (1) 问算 $e$ 时用的是椭圆的关系 $c^2=a^2-b^2$（$a$ 最大）。写成 $c^2=a^2+b^2$（那是 $c$ 最大的那一类曲线的关系）会得到 $e>1$，而椭圆的离心率必在 $(0,1)$ 内——算完拿这条常识回头扫一眼，一秒就能发现用错了公式。