棱台与台体体积

题型说明

• 台体体积公式：$V=\dfrac{h}{3}\left(S_{\text{上}}+S_{\text{下}}+\sqrt{S_{\text{上}}S_{\text{下}}}\right)$，$h$ 是上下底面间的距离（高）。
• 正棱台求高：把一条侧棱、高 $h$、以及「上下底对应顶点的水平偏移 $d$」放进一个直角三角形，$h=\sqrt{\text{侧棱}^2-d^2}$。
• 正方形底时，对应顶点的水平偏移 $d=$ 两底半对角线之差 $=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(a-b)$（$a,b$ 为上下边长）。

常见陷阱

• 求 $h$ 时水平偏移用错：正方形底应是半对角线之差，不是半边长之差、也不是边心距之差（见对应易错点）。
• 体积公式漏掉中间的 $\sqrt{S_{\text{上}}S_{\text{下}}}$ 项，退化成 $\frac{h}{3}(S_{\text{上}}+S_{\text{下}})$。