浙江 2023 · 数学 q14

转着看 · 换个机位再判断

正四棱台：下底边 $2$、上底边 $1$、侧棱 $\sqrt{2}$。高不是侧棱——把侧棱放进对角截面：水平偏移 $AH=\frac{AC-A_{1}C_{1}}{2}$ 是半对角线之差，$h=\sqrt{l^{2}-AH^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$；再代台体公式 $V=\frac{h}{3}(S_{\text{下}}+S_{\text{上}}+\sqrt{S_{\text{下}}S_{\text{上}}})=\frac{7\sqrt{6}}{6}$。代码里还把棱台拆成 12 个四面体求和验了一遍，一分不差

机位1题图角度2正对 对角截面3沿 对角截面 看4俯视自由视角

拖动旋转 · 滚轮缩放（触屏双指）

冷启动：体积公式只差一个高

正四棱台 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$，下底边 $a=AB=2$、上底边 $b=A_1B_1=1$、侧棱 $l=AA_1=\sqrt{2}$。台体体积公式

$$V=\frac{h}{3}\left(S_{\text{下}}+S_{\text{上}}+\sqrt{S_{\text{下}}S_{\text{上}}}\right)$$

里 $S_{\text{下}}=a^2=4$、$S_{\text{上}}=b^2=1$、$\sqrt{S_{\text{下}}S_{\text{上}}}=2$ 都已知道，括号 $=4+1+2=7$。唯一缺的是高 $h$。两条路求 $h$：一条在过对角线的截面里用勾股，一条直接建系读 $z$ 坐标。

解法一：对角面里勾股求高

怎么想到的。 把含侧棱 $AA_1$ 与上下底中心的那个对角截面 $ACC_1A_1$ 单独拿出来——它是个等腰梯形，高 $h$ 就藏在里面。下底对角线 $AC=2\sqrt{2}$、上底对角线 $A_1C_1=\sqrt{2}$。过 $A_1$ 向 $AC$ 作垂线，垂足 $H$，则 $AH$ 是两对角线的「半差」：

$$AH=\frac{AC-A_1C_1}{2}=\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

在直角处用勾股定理（这正是正棱台求高时水平偏移用错里那个 $d=AH$）：

$$h=\sqrt{l^2-AH^2}=\sqrt{2-\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$$

代回体积公式：

$$V=\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{6}}{2}\cdot 7=\frac{7\sqrt{6}}{6}$$

解法二：建系坐标求高

怎么想到的。 不想画截面，就建系让坐标自己说话。以下底中心为原点、$z$ 轴竖直向上。下底边长 $2$，顶点坐标 $(\pm1,\pm1,0)$；上底边长 $1$，顶点 $(\pm\tfrac{1}{2},\pm\tfrac{1}{2},h)$。取对应顶点 $A(1,1,0)$、$A_1(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},h)$，由侧棱长列方程：

$$AA_1^2=\left(\tfrac{1}{2}\right)^2+\left(\tfrac{1}{2}\right)^2+h^2=\frac{1}{2}+h^2=l^2=2\ \Rightarrow\ h^2=\frac{3}{2}\ \Rightarrow\ h=\frac{\sqrt{6}}{2}$$

体积同上，$V=\dfrac{7\sqrt{6}}{6}$。

这两条路差在哪。 解法一是「平面化」：把立体的求高问题压进对角截面那一个等腰梯形，用勾股一步出 $h$，关键是认对水平偏移 $AH$ 是半对角线之差。解法二是「坐标化」：建系后 $h$ 就是 $z$ 坐标，侧棱长给出一个方程直接解出 $h$，省去了找截面的空间想象——代价是要先把顶点坐标写对。两条路在 $h=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$ 上会合。

🕳️ 避坑

• 求 $h$ 的水平偏移，正方形底要用半对角线之差 $\tfrac{\sqrt{2}}{2}(a-b)$，不是半边长之差 $\tfrac{a-b}{2}$（见正棱台求高时水平偏移用错）。本题 $a-b=1$，半边长之差只有 $\tfrac{1}{2}$，用错就把 $h$ 算成 $\sqrt{2-\tfrac{1}{4}}$ 了。
• 体积公式别漏中间项 $\sqrt{S_{\text{下}}S_{\text{上}}}$，否则括号只剩 $5$ 而非 $7$。

故该棱台的体积为 $\boxed{\dfrac{7\sqrt{6}}{6}}$。