棱台中的线面垂直与二面角

题型说明

• 常见问法：「在三棱台 $ABC$-$DEF$ 中，已知某个侧面 $\perp$ 底面、底面有一个直角、 再给几条棱长，（Ⅰ）求证某条线段 $\perp$ 某个侧面；（Ⅱ）求二面角 $B$-$AD$-$F$ 的余弦值」。 多为解答题的第二题，$12$ 到 $15$ 分。
• 骨架是上底面没有地基：底面三角形的形状由题给的边角直接定死， 上底面却只知道它平行于底面、边长按相似比缩小，具体「架」在什么高度要另外算。 所有的麻烦都出在这里。
• 因此这类题只有两个正经入口：
  1. 补形——延长侧棱交于原棱锥的顶点，把悬空的上底面挂回一个完整的锥体上；
  2. 直接建系——用「侧面 $\perp$ 底面」把竖直方向定下来， 再在侧面那个等腰梯形里算出上底面的高度。

固定动作

1. 先把「侧面 $\perp$ 底面」用掉。这是全题唯一的空间信息来源： 在底面内作垂直于交线的直线，它就垂直于整个侧面； 或者在侧面内作垂直于交线的直线，它就垂直于整个底面。两种用法各服务一个入口。
2. 把上底面定位。补形走的是相似比：上底边 $\div$ 下底边 $=k$， 则上底顶点在侧棱上距顶点 $K$ 处占 $k$。建系走的是梯形： 侧面那个等腰梯形的高就是上下底面之间的距离。
3. 第（Ⅰ）问凑两条垂直。一条来自第 1 步的面面垂直，另一条来自补出来的特殊三角形 （正三角形的中线、等腰三角形的底边中线）或来自坐标的数量积为零。
4. 第（Ⅱ）问认准棱。二面角 $B$-$AD$-$F$ 的棱是直线 $AD$， 而 $AD$ 延长后就是 $AK$——写平面角或算法向量时都用这条直线。
5. 两条路互验。综合法算出的直角三角形边长比，应当与向量法的 $\dfrac{|\vec m\cdot\vec n|}{|\vec m||\vec n|}$ 一致。

为什么第（Ⅰ）问总是「垂直于侧面」

因为它是第（Ⅱ）问的垫脚石：一旦某条线段垂直于二面角的一个半平面， 从它的垂足向棱作垂线，就直接造出平面角（三垂线的标准配置）。 出题人把这条垂直单独拎出来当第（Ⅰ）问，等于把第（Ⅱ）问的钥匙提前发给你。 做完第（Ⅰ）问一定要回头看它能不能直接用，别另起炉灶重新找角。

常见失手

• 把上底面当成下底面的平移。棱台的上下底面相似但不全等，边长要按比例缩。
• 面面垂直直接当线面垂直。必须先在其中一个面内作出垂直于交线的直线， 少了「垂直于交线」这一句，结论不成立。
• 二面角的棱认错。$B$-$AD$-$F$ 的棱是 $AD$ 不是 $AF$， 平面角的两条边都要垂直于 $AD$。
• 补形之后不写回原图。顶点 $K$ 不在原几何体上，必须先声明「延长 $\cdots$ 交于 $K$」。