多面体的表面积

教材原文

多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和. 棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.

它和体积公式不是一类东西

同一页上，体积那半边给的是三条能套的公式（$V_{\text{棱柱}}=Sh$、$V_{\text{棱锥}}=\frac{1}{3}Sh$、 台体那条差式），表面积这半边给的却只有一句定义。这个差别决定了两类题的难点位置完全不同：

• 求体积：认出是柱、锥还是台，量出底面积与高，套公式。难在还原，不难在算。
• 求表面积：没有公式可套，只能一张面一张面地算再相加。难在清点——哪些面算在内、哪些不算。

于是「组合体」这个词对两者的意义也不同：体积把各块直接相加就完事（粘不粘在一起都不改变总体积）， 表面积必须先回答「哪两张面贴在一起、藏进了内部」。这正是 套路/先散开再扣粘合面 与 易错点/粘合面把整张面都扣掉 存在的理由。

怎么把「各个面」数干净

1. 先把多面体拆成”每一张平面”：棱柱是两个底面 $+$ 若干侧面矩形；棱锥是一个底面 $+$ 若干侧面三角形； 横放的三棱柱是三个矩形 $+$ 两个三角形端面。先数出面的个数，再逐个算面积—— 漏面几乎都发生在”没先数个数”的时候。
2. 每张面用它自己所在平面里的真实尺寸，不是三视图上的投影尺寸。 斜面尤其要小心：正视图上量到的是它的投影，真实长度得用勾股定理还原 （直角边 $3$、$4$ 的截面，斜面那条边是 $5$，不是 $4$）。
3. 组合体逐面判断露不露，被盖住一部分的那张面要减去被盖的那一块、而不是整张扔掉。

常见的直棱柱写法

底面周长 $c$、高 $h$ 的直棱柱，侧面展开是一个 $c\times h$ 的矩形，于是

这不是课本另给的一条公式，只是把「各个面的面积的和」在直棱柱这一情形下合并了一次同类项—— 记不住就退回定义逐面相加，答案一样。