浙江 2014 · 数学 q03

题解图（原卷截图 · 含答案与官方解析）

浙江 2014 · 数学 q03 原卷截图（含答案）

文字转写（题面 + 答案）

题面

  1. 某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是( )
    A. 90 cm290\ \mathrm{cm}^{2}
    B. 129 cm2129\ \mathrm{cm}^{2}
    C. 132 cm2132\ \mathrm{cm}^{2}
    D. 138 cm2138\ \mathrm{cm}^{2}

答案

D

本题的知识树

2 概念 · 2 公式 · 1 题型 · 2 套路 · 1 易错点 · 最深 2 层。长链是构建期派生的，源文件里只有最小一步。

攻略（零基础 → 会做）

一处粘合、两张面 · 长方体左面只少了 3×33\times3，不是整张 · 最终答案：D

转着看 · 换个机位再判断

三视图还原出的组合体：左边横放的三棱柱（直角边 44、33，斜边 55，进深 33）贴在长方体 4×6×34 \times 6 \times 3 的左面上·粘合的那块 99 两边都不算 ⟹ 七个面 S=48+24+18+9+12+15+12=138S = 48+24+18+9+12+15+12 = 138 平方厘米（官方答案 D）

机位自由视角

拖动旋转 · 滚轮缩放（触屏双指）

冷启动：先把那三张图读成尺寸

这道题的三视图在题目页上看不到。 原卷的截图只切进了图上那条「4 ⊢ 44\ \vdash\ 4」的尺寸线， 三张视图本身被裁在框外（已开票 #535）。下面这幅教学图按原卷 pages/page-0001.png 上的尺寸 把三张视图重画了一遍——读题请以它为准。

三张视图给的是三个方向的尺寸：

视图形状读出来的尺寸
正视图下底 88、上底 44、高 33 的直角梯形（左半是斜边，右半是矩形）立体的长 =4+4=8=4+4=8，高 =3=3
侧视图66 宽 33 高、正中一条竖线的矩形立体的深 =3+3=6=3+3=6
俯视图88 宽 66 高、缺了一角 4×34\times 3 的「L」缺的那一角说明左边那块只占一半深

于是立体是这样两块拼起来的：

  • 右边一个长方体：宽 44、深 66、高 33，占满整个深度；
  • 左边一个横放的三棱柱：横截面是直角边 44（底）与 33（竖）的直角三角形，斜边 42+32=5\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5； 沿深度方向长 33，只占深度的一半——这正是俯视图缺一角的来历。

三棱柱那条竖直角边（33）恰好等于长方体的高（33），所以它整条边严丝合缝贴在长方体的左面上。 接触面是一个 3×3=93\times 3=9 的正方形。

这一处接触就是整道题的全部难度。它把两块的账各改了一笔，而且两笔改法不一样：

  • 三棱柱贴上去的那张 3×33\times 3 面，整张藏进内部（它本来就只有 99）；
  • 长方体的左面有 3×6=183\times 6=18，只被盖住 99，剩下的 99 照样露在外面。

上下两块教学图。①上块左边按尺寸重画了原卷的三张视图：正视图是一个下底 8、上底 4、高 3 的直角梯形，左半是从左下角升到高 3 的斜边、右半是矩形，中间有一条竖分隔线，顶上两段尺寸各标「4」，右侧标高「3」，下方注「正视图」；侧视图是一个 6 宽 3 高、正中一条竖线的矩形，顶上两段尺寸各标「3」，下方注「侧视图」；俯视图是一个 8 宽 6 高、缺了左下角 4\times3 的 L 形，上半那条横带的正中有一条竖分隔线（三棱柱与长方体的分界；长方体顶面自己是整块 4\times6、中间没有横缝），左侧标「3」、右侧标「3」，下方注「俯视图」。①上块右边是还原出来的直观图，用斜二测画出：左边一个横放的三棱柱（标注「三棱柱」，两张面画成半透明，好看见它挡住的那半边左面），右边一个长方体（标注「长方体」），两块相接处用一圈红色虚线画出那个正方形的粘合面，它的上下两端正好齐着长方体的顶和底，面上标红字「3\times3」。图下方一段红字写「红虚线 = 粘合面 3\times3=9；高 3 与长方体齐、深占一半；两边都不算：三棱柱这一面藏进去，长方体左面从 18 少成 9」。这一块的标题写「① 三视图重画一遍，再拼回直观图：整道题的机关是中间那个粘合面」。②下块是一段文字：抬头「长方体 4\times6\times3 的四个半面」，蓝字两行「上 + 下：2\times4\times6=48；　前 + 后：2\times3\times4=24」「右面整块露着：3\times6=18；　左面被盖掉 9，只剩 3\times6-9=9」；抬头「三棱柱（直角边 4、3，斜边 5，长 3）的三个面」，蓝字一行「底面 3\times4=12；　斜面 3\times5=15；　两端三角形 2\times\frac{1}{2}\times3\times4=12」，红字一行「贴着长方体的那个 3\times3 面藏在里面——不算」；末行绿字「S=48+24+18+9+12+15+12=138，选 D」

解法一：先当两块没粘上，各算各的，再扣两倍接触面

这条路的好处是每一块都套现成的公式，不必一个面一个面地判断露不露。

第一步：长方体的完整表面积

宽 44、深 66、高 33 的长方体，三组对面：

S长方体=2×(4×6+4×3+6×3)=2×(24+12+18)=108.S_{\text{长方体}}=2\times(4\times 6+4\times 3+6\times 3)=2\times(24+12+18)=108 .

第二步：三棱柱的完整表面积

底面是直角边 44、33 的直角三角形，斜边 55；柱长 33。侧面是三个矩形，两端是两个三角形：

S三棱柱=3×4⏟底+3×5⏟斜+3×3⏟竖+2×12×3×4⏟两端=12+15+9+12=48.S_{\text{三棱柱}}=\underbrace{3\times 4}_{\text{底}}+\underbrace{3\times 5}_{\text{斜}}+\underbrace{3\times 3}_{\text{竖}} +\underbrace{2\times\tfrac{1}{2}\times 3\times 4}_{\text{两端}} =12+15+9+12=48 .

第三步：扣掉粘合处

两块散开时一共 108+48=156108+48=156。粘合处是一个 3×3=93\times 3=9 的正方形， 它同时盖住两块各一个面的一部分，所以要扣两次：

S=156−2×9=156−18=138.S=156-2\times 9=156-18=138 . S=138 cm2 ⇒ 选 D\boxed{S=138\ \mathrm{cm}^{2}\ \Rightarrow\ \text{选 D}}

那个「×2\times 2」到底扣的是谁

这是这条路唯一会出错的地方，值得说清楚。扣掉的 1818 由两笔构成，两笔的来历完全不同：

  • 一笔是三棱柱那张 3×33\times 3 的竖面。它整张贴上去，整张藏进内部，扣 99——扣光了。
  • 另一笔是长方体的左面。它有 1818，被盖住的只是其中 99，扣 99——还剩 99 露着。

两笔恰好都等于接触面的面积 99，所以公式写成 −2S接触-2S_{\text{接触}}。 注意公式里的 S接触S_{\text{接触}} 只有一个值，不是「两张面各自的面积」： 长方体那张面 1818 从来就没有被扣 1818 过。这一条正是选项 B 的来历——见下文。

解法二：不拆开，沿着立体的外表面逐个面点名

这条路就是官方解析走的路：手在拼好的立体上摸一圈，摸得到的面逐个算。 好处是根本不会出现「×2\times 2」这个乘数，也就不会漏乘；代价是要盯住那张被盖住一部分的面。

长方体贡献的四个半面

面算式露不露
上、下2×4×6=482\times 4\times 6=48全露
前、后2×3×4=242\times 3\times 4=24全露
右（xx 最大那一侧）3×6=183\times 6=18全露
左（贴着三棱柱那一侧）3×6−3×3=93\times 6-3\times 3=9只露一半

三棱柱贡献的三个面

面算式露不露
底面（贴地那个矩形）3×4=123\times 4=12全露
斜面3×5=153\times 5=15全露
两端的三角形2×12×3×4=122\times\tfrac{1}{2}\times 3\times 4=12全露
竖面（贴着长方体那个）3×3=93\times 3=9整张不露，不算

相加

S=48+24+18+9+12+15+12=138.S=48+24+18+9+12+15+12=138 . 选 D\boxed{\text{选 D}}

这正是官方解析那一行 S=2×4×6+2×3×4+3×6+3×3+3×4+3×5+2×12×3×4=138S=2\times 4\times 6+2\times 3\times 4+3\times 6+3\times 3+3\times 4+3\times 5+2\times\frac{1}{2}\times 3\times 4=138 里七项的逐项含义：前四项是长方体的四组面，后三项是三棱柱露在外面的三个面。

四个选项各对应一种错法

这道题的选项设计得极其规整——把四个数逐个反推一遍，比对答案本身更有用：

选项数它是怎么算出来的
A909048+24+1848+24+18：三棱柱整个忘了算，而且长方体的左面还被整张扣掉
B129129138−9138-9：把长方体左面 1818 整张扣掉，露着的那 99 白丢了
C132132138−6138-6：三棱柱两端的三角形只算了一个
D138138正解

三个错误选项，三种典型错法，没有一个是「算错乘法」——全是”哪张面算不算”判断错了。 这说明这类题的功夫不在计算，在记账。

两条路怎么选

解法一（先散开再扣）解法二（逐个面点名）
要不要判断每张面露不露不要，各块整体套公式要，一张一张判
要不要记那个 ×2\times 2要，忘了就多算 99不要
最容易在哪翻车只扣一倍接触面把被盖一半的那张面整张扣掉（选项 B）
块数多的时候更省事，粘合处逐个扣即可面数爆炸，容易漏

两条路算完的数必须相同——这就是免费的验算。 考场上任选一条走，然后用另一条口算校一遍： 156−18156-18 与 48+24+18+9+12+15+1248+24+18+9+12+15+12 两个式子长得毫无关系，能撞到同一个 138138， 基本可以排除记账出错。

一句话带走

体积从不问「哪张面贴在一起」，表面积每次都问。 还原立体只是这道题的上半场；下半场是一笔账： 接触处两块各少一张面，但「少一张面」对两块的意思不一样—— 小的那张整张消失，大的那张只被挖掉接触的那一块。 把这两句话分开写在草稿上，这类题就不会再错。

本题涉及的教材页

共 3 页