浙江 2016 · 数学 q06

题面

6．（5分）$) ( 2 0 1 6 \bullet$浙江）如图，点列$\{{A}_{\mathrm{n}} \} , \{{B}_{\mathrm{n}} \}$分别在某锐角的两边上，且$\lvert \mathrm{A_{n} A_{n + 1}} \rvert = \lvert \mathrm{A_{n + 1} A_{n + 2}} \rvert$A_n≠A_n+1，n∈N，|B_nB_n+1|=|B_n+1B_n+2|，B_n≠B_n+1，n∈N，（P≠Q 表示点 P 与 Q 不重合）若\mathrm{d}_{\mathrm{n}} = \left| \mathrm{A}_{\mathrm{n}} \mathrm{B}_{\mathrm{n}} \right|$$\mathrm{S}_{\mathrm{n}}为$\Delta \mathrm{A_{n} B_{n} B_{n + 1}}$的面积，则（ ）

A$\{S_{\mathrm{n}} \}$是等差数列B$\{S_{n}^{2} \}$是等差数列C$\{\mathrm{d}_{\mathrm{n}} \}$是等差数列D$\{d_{n}{}^{2} \}$是等差数列

答案

A

解析

分析

设锐角的顶点为O，再设$\mathrm{| O A_{1} | {=} a , \ | O B_{1} | {=} b , \ | A_{n} A_{n + 1} | {=} | A_{n + 1} A_{n + 2} | {=} b}$

$| \mathrm{B_{n} B_{n + 1}} | = | \mathrm{B_{n + 1} B_{n + 2}} | = \mathrm{d}$，由于a，b不确定，判断C，D不正确，设$\Delta \mathrm{A_{n} B_{n} B_{n + 1}}$的底边$\mathrm{B}_{\mathrm{n}} \mathrm{B}_{\mathrm{n}^{+} 1}$上的高为h_n，运用三角形相似知识，$\mathrm{h}_{\mathrm{n}} + \mathrm{h}_{\mathrm{n} + 2}{=} 2 \mathrm{h}_{\mathrm{n} + 1}$，由$\mathrm{S_{n}{=} \frac{1}{2} d {\bullet} h_{n}}$，可得$\mathrm{S_{n}} + \mathrm{S_{n + 2}}{=} 2 \mathrm{S_{n + 1}}$，进而得到数列$\{S_{\mathrm{n}} \}$为等差数列

解答

解：设锐角的顶点为$_{0 , | \mathrm{O A}_{1} | = \mathrm{a} , | \mathrm{O B}_{1} | = \mathrm{b}}$

$\left| \mathrm{A}_{\mathrm{n}} \mathrm{A}_{\mathrm{n} + 1} \right| = \left| \mathrm{A}_{\mathrm{n} + 1} \mathrm{A}_{\mathrm{n} + 2} \right| = \mathrm{b}, \quad \left| \mathrm{B}_{\mathrm{n}} \mathrm{B}_{\mathrm{n} + 1} \right| = \left| \mathrm{B}_{\mathrm{n} + 1} \mathrm{B}_{\mathrm{n} + 2} \right| = \mathrm{d},$

由于a，b不确定，则$\{d_{n} \}$不一定是等差数列，

$\{d_{n}{}^{2} \}$不一定是等差数列，

设$\Delta \mathrm{A_{n} B_{n} B_{n + 1}}$的底边$\mathrm{B}_{\mathrm{n}} \mathrm{B}_{\mathrm{n}^{+} 1}$上的高为$\mathrm{{h}}_{\mathrm{{n}}}$，

由三角形的相似可得$\frac{\mathrm{h}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{h}_{\mathrm{n} + 1}} = \frac{\mathrm{O A}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{O A}_{\mathrm{n} + 1}} = \frac{\mathrm{a} + ( \mathrm{n} - 1 ) \mathrm{b}}{\mathrm{a} + \mathrm{n b}}$，

$\frac{\mathrm{h}_{\mathrm{n} + 2}}{\mathrm{h}_{\mathrm{n} + 1}} = \frac{\mathrm{OA}_{\mathrm{n} + 2}}{\mathrm{OA}_{\mathrm{n} + 1}} = \frac{\mathrm{a} + (\mathrm{n} + 1) \mathrm{b}}{\mathrm{a} + \mathrm{nb}},$

两式相加可得，$\frac{h_{n} + h_{n + 2}}{h_{n + 1}} = \frac{2 a + 2 n b}{a + n b} = 2$

即有$\mathrm{h}_{\mathrm{n}} + \mathrm{h}_{\mathrm{n} + 2}{=} 2 \mathrm{h}_{\mathrm{n} + 1}$R

由$\mathrm{S_{n} \mathrm{= \frac{1}{2} d \bullet h_{n}}}$，可得$\mathrm{S_{n}}{+} \mathrm{S_{n + 2}}{=} 2 \mathrm{S_{n + 1}}$

即为$\mathrm{S}_{\mathrm{n} + 2} - \mathrm{S}_{\mathrm{n} + 1}{=} \mathrm{S}_{\mathrm{n} + 1} - \mathrm{S}_{\mathrm{n}}$

则数列$\{S_{\mathrm{n}} \}$为等差数列

故选：A