邻补角当成同一个角

一条 $BD$ 把角顶点 $D$ 放在边 $AC$ 上，$D$ 处就有两个不同的角：

题目往往只给其中一个（比如 $\angle BDC=45^\circ$），而要用的是另一个（$\triangle ABD$ 里的 $\angle ADB=135^\circ$）。

这个错为什么难发现：正弦定理只用到正弦，而 $\sin 45^\circ=\sin 135^\circ$——把 $45^\circ$ 填进 $\triangle ABD$ 的正弦定理里，边算出来居然是对的。错误潜伏到下一步才现形：

• 用内角和求第三个角：写成 $\angle ABD=180^\circ-45^\circ-\angle BAD$，比正确答案大了 $90^\circ$；
• 用余弦定理：$\cos 45^\circ$ 与 $\cos 135^\circ$ 只差一个负号，$AD^2$ 或 $\cos\angle ABD$ 直接算反；
• 判断三角形形状：$\triangle ABD$ 明明是钝角三角形，按 $45^\circ$ 想会以为是锐角的，草图也就画错了。

三条挡住它的动作：

1. 写角一律带三个字母：$\angle ADB$ 与 $\angle BDC$ 不许简写成「$D$ 角」或「那个 $45^\circ$」。填进定理之前先念一遍中间那个字母是不是顶点、两侧字母是不是这个三角形的另外两个顶点。
2. 补角当场写出来：读到「$\angle BDC=45^\circ$、$D$ 在 $AC$ 上」，立刻在草图上把 $\angle ADB=135^\circ$ 标上。
3. 看哪个角是钝角：$D$ 不是 $AC$ 的中点时，$\angle ADB$ 与 $\angle BDC$ 一钝一锐（除非都是直角）；钝角那一侧对着的边更长，这条能当粗略自检。