浙江 2013 · 数学 q16

冷启动：一条中线，把一个角劈成两个；而整张图只有一个自由度

记直角边 $a=BC$、$b=AC$，斜边 $c=AB$，于是 $c^{2}=a^{2}+b^{2}$。$M$ 是 $BC$ 的中点，$CM=MB=\dfrac a2$。再记

$$\beta=\angle MAC,\qquad \angle BAC=\angle BAM+\beta .$$

先看清这道题有多”窄”。 $\angle C=90^{\circ}$ 一钉，图形的形状就只剩直角边之比 $a:b$ 这一个参数——把 $a$、$b$ 同时放大 $k$ 倍，图形只是放大，所有角一个不变。而

• 待求的 $\sin\angle BAC=\dfrac ac=\dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ 只认 $a/b$；
• 题给的 $\sin\angle BAM$ 也只认 $a/b$。

一个条件、一个未知比，正好把形状定死。所以四条路殊途同归，最后都会收在同一句 $a=\sqrt2\,b$ 上。

三个零件先摆好，四条路都要用：

$$AM=\sqrt{\left(\frac a2\right)^{2}+b^{2}}=\frac{\sqrt{a^{2}+4b^{2}}}{2}, \qquad \tan\beta=\frac{a}{2b}, \qquad \tan\angle BAC=\frac ab .$$

分岔就在下一步："$\angle BAM=\angle BAC-\beta$"这句话，你打算兑现成什么。

解法一：原卷路线——正弦定理算 $\sin\angle AMB$，补角把它搬进 $\mathrm{Rt}\triangle ACM$

题给的角在 $\triangle ABM$ 里，待求的角在 $\triangle ABC$ 里，两者不在一处。原卷的接法是先在 $\triangle ABM$ 里把 $M$ 处的角算出来，再把它搬到 $\triangle ACM$ 去。

在 $\triangle ABM$ 中，$\angle BAM$ 的对边是 $BM=\dfrac a2$，$\angle AMB$ 的对边是 $AB=c$，正弦定理给

$$\frac{a/2}{\sin\angle BAM}=\frac{c}{\sin\angle AMB} \quad\Longrightarrow\quad \frac{a/2}{1/3}=\frac{c}{\sin\angle AMB} \quad\Longrightarrow\quad \sin\angle AMB=\frac{2c}{3a} .$$

$M$ 落在线段 $BC$ 上，$\angle AMB$ 与 $\angle AMC$ 互补，正弦相等，于是这个值可以原封不动搬进 $\triangle ACM$：$\sin\angle AMC=\dfrac{2c}{3a}$。而 $\triangle ACM$ 在 $C$ 处是直角，$\beta+\angle AMC=\dfrac\pi2$，所以

$$\cos\beta=\cos\!\left(\frac\pi2-\angle AMC\right)=\sin\angle AMC=\frac{2c}{3a} .$$

同一个 $\cos\beta$，在 $\mathrm{Rt}\triangle ACM$ 里还能直接读出来：$\cos\beta=\dfrac{AC}{AM}=\dfrac{b}{\sqrt{a^{2}/4+b^{2}}}$。两式相等：

$$\frac{b}{\sqrt{a^{2}/4+b^{2}}}=\frac{2c}{3a} \quad\Longrightarrow\quad 3ab=c\sqrt{a^{2}+4b^{2}} .$$

两边平方，把 $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ 代进去：

$$9a^{2}b^{2}=(a^{2}+b^{2})(a^{2}+4b^{2})=a^{4}+5a^{2}b^{2}+4b^{4},$$ $$a^{4}-4a^{2}b^{2}+4b^{4}=0 \quad\Longrightarrow\quad \left(a^{2}-2b^{2}\right)^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad a=\sqrt2\,b .$$

再由勾股定理 $c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt3\,b$，于是

$$\sin\angle BAC=\frac{BC}{AB}=\frac ac=\frac{\sqrt2\,b}{\sqrt3\,b}=\frac{\sqrt6}{3} .$$

原卷欠的两句话

一、那个括号少了平方。 原卷印的是 $a^{4}-4a^{2}b^{2}+4b^{4}=(a^{2}-2b^{2})=0$——中间应是 $(a^{2}-2b^{2})^{2}$。这是原卷自己的笔误（校订层已另记，不改题面）。结论不受影响，因为完全平方等于零和它的底等于零是一回事；但抄这一步的人要知道自己抄的是个错式子。

二、$\angle AMB$ 其实是钝角。 $\triangle ACM$ 在 $C$ 处是直角，故 $\angle AMC$ 必为锐角，它的补角 $\angle AMB$ 就必为钝角。原卷从头到尾只用了 $\angle AMB$ 的正弦，所以钝角这件事被绕过去了；可但凡有人顺手写一句”由 $\sin\angle AMB=\frac{2c}{3a}$ 得 $\cos\angle AMB=\sqrt{1-\cdots}$“，符号就错了——那里必须取负号。这是本题唯一一处符号陷阱。

解法二：全程正切——两个小角都写成「对边比邻边」，一步压成完全平方

上一条路要在两个三角形之间来回搬角。其实 $\angle BAM$ 和 $\beta$ 有一个共同的好处：它们都能放进以 $C$ 为直角顶点的直角三角形里，于是用正切最直接，连 $c$ 都不必出场。

$$\tan\angle BAC=\frac ab,\qquad \tan\beta=\frac{a}{2b},$$ $$\tan\angle BAM=\tan(\angle BAC-\beta) =\frac{\dfrac ab-\dfrac{a}{2b}}{1+\dfrac ab\cdot\dfrac{a}{2b}} =\frac{\dfrac{a}{2b}}{\dfrac{2b^{2}+a^{2}}{2b^{2}}} =\frac{ab}{a^{2}+2b^{2}} .$$

左边由题给的正弦定出来。$0<\angle BAM<\angle BAC<90^{\circ}$，所以 $\angle BAM$ 是锐角，$\cos\angle BAM=\dfrac{2\sqrt2}{3}$，

$$\tan\angle BAM=\frac{1/3}{2\sqrt2/3}=\frac{1}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{4} .$$

于是

$$\frac{ab}{a^{2}+2b^{2}}=\frac{\sqrt2}{4} \quad\Longrightarrow\quad 4ab=\sqrt2\,a^{2}+2\sqrt2\,b^{2} \quad\Longrightarrow\quad a^{2}-2\sqrt2\,ab+2b^{2}=0 ,$$ $$\left(a-\sqrt2\,b\right)^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad a=\sqrt2\,b .$$

这条路一次平方都没有做，方程本身就已经是关于 $a$ 的完全平方（判别式 $8b^{2}-8b^{2}=0$）。相比之下解法一是先平方成四次、再看出它是二次式的平方，多绕了一圈。

最后 $\tan\angle BAC=\dfrac ab=\sqrt2$，$\sin\angle BAC=\dfrac{\sqrt2}{\sqrt{1+2}}=\dfrac{\sqrt6}{3}$。

解法三：面积法——中线平分面积，同一块面积算两遍

$\triangle ABM$ 这一块，有两种算法：

用长度算。 $M$ 是 $BC$ 中点，中线把 $\triangle ABC$ 平分，

$$S_{\triangle ABM}=\frac12 S_{\triangle ABC}=\frac12\cdot\frac12ab=\frac{ab}{4} .$$

用角算。 在 $\triangle ABM$ 里，$\angle BAM$ 正是 $AB$ 与 $AM$ 的夹角，

$$S_{\triangle ABM}=\frac12\cdot AB\cdot AM\cdot\sin\angle BAM=\frac12\cdot c\cdot AM\cdot\frac13=\frac{c\cdot AM}{6} .$$

两式相等：

$$\frac{ab}{4}=\frac{c\cdot AM}{6} \quad\Longrightarrow\quad 3ab=2c\cdot AM=c\sqrt{a^{2}+4b^{2}} ,$$

和解法一末尾那条方程一字不差，往下平方即得 $(a^{2}-2b^{2})^{2}=0$。

但到这里只用了两行。 没有正弦定理、没有诱导公式、不需要判断 $\angle AMB$ 的锐钝——因为面积公式里出现的角自始至终是题目直接给的那一个。凡是”条件给在某个角的正弦上、待求量是边”的题，这条路都值得先试。

解法四：把 $\frac13$ 认成上确界——写出 $\sin\angle BAM$ 的显式式子，读取等条件，不解方程

前三条路解出来都是完全平方，判别式恰为零。这不是巧合：题目给的 $\frac13$ 正是 $\sin\angle BAM$ 能达到的最大值。 把这件事直接算出来，方程一个都不用解。

先把 $\sin\angle BAM$ 写成 $a$、$b$ 的显式函数。建系最省事：$C(0,0)$、$B(a,0)$、$A(0,b)$，于是 $M\left(\dfrac a2,0\right)$，

$$\overrightarrow{AB}=(a,-b),\qquad \overrightarrow{AM}=\left(\frac a2,-b\right),$$ $$\left|\,a\cdot(-b)-(-b)\cdot\frac a2\,\right|=\frac{ab}{2} \quad\Longrightarrow\quad \sin\angle BAM=\frac{ab/2}{|\overrightarrow{AB}|\,|\overrightarrow{AM}|} =\frac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sqrt{a^{2}+4b^{2}}} .$$

令 $u=\dfrac{a^{2}}{b^{2}}>0$，把分子分母同除 $b^{4}$：

$$\sin^{2}\angle BAM=\frac{a^{2}b^{2}}{(a^{2}+b^{2})(a^{2}+4b^{2})} =\frac{u}{(u+1)(u+4)} =\frac{1}{u+\dfrac4u+5} .$$

分母里 $u+\dfrac4u\geqslant 2\sqrt{4}=4$，当且仅当 $u=\dfrac4u$ 即 $u=2$ 时取等，于是

$$\sin^{2}\angle BAM\leqslant\frac{1}{4+5}=\frac19 \quad\Longrightarrow\quad \sin\angle BAM\leqslant\frac13 .$$

$u=2$ 落在定义域 $u>0$ 里，这个上界取得到，所以 $\frac13$ 是货真价实的最大值，不只是个上界。题目给的恰是这个值，等号只好成立：

$$u=\frac{a^{2}}{b^{2}}=2\quad\Longrightarrow\quad a=\sqrt2\,b\quad\Longrightarrow\quad \sin\angle BAC=\frac ac=\frac{\sqrt6}{3} .$$

这条路顺手回答了两件事

一、为什么前三条路化简出来都是完全平方。 因为条件把变量顶在了唯一的取等点上。给定值小于最大值时，$\sin\angle BAM=k$ 会有两个不同的 $u$（一个”瘦”三角形、一个”胖”三角形），方程有两根、两个形状都要写；给定值等于最大值时两根重合，判别式塌成零。所以”算出重根”在这里是题目设计的结果，不是算错。

二、取等那一档的图形长什么样。 $u=2$ 就是 $\dfrac ab=\dfrac{2b}{a}$，也就是

$$\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{CM} \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{Rt}\triangle MAC\sim\mathrm{Rt}\triangle ABC .$$

于是 $\angle AMC=\angle BAC$、$\angle MAC=\angle ABC$。换句话说，$AM$ 把 $\angle BAC$ 劈开的那一刻，小直角三角形恰好是大直角三角形的缩小版——这是本题最漂亮的一句话，原卷一个字没提。

四条路怎么选

考场上的顺序建议：先按路二落笔（最短、最不容易错），把 $(a-\sqrt2 b)^{2}=0$ 写出来；若时间够，用路四那句”$\frac13$ 是最大值”回头验一遍——比重算一次快得多。路一是原卷路线，$\angle C$ 不是直角的同类题只有它还能用。路三则是这类”角给正弦、边待求”的题的通用快手。

一句话带走

$\angle C=90^{\circ}$ 把形状压成一个参数 $a/b$；中线 $AM$ 劈出的 $\angle BAM$ 满足 $\tan\angle BAM=\dfrac{ab}{a^{2}+2b^{2}}$，即 $\sin\angle BAM=\dfrac{1}{\sqrt{u+4/u+5}}\leqslant\dfrac13$（$u=a^{2}/b^{2}$）。题目把这个上界原样发给你，等号只好成立，$u=2$、$a=\sqrt2\,b$、$c=\sqrt3\,b$，于是 $\sin\angle BAC=\dfrac ac=\dfrac{\sqrt6}{3}$。