同一个面积算两遍

解题套路

面积是个不认算法的量：同一块三角形，你用底乘高算也好，用两边夹角算也好，值必须一样。于是

就是一个白给的方程。它的价值不在「求面积」，而在把角和边焊在同一个式子里——凡是题目一边给角的三角函数值、一边问边长（或反过来），这条路都值得先试。

做法固定成三步：

1. 挑一块两种算法都够得着的图形。 通常是待求量和已知量共同覆盖的那一块，不一定是整个三角形。
2. 第一遍用长度算。 底乘高、格点、割补、或者「中线平分面积」这类现成的比例关系。
3. 第二遍用角算。 $\frac12\,bc\sin A$，把题目给的那个三角函数值塞进去。

两式相等，方程就落地了。

常配的两个免费事实

• 中线平分面积：$M$ 是 $BC$ 中点 $\Rightarrow S_{\triangle ABM}=S_{\triangle ACM}=\frac12 S_{\triangle ABC}$。底一样长、高是同一条，用不着算。
• 同高的两块面积之比等于底之比：$BM:MC=\lambda$ $\Rightarrow$ $S_{\triangle ABM}:S_{\triangle ACM}=\lambda$。定比分点的题里，这一条把「比例」直接换成「面积」。

为什么比硬解省事

硬做往往要在两个三角形里各列一次正弦（余弦）定理，再联立消掉那条公共边。面积法一次就把公共边写进了同一个等式：

里的 $AM$ 是公共边，$\sin\angle BAM$ 是题给的量，两边一比，公共边自己就站到了方程里，不用先单独求它。

常见失手

• 夹角配错边。$\frac12 bc\sin A$ 里的 $A$ 必须是 $b$、$c$ 的夹角，写成别的角就全错了。
• 两遍算的不是同一块。第一遍算了 $\triangle ABC$、第二遍算成 $\triangle ABM$，方程当然不成立——落笔前把两次的三角形名字写出来。
• 忘了面积恒正。$\sin$ 取的是那个角本身的正弦，钝角时仍为正；若中途平方，记得回头验根。