中线平分面积

解题套路

$M$ 是 $AB$ 的中点，则 $\triangle APM$ 与 $\triangle BPM$ 同高等底，面积相等，于是

这一步本身平平无奇。真正省事的是下面这句：

当 $P$ 与中点 $M$ 落在同一条已知直线 $\ell$ 上时，把 $PM$ 取作 $\triangle APM$ 的底， 高就是 $A$ 到 $\ell$ 的距离，于是 $S_{\triangle ABP}=2\cdot\frac12\lvert PM\rvert\cdot d(A,\ell)=\lvert PM\rvert\cdot d(A,\ell) .$

两个因子都沿着 $\ell$ 与它的法向分解，同一个 $\sqrt{1+k_\ell^{2}}$ 在两处一乘一除，自动约掉， 最后落到的是纯坐标差，比”弦长公式 $\times$ 点到直线距离”干净。

什么时候认得出来

题面里出现下面任何一句，就该想到它：

• 「线段 $AB$ 被直线 $OP$ 平分」——这句直接把 $M$ 摁在 $OP$ 上；
• 「$M$ 为 $AB$ 中点，$P$、$M$、$O$ 三点共线」；
• 第三个顶点与中点同在某条坐标轴、某条对称轴上。

用起来长什么样

设 $\ell:\ y=\lambda x$，$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$ 的中点 $M$ 在 $\ell$ 上，$P$ 也在 $\ell$ 上。 把 $\ell$ 写成 $\lambda x-y=0$，则

相乘时 $\sqrt{1+\lambda^{2}}$ 消掉：

再把 $x_M=\dfrac{x_1+x_2}{2}$ 代进去，$\lambda x_1-y_1$ 常常还能化成 $x_1-x_2$ 的倍数， 于是整个面积只剩「$\lvert x_P-x_M\rvert$ 乘 $\lvert x_1-x_2\rvert$」这么一件事。

常见失手

1. 把 $\lvert PM\rvert$ 当成 $\lvert PM\rvert$ 在 $x$ 轴上的投影。 少乘一个 $\sqrt{1+\lambda^{2}}$， 约分就约错了——要么两处都写全，要么两处都只留坐标差。
2. $A$ 与 $B$ 到 $\ell$ 的距离不相等就用了这条。 它们必然相等（$M$ 是中点、$M$ 在 $\ell$ 上）， 但前提是 $M$ 真在 $\ell$ 上；$M$ 不在 $\ell$ 上时 $S_{\triangle ABP}\neq\lvert PM\rvert\cdot d(A,\ell)$。
3. $P$ 与 $M$ 重合。 这时面积为 $0$，三点共线，要单独舍掉。