正切函数

教材原文

由诱导公式

$\tan (x + \pi) = \tan x, x \in \mathbf {R}, \text {且} x \neq \frac {\pi}{2} + k \pi , k \in \mathbf {Z}$

可知，正切函数是周期函数，周期是 $\pi$ .

由诱导公式

$\tan (-x) = -\tan x, x \in \mathbf{R}$, 且 $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbf{Z}$

可知，正切函数是奇函数.

观察正切曲线可知，正切函数在区间 $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ 上单调递增.

由正切函数的周期性可得，

正切函数在每一个区间 $\left(-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right)(k\in\mathbf{Z})$ 上都单调递增.

当 $x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 时，$\tan x$ 在 $\left(-\infty, +\infty\right)$ 内可取到任意实数值，但没有最大值、最小值。因此，正切函数的值域是实数集 R.

要点

• 周期 $\pi$；奇函数，图象关于原点对称。
• 渐近线在 $x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$；在每个相邻渐近线之间单调递增。
• 对称中心有两类：零点 $(k\pi,0)$ 与渐近线处 $\left(\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\,0\right)$，合起来正是 $\left(\dfrac{k\pi}{2},\,0\right)$。正切没有对称轴。