5.4.3 正切函数的性质与图象

正弦、余弦的图象是连成一条的波浪线；正切不是——它的图象由无穷多条互不相连的曲线组成， 每两条之间隔着一条竖直的渐近线。这一小节要说清的就是这个”断”字：断在哪里、 为什么断、断了之后哪些说法要跟着改。

一、先看定义域：断点从这里来

$y = \tan x, \qquad x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi\ (k \in \mathbf{Z}).$

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$，$\cos x = 0$ 的那些点就是断点。这一条决定了本节其余全部性质的形状： 凡是提到”区间""单调""对称”，都要先把这些点挖掉。

二、四条性质

① 周期性：最小正周期是 $\pi$（不是 $2\pi$）。因为终边相差 $\pi$ 的两个角， 它们与单位圆交点的坐标只差一个整体的符号，比值 $\frac yx$ 不变：

$\tan(x+k\pi) = \tan x, \qquad k \in \mathbf{Z}.$

这是正切与正余弦最大的差别：正切每 $\pi$ 就重复一次。

② 奇偶性：奇函数。 定义域关于原点对称（挖掉的那些点也是成对的），且 $\tan(-x) = -\tan x$， 所以图象关于原点对称。

③ 单调性：在每一个区间 $\left(-\frac{\pi}{2}+k\pi,\ \frac{\pi}{2}+k\pi\right)$ 上单调递增（$k\in\mathbf{Z}$）。

要害在”每一个”三个字：正切不是在整个定义域上递增。 取 $x_1 = \frac{\pi}{4}$、$x_2 = \frac{3\pi}{4}$，则 $x_1<x_2$ 而 $\tan x_1 = 1 > -1 = \tan x_2$—— 跨过一条渐近线，大小关系就翻了。所以比较两个正切值之前，必须先把两个角化到同一个单调区间里。

④ 值域：全体实数。 在每一个单调区间上，$\tan x$ 从 $-\infty$ 一直增到 $+\infty$， 所以正切没有最大值也没有最小值（正弦余弦有）。

三、图象：三步画一支

画 $y=\tan x$ 在 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上的一支：

1. 画出两条渐近线 $x = -\frac{\pi}{2}$ 与 $x = \frac{\pi}{2}$（虚线）；
2. 描三个点：$\left(-\frac{\pi}{4}, -1\right)$、$(0,0)$、$\left(\frac{\pi}{4}, 1\right)$；
3. 从左下贴着左渐近线上来、穿过这三点、再贴着右渐近线上去，画成一条单调上升的曲线。

其余各支由每隔 $\pi$ 平移一次得到。整张图叫做正切曲线。

四、复合形式 $y = A\tan(\omega x+\varphi)$

处理办法仍是整体换元（令 $u = \omega x+\varphi$），但有两处与正弦不同：

• 周期是 $T = \dfrac{\pi}{|\omega|}$（不是 $\frac{2\pi}{|\omega|}$）——因为 $\tan$ 的周期本来就是 $\pi$；
• 定义域要解一次：由 $u \neq \frac{\pi}{2}+k\pi$ 解出 $x$ 的排除集，这一步不能省。

求单调区间也照旧：把 $u \in \left(-\frac{\pi}{2}+k\pi, \frac{\pi}{2}+k\pi\right)$ 解成 $x$ 的区间； 若 $A<0$ 或 $\omega<0$，增减要相应翻过来。注意正切的单调区间是开区间（端点是渐近线，取不到）。

五、易错清单

按失分频率排：

1. 周期写成 $2\pi$ 或 $\frac{2\pi}{|\omega|}$。 正切的周期是 $\pi$、$\frac{\pi}{|\omega|}$。
2. 说”$y=\tan x$ 是增函数”。 它只在每一个 $\left(-\frac{\pi}{2}+k\pi, \frac{\pi}{2}+k\pi\right)$ 上递增， 不能把这些区间并起来。
3. 比较两个正切值时不先化到同一支上（见第二节 ③）。
4. 忘了定义域。 含 $\tan$ 的题第一步永远是排除 $\frac{\pi}{2}+k\pi$ 那些点。
5. 单调区间写成闭区间。 端点处正切无意义。
6. 以为正切有最值。 它的值域是 $\mathbf{R}$。

六、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方”考过本节的真题”那一段是构建期从知识图谱派生出来的完整清单。本节现在连着两道：

• 2025 年第 4 题（正切函数的对称中心）：正切曲线的对称中心是 $\left(\frac{k\pi}{2},\ 0\right)$（$k \in \mathbf{Z}$）——注意是每 $\frac{\pi}{2}$ 一个，不是每 $\pi$ 一个， 因为渐近线与曲线的中心交替出现。这道题要么套现成的通式，要么从”奇函数 + 周期 $\pi$“两条性质自己推，两条路都要会。
• 2020 年第 13 题（已知 $\tan\theta=2$，填 $\cos 2\theta$ 与 $\tan\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)$）： 它考的不是图象，而是正切的另一个身份——一个比值。把 $\cos 2\theta=\frac{\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta}$ 的分子分母同除 $\cos^{2}\theta$，整个式子就只剩 $\tan\theta$，得 $-\frac{3}{5}$。 题面不给象限也算得出来，正是因为这一除把符号一起带走了。

本节页面覆盖第 216–222 页，课本习题共 24 道：第 220 页「练习」5 道、第 220–221 页「习题 5.4」 19 道（复习巩固 9 道、综合运用 7 道、拓广探索 3 道），逐题全做。 本节没有开放式的实习作业或方案设计，因此没有不收的题。

「习题 5.4」是给整个 §5.4 配的一组，题面整组印在本节页面上，所以一并在这里做： 其中第 7、8、9、12、13、14 题考本小节的正切函数，其余各题考 §5.4.1、§5.4.2 的 正弦、余弦函数的图象与性质。

有几道题要求”画出简图”。本站的详解不代画，而是把五点法的那五个点算出来列成表（正弦余弦）， 或把渐近线与关键点说清楚（正切），读者照着描点连线即可。

下文反复用到的结论：$y=\sin x$、$y=\cos x$ 的最小正周期是 $2\pi$、值域 $[-1,1]$； $y=\tan x$ 的最小正周期是 $\pi$、值域 $\mathbf{R}$、定义域 $x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi$， 且在每一个 $\left(-\frac{\pi}{2}+k\pi, \frac{\pi}{2}+k\pi\right)$ 上单调递增； $y=A\sin(\omega x+\varphi)$ 的周期是 $\frac{2\pi}{|\omega|}$，$y=A\tan(\omega x+\varphi)$ 的周期是 $\frac{\pi}{|\omega|}$。 每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

练习（第 220 页）第 1 题

1. 借助函数 $y = \tan x$ 的图象解不等式 $\tan x \geqslant -1$，$x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$.

给定范围被 $x=\frac{\pi}{2}$ 断成两段，两段分开看（正切在每一段上分别单调递增）。

在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上：$\tan x$ 从 $\tan 0 = 0$ 单调增到 $+\infty$， 所以这一段上恒有 $\tan x \geqslant 0 > -1$，整段都满足。

在 $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ 上：$\tan x$ 从 $-\infty$ 单调增到 $\tan\pi = 0$。 由 $\tan\frac{3\pi}{4} = -1$ 与单调递增，

$\tan x \geqslant -1 \iff x \geqslant \frac{3\pi}{4},$

即这一段上的解是 $\left[\frac{3\pi}{4}, \pi\right)$。

合起来，不等式的解集是

$\left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left[\frac{3\pi}{4}, \pi\right).$

核两个端点：$x = \frac{3\pi}{4}$ 时 $\tan x = -1$，取等号，应包含 ✓； $x$ 略小于 $\frac{3\pi}{4}$（如 $\frac{2\pi}{3}$）时 $\tan x = -\sqrt3 < -1$，不满足 ✓。

练习（第 220 页）第 2 题

2. 观察正切曲线，写出满足下列条件的 x 值的范围：

(1) $\tan x > 0;$ (2) $\tan x = 0;$ (3) $\tan x < 0.$

按定义 $\tan x = \frac{y}{x}$（终边与单位圆交点的纵横坐标之比）看象限最快， 再把一支上的结论加上 $k\pi$ 推广到全体（正切的周期是 $\pi$，所以加的是 $k\pi$ 而不是 $2k\pi$）。

• (1) $\tan x>0$：终边在第一或第三象限，即

  $x \in \left(k\pi,\ k\pi+\frac{\pi}{2}\right), \qquad k \in \mathbf{Z}.$

• (2) $\tan x = 0$：纵坐标为零、横坐标不为零，即终边落在 $x$ 轴上，

  $x = k\pi, \qquad k \in \mathbf{Z}.$

• (3) $\tan x<0$：终边在第二或第四象限，即

  $x \in \left(k\pi - \frac{\pi}{2},\ k\pi\right), \qquad k \in \mathbf{Z}.$

三个答案合起来正好覆盖整个定义域：每一支 $\left(k\pi-\frac{\pi}{2}, k\pi+\frac{\pi}{2}\right)$ 被 $x=k\pi$ 分成负、零、正三段 ✓。

练习（第 220 页）第 3 题

3. 求函数 $y=\tan 3x$ 的定义域.

整体换元：令 $u = 3x$，则要求 $u \neq \frac{\pi}{2}+k\pi$，即

$3x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi \quad \Longrightarrow \quad x \neq \frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}, \qquad k \in \mathbf{Z}.$

定义域

$\left\{x \;\middle|\; x \neq \frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3},\ k \in \mathbf{Z}\right\}.$

核一遍：这些排除点相邻两个相差 $\frac{\pi}{3}$，而 $y = \tan3x$ 的周期是 $\frac{\pi}{3}$—— 每个周期里恰好挖掉一个点 ✓。

练习（第 220 页）第 4 题

4. 求下列函数的周期：

(1) $y = \tan 2x, x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} (k \in \mathbf{Z})$ ;

(2) $y = 5 \tan \frac{x}{2}, x \neq (2k + 1) \pi (k \in \mathbf{Z})$ .

正切型函数 $y = A\tan(\omega x+\varphi)$ 的最小正周期是 $T = \frac{\pi}{|\omega|}$ （是 $\pi$ 除以 $|\omega|$，不是 $2\pi$）。

• (1) $\omega = 2$，故 $T = \dfrac{\pi}{2}$。
• (2) $\omega = \dfrac12$（系数 $5$ 不影响周期），故 $T = \dfrac{\pi}{1/2} = 2\pi$。

验一遍 (1)：$\tan\left[2\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right] = \tan(2x+\pi) = \tan2x$ ✓； 而排除点 $\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}$ 相邻两个也正好相差 $\frac{\pi}{2}$，与周期一致 ✓。

练习（第 220 页）第 5 题

5. 不通过求值，比较下列各组中两个正切值的大小：

(1) $\tan(-52^{\circ})$ 与 $\tan(-47^{\circ})$ ;

(2) $\tan \frac{13\pi}{4}$ 与 $\tan \frac{17\pi}{5}$ .

做法：先把两个角化到同一个单调区间（通常取 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$， 即 $(-90^\circ, 90^\circ)$），再按”正切在该区间上单调递增”比较。

(1) $-52^\circ$ 与 $-47^\circ$ 本来就都在 $(-90^\circ, 90^\circ)$ 内。由

$-90^\circ < -52^\circ < -47^\circ < 90^\circ$

与正切在这一段上单调递增，得

$\tan(-52^\circ) < \tan(-47^\circ).$

(2) 先用周期 $\pi$ 化简：

$$\frac{13\pi}{4} - 3\pi = \frac{13\pi-12\pi}{4} = \frac{\pi}{4}, \qquad \frac{17\pi}{5} - 3\pi = \frac{17\pi-15\pi}{5} = \frac{2\pi}{5},$$

故 $\tan\frac{13\pi}{4} = \tan\frac{\pi}{4}$、$\tan\frac{17\pi}{5} = \tan\frac{2\pi}{5}$。 两个角都在 $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ 内，且

$\frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{20} < \frac{8\pi}{20} = \frac{2\pi}{5},$

由单调递增得

$\tan\frac{13\pi}{4} < \tan\frac{17\pi}{5}.$

习题 5.4 第 1 题

1. 画出下列函数的简图：

(1) $y=1-\sin x, x\in[0,2\pi]$ ; (2) $y=3\cos x+1, x\in[0,2\pi]$ .

用五点法，取 $x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$。

(1) $y = 1-\sin x$：

图象是把正弦曲线先关于 $x$ 轴翻折（$-\sin x$）再整体上移 $1$ 个单位； 最高点 $\left(\frac{3\pi}{2}, 2\right)$、最低点 $\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$，值域 $[0,2]$。

(2) $y = 3\cos x + 1$：

图象是把余弦曲线纵坐标伸长到 $3$ 倍再上移 $1$ 个单位； 最高点 $(0,4)$ 与 $(2\pi, 4)$、最低点 $(\pi, -2)$，值域 $[-2,4]$。

习题 5.4 第 2 题

2. 求下列函数的周期：

(1) $y = \sin \frac{2}{3} x, x \in R;$

(2) $y = \frac{1}{2} \cos 4x, x \in R.$

正弦型、余弦型的最小正周期是 $T = \frac{2\pi}{|\omega|}$。

• (1) $\omega = \dfrac23$，故 $T = \dfrac{2\pi}{2/3} = 3\pi$。
• (2) $\omega = 4$（系数 $\frac12$ 不影响周期），故 $T = \dfrac{2\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2}$。

习题 5.4 第 3 题

3. 下列函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些既不是奇函数，也不是偶函数？

(1) $y = |\sin x|$ ; (2) $y = 1 - \cos 2x$ ;

(3) $y = -3 \sin 2x$ ; (4) $y = 1 + 2 \tan x$ .

前三个的定义域都是 $\mathbf{R}$；(4) 的定义域是 $\left\{x \mid x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi,\ k \in \mathbf{Z}\right\}$， 它也关于原点对称（挖掉的点成对出现），所以四个都能往下判。

(1) 偶函数。 $f(-x) = |\sin(-x)| = |-\sin x| = |\sin x| = f(x)$。

(2) 偶函数。 $f(-x) = 1 - \cos(-2x) = 1-\cos2x = f(x)$（余弦是偶的）。

(3) 奇函数。 $f(-x) = -3\sin(-2x) = -3(-\sin2x) = 3\sin2x = -f(x)$。

(4) 既不是奇函数，也不是偶函数。

$f(-x) = 1 + 2\tan(-x) = 1 - 2\tan x.$

它不恒等于 $f(x) = 1+2\tan x$：两者相等要 $-2\tan x = 2\tan x$，即 $\tan x = 0$——只在个别点上碰巧成立，不是恒等式，所以不是偶函数。 它也不恒等于 $-f(x) = -1-2\tan x$：两者相等要 $1 - 2\tan x = -1-2\tan x$，$\tan x$ 两边消掉，剩下 $1 = -1$——对定义域内每一个 $x$ 都不成立，所以不是奇函数。 举一个具体的反例：取 $x = \frac{\pi}{4}$，$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1+2 = 3$， $f\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 1-2 = -1$；而 $3 \neq -1$、$-1 \neq -3$，两条都不成立。

结论：(1)(2) 是偶函数，(3) 是奇函数，(4) 既不是奇函数也不是偶函数。

(4) 为什么不是奇函数：$2\tan x$ 本身是奇的，但加上常数 $1$ 之后就破坏了对称—— 奇函数的图象必过原点（若在 $0$ 处有定义），而这个函数 $f(0) = 1 \neq 0$。

习题 5.4 第 4 题

4. 求使下列函数取得最大值、最小值的自变量 x 的集合，并求出最大值、最小值：

(1) $y=1-\frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{3}x,\quad x\in\mathbf{R};$

(2) $y=3\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right),\quad x\in\mathbf{R};$

(3) $y=-\frac{3}{2}\cos\left(\frac{1}{2}x-\frac{\pi}{6}\right),\quad x\in\mathbf{R};$

(4) $y=\frac{1}{2}\sin\left(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{3}\right),\quad x\in\mathbf{R}.$

统一做法：看清括号前面的系数是正是负（负号会把最大最小对调），再由括号里的整体取 $\pm1$ 解出 $x$。

(1) 系数是 $-\frac12$（负），所以 $\cos\frac{\pi}{3}x = -1$ 时 $y$ 最大、$=1$ 时 $y$ 最小。

• 最大值 $y = 1+\frac12 = \dfrac32$，此时 $\frac{\pi}{3}x = \pi + 2k\pi$，解得 $x = 3+6k$，集合

  $\{x \mid x = 3+6k,\ k \in \mathbf{Z}\};$

• 最小值 $y = 1-\frac12 = \dfrac12$，此时 $\frac{\pi}{3}x = 2k\pi$，解得 $x = 6k$，集合

  $\{x \mid x = 6k,\ k \in \mathbf{Z}\}.$

(2) 系数 $3>0$。最大值 $3$，此时 $2x+\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}+2k\pi$， 解得 $2x = \frac{\pi}{4}+2k\pi$，$x = \frac{\pi}{8}+k\pi$，集合 $\left\{x \mid x = \frac{\pi}{8}+k\pi,\ k\in\mathbf{Z}\right\}$； 最小值 $-3$，此时 $2x+\frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2}+2k\pi$，解得 $x = -\frac{3\pi}{8}+k\pi$，集合 $\left\{x \mid x = -\frac{3\pi}{8}+k\pi,\ k\in\mathbf{Z}\right\}$。

(3) 系数 $-\frac32$（负），所以余弦取 $-1$ 时 $y$ 最大。

• 最大值 $\dfrac32$，此时 $\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6} = \pi+2k\pi$，解得 $\frac{x}{2} = \frac{7\pi}{6}+2k\pi$， $x = \frac{7\pi}{3}+4k\pi$，集合 $\left\{x \mid x = \frac{7\pi}{3}+4k\pi,\ k\in\mathbf{Z}\right\}$；
• 最小值 $-\dfrac32$，此时 $\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6} = 2k\pi$，解得 $x = \frac{\pi}{3}+4k\pi$，集合 $\left\{x \mid x = \frac{\pi}{3}+4k\pi,\ k\in\mathbf{Z}\right\}$。

(4) 系数 $\frac12>0$。最大值 $\dfrac12$，此时 $\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}+2k\pi$， 解得 $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{6}+2k\pi$，$x = \frac{\pi}{3}+4k\pi$，集合 $\left\{x \mid x = \frac{\pi}{3}+4k\pi,\ k\in\mathbf{Z}\right\}$； 最小值 $-\dfrac12$，此时 $\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{2}+2k\pi$， 解得 $x = -\frac{5\pi}{3}+4k\pi$，集合 $\left\{x \mid x = -\frac{5\pi}{3}+4k\pi,\ k\in\mathbf{Z}\right\}$。

核一遍每小问里”两个集合相差半个周期”：(1) 周期 $\frac{2\pi}{\pi/3} = 6$，两集合相差 $3$ ✓； (2) 周期 $\pi$，相差 $\frac{\pi}{8}-\left(-\frac{3\pi}{8}\right) = \frac{\pi}{2}$ ✓； (3)(4) 周期都是 $4\pi$，相差都是 $2\pi$ ✓。

习题 5.4 第 5 题

5. 利用函数的单调性比较下列各组中两个三角函数值的大小：

(1) $\sin 103^{\circ}15'$ 与 $\sin 164^{\circ}30'$ ;

(2) $\cos\left(-\frac{3}{10}\pi\right)$ 与 $\cos\left(-\frac{4}{9}\pi\right)$ ;

(3) $\sin 508^{\circ}$ 与 $\sin 144^{\circ}$ ;

(4) $\cos\left(\frac{47}{10}\pi\right)$ 与 $\cos\left(\frac{44}{9}\pi\right)$ .

(4) $\cos\left(\frac{47}{10}\pi\right)$ 与 $\cos\left(\frac{44}{9}\pi\right)$ .

做法：把两个角化到同一个单调区间，再比角、翻成函数值。 用到的两条：$y=\sin x$ 在 $\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$（即 $[90^\circ,270^\circ]$）上单调递减； $y=\cos x$ 在 $[0,\pi]$ 上单调递减。

(1) $103^\circ15'$ 与 $164^\circ30'$ 都在 $[90^\circ, 270^\circ]$ 内，正弦在此递减。 由 $103^\circ15' < 164^\circ30'$ 得

$\sin 103^\circ15' > \sin 164^\circ30'.$

(2) 余弦是偶函数，$\cos\left(-\frac{3\pi}{10}\right) = \cos\frac{3\pi}{10}$、 $\cos\left(-\frac{4\pi}{9}\right) = \cos\frac{4\pi}{9}$。两个角都在 $[0,\pi]$ 内，余弦在此递减。 比大小：$\frac{3}{10} = \frac{27}{90}$、$\frac49 = \frac{40}{90}$，故 $\frac{3\pi}{10} < \frac{4\pi}{9}$，于是

$\cos\left(-\frac{3}{10}\pi\right) > \cos\left(-\frac{4}{9}\pi\right).$

(3) 先减周期：$508^\circ - 360^\circ = 148^\circ$，故 $\sin508^\circ = \sin148^\circ$。 $144^\circ$ 与 $148^\circ$ 都在 $[90^\circ,270^\circ]$ 内，正弦在此递减；由 $144^\circ < 148^\circ$ 得 $\sin144^\circ > \sin148^\circ$，即

$\sin 508^\circ < \sin 144^\circ.$

(4) 先减周期：$\frac{47\pi}{10} - 4\pi = \frac{47\pi-40\pi}{10} = \frac{7\pi}{10}$； $\frac{44\pi}{9} - 4\pi = \frac{44\pi-36\pi}{9} = \frac{8\pi}{9}$。两者都在 $[0,\pi]$ 内，余弦在此递减。 比大小：$\frac{7}{10} = \frac{63}{90}$、$\frac89 = \frac{80}{90}$，故 $\frac{7\pi}{10} < \frac{8\pi}{9}$，于是

$\cos\frac{47}{10}\pi > \cos\frac{44}{9}\pi.$

习题 5.4 第 6 题

6. 求下列函数的单调区间：

(1) $y=1+\sin x, x\in[0,2\pi]$ ; (2) $y=-\cos x, x\in[0,2\pi]$ .

(1) 加常数 $1$ 不改变增减，所以与 $y=\sin x$ 在 $[0,2\pi]$ 上的增减完全一致：

$$\text{单调递增区间 } \left[0,\frac{\pi}{2}\right] \text{ 与 } \left[\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right]; \qquad \text{单调递减区间 } \left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right].$$

(2) $y=\cos x$ 在 $[0,\pi]$ 上递减、在 $[\pi, 2\pi]$ 上递增；乘以 $-1$ 后增减互换：

$\text{单调递增区间 } [0,\pi]; \qquad \text{单调递减区间 } [\pi, 2\pi].$

核一遍 (2)：$-\cos 0 = -1$、$-\cos\pi = 1$、$-\cos2\pi = -1$——从 $-1$ 升到 $1$ 再降回 $-1$ ✓。

习题 5.4 第 7 题

7. 求函数 $y = -\tan\left(x + \frac{\pi}{6}\right) + 2$ 的定义域.

定义域只由 $\tan$ 决定（外面的负号与 $+2$ 不影响）。要求

$$x + \frac{\pi}{6} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \Longrightarrow \quad x \neq \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}+k\pi = \frac{\pi}{3}+k\pi, \qquad k\in\mathbf{Z}.$$

定义域

$\left\{x \;\middle|\; x \neq \frac{\pi}{3}+k\pi,\ k \in \mathbf{Z}\right\}.$

习题 5.4 第 8 题

8. 求函数 $y = \tan \left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$，$x \neq \frac{5\pi}{12} + \frac{k\pi}{2} (k \in \mathbf{Z})$ 的周期.

正切型的最小正周期是 $T = \frac{\pi}{|\omega|}$，此处 $\omega = 2$，故

$T = \frac{\pi}{2}.$

验一遍：

$$\tan\left[2\left(x+\frac{\pi}{2}\right)-\frac{\pi}{3}\right] = \tan\left(2x-\frac{\pi}{3}+\pi\right) = \tan\left(2x-\frac{\pi}{3}\right),$$

且题给的排除点 $\frac{5\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}$ 相邻两个也相差 $\frac{\pi}{2}$， 所以平移 $\frac{\pi}{2}$ 之后定义域也回到自身 ✓。

习题 5.4 第 9 题

9. 利用正切函数的单调性比较下列各组中两个函数值的大小：

(1) $\tan\left(-\frac{\pi}{5}\right)$ 与 $\tan\left(-\frac{3\pi}{7}\right)$ ;

(2) $\tan 1519^{\circ}$ 与 $\tan 1493^{\circ}$ ;

(2) $\tan 1519^{\circ}$ 与 $\tan 1493^{\circ}$ ;

(3) $\tan 6\frac{9}{11}\pi$ 与 $\tan\left(-5\frac{3}{11}\pi\right)$ ;

(4) $\tan \frac{7\pi}{8}$ 与 $\tan \frac{\pi}{6}$ .

(4) $\tan \frac{7\pi}{8}$ 与 $\tan \frac{\pi}{6}$ .

做法：用周期 $\pi$ 把两个角都化到 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 里，再按单调递增比较。

(1) 两个角本来就在 $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ 内。比大小： $\frac{1}{5} = \frac{7}{35}$、$\frac37 = \frac{15}{35}$，故 $-\frac{3\pi}{7} < -\frac{\pi}{5}$，于是

$$\tan\left(-\frac{3\pi}{7}\right) < \tan\left(-\frac{\pi}{5}\right), \qquad \text{即} \qquad \tan\left(-\frac{\pi}{5}\right) > \tan\left(-\frac{3\pi}{7}\right).$$

(2) 减周期（正切每 $180^\circ$ 重复）：$1519^\circ - 8\times180^\circ = 1519^\circ - 1440^\circ = 79^\circ$； $1493^\circ - 8\times180^\circ = 53^\circ$。两者都在 $(-90^\circ, 90^\circ)$ 内，由 $53^\circ < 79^\circ$ 得

$\tan1493^\circ < \tan1519^\circ, \qquad \text{即} \qquad \tan1519^\circ > \tan1493^\circ.$

(3) 先把带分数写成假分数：$6\frac{9}{11}\pi = \frac{75\pi}{11}$， $-5\frac{3}{11}\pi = -\frac{58\pi}{11}$。再减周期：

$$\frac{75\pi}{11} - 7\pi = \frac{75\pi - 77\pi}{11} = -\frac{2\pi}{11}, \qquad -\frac{58\pi}{11} + 5\pi = \frac{-58\pi+55\pi}{11} = -\frac{3\pi}{11}.$$

两者都在 $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ 内（$\frac{\pi}{2} = \frac{5.5\pi}{11}$）。 由 $-\frac{3\pi}{11} < -\frac{2\pi}{11}$ 与单调递增得

$$\tan\left(-5\frac{3}{11}\pi\right) < \tan 6\frac{9}{11}\pi, \qquad \text{即} \qquad \tan 6\frac{9}{11}\pi > \tan\left(-5\frac{3}{11}\pi\right).$$

(4) $\frac{7\pi}{8} - \pi = -\frac{\pi}{8}$，故 $\tan\frac{7\pi}{8} = \tan\left(-\frac{\pi}{8}\right)$。 两个角 $-\frac{\pi}{8}$ 与 $\frac{\pi}{6}$ 都在 $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ 内， 由 $-\frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{6}$ 得

$\tan\frac{7\pi}{8} < \tan\frac{\pi}{6}.$

第 (4) 问尤其要小心：不化简就直接比 $\frac{7\pi}{8} > \frac{\pi}{6}$、进而说 $\tan\frac{7\pi}{8} > \tan\frac{\pi}{6}$，就正好答反了——因为两个角不在同一支上。

习题 5.4 第 10 题

10. 求下列函数的值域：

(1) $y = \sin x, x \in \left[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right]$ ;

(2) $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$ , $x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ .

(1) 区间 $\left[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right]$ 跨过了最高点 $\frac{\pi}{2}$，所以分两段看： 在 $\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上 $\sin x$ 递增，从 $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt2}{2}$ 升到 $1$； 在 $\left[\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{4}\right]$ 上递减，从 $1$ 降到 $\sin\frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt2}{2}$。

最大值 $1$（在 $x=\frac{\pi}{2}$ 处取到）；最小值是两个端点值里较小的那个， 即 $-\frac{\sqrt2}{2}$（在 $x = \frac{5\pi}{4}$ 处取到）。由连续性，值域是

$\left[-\frac{\sqrt2}{2},\ 1\right].$

(2) 整体换元 $u = x+\frac{\pi}{3}$。$x \in \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ 时

$u \in \left[\frac{\pi}{3},\ \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}\right] = \left[\frac{\pi}{3},\ \frac{5\pi}{6}\right].$

这一段完全落在 $[0,\pi]$ 内，$\cos u$ 在其上单调递减，故

$$\cos\frac{5\pi}{6} \leqslant \cos u \leqslant \cos\frac{\pi}{3}, \qquad \text{即} \qquad -\frac{\sqrt3}{2} \leqslant y \leqslant \frac12.$$

值域是 $\left[-\dfrac{\sqrt3}{2},\ \dfrac12\right]$。

两小问的差别值得记：(1) 的区间跨过了极值点，于是端点值不再一定就是最值——要把极值点处的值 与两个端点值放在一起比。这道题里最大值落在内部的 $x=\frac{\pi}{2}$，最小值仍落在右端点 $x=\frac{5\pi}{4}$， 两种情形各出现一次。 (2) 的区间整段单调，最值就在两端。换元之后先定 $u$ 的范围，再看它有没有跨过所求函数自己的单调分界点 ——$\sin u$ 的分界点是 $\frac{\pi}{2}+k\pi$，$\cos u$ 的是 $k\pi$，别把两者混用。

习题 5.4 第 11 题

11. 根据正弦函数、余弦函数的图象，写出使下列不等式成立的 $x$ 的取值集合：(1) $\sin x \geqslant \frac{\sqrt{3}}{2} (x \in \mathbf{R})$；(2) $\sqrt{2} + 2\cos x \geqslant 0 (x \in \mathbf{R})$。

(1) 先在一个周期里解。$\sin x = \frac{\sqrt3}{2}$ 在 $[0,2\pi)$ 上的解是 $x = \frac{\pi}{3}$ 与 $\frac{2\pi}{3}$； 由正弦曲线，两者之间那一段（波峰所在的一段）上 $\sin x \geqslant \frac{\sqrt3}{2}$。 再加上周期 $2k\pi$：

$\left\{x \;\middle|\; \frac{\pi}{3}+2k\pi \leqslant x \leqslant \frac{2\pi}{3}+2k\pi,\ k \in \mathbf{Z}\right\}.$

(2) 先把不等式化成标准形状：

$\sqrt2 + 2\cos x \geqslant 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \cos x \geqslant -\frac{\sqrt2}{2}.$

$\cos x = -\frac{\sqrt2}{2}$ 在 $[-\pi, \pi)$ 上的解是 $x = \pm\frac{3\pi}{4}$； 由余弦曲线，两者之间那一段（含波峰 $x=0$ 的一段）上 $\cos x \geqslant -\frac{\sqrt2}{2}$。加上周期：

$\left\{x \;\middle|\; -\frac{3\pi}{4}+2k\pi \leqslant x \leqslant \frac{3\pi}{4}+2k\pi,\ k \in \mathbf{Z}\right\}.$

核一个点：(2) 取 $x = \pi$（不在解集里），$\sqrt2 + 2\cos\pi = \sqrt2 - 2 < 0$ ✓ 确实不满足； 取 $x = 0$（在解集里），$\sqrt2+2 > 0$ ✓。

习题 5.4 第 12 题

12. 下列四个函数中，以 $\pi$ 为最小正周期，且在区间 $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ 上单调递减的是（）.

(A) $y = |\sin x|$ (B) $y = \cos x$ (C) $y = \tan x$ (D) $y = \cos \frac{x}{2}$

答案：(A)。

逐个验两条（最小正周期是 $\pi$；在 $\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$ 上递减）。

• (A) $y = |\sin x|$。 周期：$|\sin(x+\pi)| = |-\sin x| = |\sin x|$，故 $\pi$ 是周期； 又图象在 $(0,\pi)$ 上是一个完整的拱、在 $(\pi, 2\pi)$ 上重复，比 $\pi$ 更小的正数不是周期 （若 $0<T<\pi$ 是周期，取 $x=0$ 得 $|\sin T| = 0$，只能 $T=\pi$ 的倍数，矛盾）， 所以最小正周期是 $\pi$ ✓。 单调性：在 $\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$ 上 $\sin x>0$，故 $|\sin x| = \sin x$， 而 $\sin x$ 在这一段上递减 ✓。两条都满足。
• (B) $y=\cos x$。 最小正周期是 $2\pi$，不是 $\pi$ ✗。
• (C) $y=\tan x$。 最小正周期确实是 $\pi$，但它在 $\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$ 上单调递增 ✗。
• (D) $y=\cos\frac{x}{2}$。 最小正周期是 $\frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$ ✗。

习题 5.4 第 13 题

13. 若 $x$ 是斜三角形的一个内角，写出使下列不等式成立的 $x$ 的集合：(1) $1 + \tan x \leqslant 0$ (2) $\tan x - \sqrt{3} \geqslant 0$.

先把”斜三角形的一个内角”翻译成范围。 斜三角形是不含直角的三角形， 所以它的每一个内角都满足

$0 < x < \pi \quad \text{且} \quad x \neq \frac{\pi}{2}$

（$x \neq \frac{\pi}{2}$ 也正好保证 $\tan x$ 有意义）。这一段被 $\frac{\pi}{2}$ 分成两支： $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ 与 $\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$，正切在每一支上单调递增。

(1) 不等式即 $\tan x \leqslant -1$。因为在 $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ 上 $\tan x>0$， 这一支无解；只能在 $\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$ 上找。在这一支上 $\tan x$ 从 $-\infty$ 增到 $0$， 且 $\tan\frac{3\pi}{4} = -1$，故

$\tan x \leqslant -1 \iff \frac{\pi}{2} < x \leqslant \frac{3\pi}{4}.$

集合是 $\left\{x \;\middle|\; \dfrac{\pi}{2} < x \leqslant \dfrac{3\pi}{4}\right\}$。

(2) 不等式即 $\tan x \geqslant \sqrt3$。在 $\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$ 上 $\tan x<0$，无解； 在 $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ 上 $\tan x$ 从 $0$ 增到 $+\infty$，且 $\tan\frac{\pi}{3} = \sqrt3$，故

$\tan x \geqslant \sqrt3 \iff \frac{\pi}{3} \leqslant x < \frac{\pi}{2}.$

集合是 $\left\{x \;\middle|\; \dfrac{\pi}{3} \leqslant x < \dfrac{\pi}{2}\right\}$。

两小问都要先按支分类：正切在整个 $(0,\pi)$ 上并不单调，直接解不等式会把答案解错。

习题 5.4 第 14 题

14. 求函数 $y = -\tan \left(2x - \frac{3\pi}{4}\right)$ 的单调区间.

先定定义域：$2x - \frac{3\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2}+k\pi$，即 $2x \neq \frac{5\pi}{4}+k\pi$，$x \neq \frac{5\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}$（$k\in\mathbf{Z}$）。

再定增减：令 $u = 2x - \frac{3\pi}{4}$。$\tan u$ 在每一个 $\left(-\frac{\pi}{2}+k\pi,\ \frac{\pi}{2}+k\pi\right)$ 上单调递增， 而 $y = -\tan u$ 前面有一个负号，增减翻过来，所以 $y$ 在这些区间对应的 $x$ 上单调递减。

解不等式：

$-\frac{\pi}{2}+k\pi < 2x-\frac{3\pi}{4} < \frac{\pi}{2}+k\pi.$

三边同加 $\frac{3\pi}{4}$：

$\frac{\pi}{4}+k\pi < 2x < \frac{5\pi}{4}+k\pi;$

三边同除以 $2$：

$\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2} < x < \frac{5\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}.$

所以 $y$ 的单调递减区间是

$\left(\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2},\ \frac{5\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}\right), \qquad k \in \mathbf{Z},$

没有单调递增区间。（这些开区间的两个端点正好是上面算出的排除点与相邻的排除点， 所以区间必须是开的。）

习题 5.4 第 15 题

15. 已知函数 $y = f(x)$ 是定义在 R 上周期为 2 的奇函数，若 $f(0.5) = 1$ ，求 $f(1)$ ， $f(3.5)$ 的值.

求 $f(1)$。 用周期把 $1$ 挪到 $-1$：$f(1) = f(1-2) = f(-1)$； 又 $f$ 是奇函数，$f(-1) = -f(1)$。于是

$f(1) = -f(1) \quad \Longrightarrow \quad 2f(1) = 0 \quad \Longrightarrow \quad f(1) = 0.$

求 $f(3.5)$。 先用周期减两次，再用奇性：

$f(3.5) = f(3.5-2) = f(1.5) = f(1.5-2) = f(-0.5) = -f(0.5) = -1.$

核一遍：$3.5 - 4 = -0.5$，直接减两个周期也是 $f(-0.5) = -1$ ✓，两条路一致。

这道题的关键动作：周期用来”平移”，奇偶用来”翻折”，两者配合可以把任何一点搬到已知的那一点上。 第一问还额外用了一个常见结论——周期为 $2$ 的奇函数在 $x=1$（半周期处）的值必为 $0$。

习题 5.4 第 16 题

16. 已知函数 $f(x)=\frac{1}{2}\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$ ， $x\in R$ ，

(1) 求 $f(x)$ 的最小正周期；

(2) 求 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上的最大值和最小值.

(1) $\omega = 2$，故

$T = \frac{2\pi}{|\omega|} = \frac{2\pi}{2} = \pi.$

(2) 整体换元。 令 $u = 2x-\frac{\pi}{3}$。当 $x$ 从 $-\frac{\pi}{4}$ 变到 $\frac{\pi}{4}$ 时，

$$u \in \left[2\left(-\frac{\pi}{4}\right)-\frac{\pi}{3},\ 2\cdot\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{3}\right] = \left[-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3},\ \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}\right] = \left[-\frac{5\pi}{6},\ \frac{\pi}{6}\right].$$

在这一段上 $\sin u$ 怎么走：$\sin u$ 在 $\left[-\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{2}\right]$ 上递减、 在 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6}\right]$ 上递增。所以

• 最小值在 $u = -\frac{\pi}{2}$ 处取到：$\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$；
• 最大值在两个端点里挑较大的：$\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac12$， $\sin\frac{\pi}{6} = \frac12$，故最大值是 $\frac12$，在 $u = \frac{\pi}{6}$ 处取到。

于是 $f = \frac12\sin u$ 的

$$f_{\max} = \frac12 \times \frac12 = \frac14, \qquad f_{\min} = \frac12 \times (-1) = -\frac12.$$

取到的 $x$：$u = \frac{\pi}{6}$ 时 $2x-\frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}$，得 $x = \frac{\pi}{4}$（右端点）； $u = -\frac{\pi}{2}$ 时 $2x-\frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{2}$，得 $2x = -\frac{\pi}{6}$，$x = -\frac{\pi}{12}$。 两个都落在 $\left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right]$ 内 ✓。

所以最大值是 $\dfrac14$（在 $x=\frac{\pi}{4}$ 处），最小值是 $-\dfrac12$（在 $x=-\frac{\pi}{12}$ 处）。

这道题的关键动作：换元之后先看 $u$ 的范围有没有跨过极值点 $-\frac{\pi}{2}$—— 跨过了，最值就不全在端点上。

习题 5.4 第 17 题

17. 在直角坐标系中，已知 $\odot O$ 是以原点 $O$ 为圆心，半径长为2的圆，角 $x(\mathrm{rad})$ 的终边与 $\odot O$ 的交点为 $B$ ，求点 $B$ 的纵坐标 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并借助信息技术画出其图象.

求解析式。 设 $B$ 的坐标为 $(x_B, y)$。由三角函数的定义（终边上一点，到原点的距离为 $r$）：

$\sin x = \frac{y}{r} = \frac{y}{2} \quad \Longrightarrow \quad y = 2\sin x.$

角 $x$ 可以取任意实数（终边随时可以转到任何位置），所以

$y = 2\sin x, \qquad x \in \mathbf{R}.$

图象该画成什么样。 它是正弦曲线纵坐标伸长到原来的 $2$ 倍的样子： 振幅 $2$、最小正周期 $2\pi$、值域 $[-2,2]$。取一个周期 $[0,2\pi]$ 的五个关键点：

描点连成光滑曲线，再按周期 $2\pi$ 向左右无限延拓即可。

核一个位置：$x = \frac{\pi}{2}$ 时终边是 $y$ 轴正半轴，$B = (0,2)$，纵坐标 $2$ ✓。

习题 5.4 第 18 题

18. 已知函数 $y = f(x)$ ($x \in \mathbb{R}$) 是周期函数，周期为 2，其部分图象如图所示，

(1) 写出函数 $y = f(x)$ 的解析式；

(2) 画出函数 $y = f(x + 1)$ 的图象.

题面里的”如图”是本节页面上方第 221 页扫描图里第 18 题那一幅。 先把图上读到的条件列出来（读者可对着那张图核）：

1. 图象是一条折线（由线段接成），呈一个个等高的三角形波；
2. 横轴上标出了 $-1$ 与 $1$，纵轴上标出了 $1$；
3. 折线在 $x = -1$、$x = 1$ 处到达波峰，峰高为 $1$；
4. 折线在 $x = 0$ 处触到 $x$ 轴（取值 $0$），在 $x=-2$、$x=2$ 处同样触到 $x$ 轴；
5. 峰与谷之间都是直线段。

以下只用这五条读数。

(1) 写解析式。 由读数 3、4、5，在 $[-1, 1]$ 上图象是”从 $(-1,1)$ 直线降到 $(0,0)$、 再直线升到 $(1,1)$“，也就是

$f(x) = |x|, \qquad x \in [-1, 1].$

再由周期为 $2$，把这一段每隔 $2$ 复制一次即可。写成一个式子就是

$f(x) = |x - 2k|, \qquad x \in [2k-1,\ 2k+1],\ k \in \mathbf{Z}.$

核一遍：$k=0$ 给出 $[-1,1]$ 上的 $|x|$ ✓；$k=1$ 给出 $[1,3]$ 上的 $|x-2|$， 其在 $x=1$ 处为 $1$、$x=2$ 处为 $0$、$x=3$ 处为 $1$，与图上第二个波形相符 ✓； 两段在 $x=1$ 处都取 $1$，接得上 ✓。

(2) $y = f(x+1)$ 的图象该画成什么样。 把 $x$ 换成 $x+1$，就是把 $y=f(x)$ 的图象向左平移 $1$ 个单位。于是：

• 原来的波峰在 $x = \pm1, \pm3, \dots$（奇数），左移后落在 $x = 0, \pm2, \pm4,\dots$（偶数）；
• 原来的零点在 $x = 0, \pm2, \dots$（偶数），左移后落在 $x = \pm1, \pm3, \dots$（奇数）。

所以 $y=f(x+1)$ 的图象仍是同样的三角形波、周期仍是 $2$、峰高仍是 $1$， 只是峰与零点的位置互换：在每个偶数点取到峰值 $1$，在每个奇数点取到 $0$。 写成解析式就是

$f(x+1) = |x - (2k-1)|, \qquad x \in [2k-2,\ 2k],\ k \in \mathbf{Z},$

例如在 $[-1,1]$ 上它等于 $1-|x|$。

核一个点：$f(0+1) = f(1) = |1| = 1$，而新图象在 $x=0$ 处正是峰值 $1$ ✓。

习题 5.4 第 19 题

19. 容易知道，正弦函数 $y = \sin x$ 是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲

线的对称中心。除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是什么？另外，正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，那么对称轴的方程是什么？你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗？对余弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题。

先给结论，再逐条说明理由。

$$\begin{array}{l|l|l} \text{函数} & \text{对称中心} & \text{对称轴} \\ \hline y=\sin x & (k\pi,\ 0),\ k\in\mathbf{Z} & x = \dfrac{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\mathbf{Z} \\ y=\cos x & \left(\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\ 0\right),\ k\in\mathbf{Z} & x = k\pi,\ k\in\mathbf{Z} \\ y=\tan x & \left(\dfrac{k\pi}{2},\ 0\right),\ k\in\mathbf{Z} & \text{没有对称轴} \end{array}$$

正弦曲线：除原点外还有其他对称中心，就是所有的零点。

• 对称中心。 要证 $(k\pi, 0)$ 是对称中心，只需验证对任意实数 $t$ 都有

  $\sin(k\pi+t) + \sin(k\pi-t) = 0.$

  分两种情形算：$k$ 为偶数时 $k\pi$ 是 $2\pi$ 的整数倍，两式分别是 $\sin t$ 与 $\sin(-t) = -\sin t$， 和为 $0$；$k$ 为奇数时 $k\pi$ 比 $2\pi$ 的整数倍多一个 $\pi$， 两式分别是 $\sin(\pi+t) = -\sin t$ 与 $\sin(\pi-t) = \sin t$，和仍为 $0$。 所以曲线上关于点 $(k\pi, 0)$ 对称的两点纵坐标互为相反数，$(k\pi,0)$ 确是对称中心。 它们正好是正弦曲线的全部零点。

• 对称轴。 要证直线 $x = \frac{\pi}{2}+k\pi$ 是对称轴，只需验证

  $\sin\left(\frac{\pi}{2}+k\pi+t\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}+k\pi-t\right)$

  对任意 $t$ 成立。$k$ 为偶数时两边分别是 $\cos t$ 与 $\cos t$（公式六与公式五）； $k$ 为奇数时两边分别是 $-\cos t$ 与 $-\cos t$。两种情形都相等，故它们是对称轴。 这些直线正好过正弦曲线的最高点与最低点。

余弦曲线：把上面两条各平移 $\frac{\pi}{2}$。 因为 $\cos x = \sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$， 余弦曲线就是正弦曲线左移 $\frac{\pi}{2}$，所以对称中心与对称轴也各左移 $\frac{\pi}{2}$： 对称中心是 $\left(\frac{\pi}{2}+k\pi,\ 0\right)$（余弦的零点）， 对称轴是 $x = k\pi$（过最高点与最低点）。

正切曲线：只有对称中心，没有对称轴。

• 对称中心是 $\left(\frac{k\pi}{2},\ 0\right)$——注意是每 $\frac{\pi}{2}$ 一个，比周期还密一倍： $k$ 为偶数时那些点是曲线的零点 $(k'\pi, 0)$，$k$ 为奇数时那些点落在渐近线 $x = \frac{\pi}{2}+k'\pi$ 上（曲线在那里断开，但两侧的支关于该点成中心对称）。 验证同样只需 $\tan\left(\frac{k\pi}{2}+t\right) + \tan\left(\frac{k\pi}{2}-t\right) = 0$ （在两边都有意义处），由 $\tan$ 的奇性与周期 $\pi$ 即得。
• 没有对称轴：若存在对称轴 $x=a$，则 $\tan(a+t) = \tan(a-t)$ 对一切合法的 $t$ 成立； 取 $t$ 充分小，左边随 $t$ 增大而增大、右边随 $t$ 增大而减小（正切在每一支上严格递增）， 两者不可能恒相等。所以正切曲线不是轴对称图形。

总结成一句好记的话：对称中心在零点（正切还多一半在渐近线上），对称轴过最高点与最低点；正切没有最高最低点，所以它没有对称轴。