5.4.3 正切函数的性质与图象

文字转写

(4) 最大值、最小值

余弦函数的最大值、最小值：

正弦函数的最大值、最小值：

在后续的学习中我们还可以看到，借助单位圆的性质（主要是对称性），不仅可以得到三角函数的各种性质，而且可以推导各种三角公式.

5.4.3 正切函数的性质与图象

思考

（1）根据研究正弦函数、余弦函数的经验，你认为应如何研究正切函数的图象与性质？

(2) 你能用不同的方法研究正切函数吗?

有了前面的知识准备，我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质，再利用性质研究正切函数的图象.

1. 周期性

由诱导公式

$\tan (x + \pi) = \tan x, x \in \mathbf {R}, \text {且} x \neq \frac {\pi}{2} + k \pi , k \in \mathbf {Z}$

可知，正切函数是周期函数，周期是 $\pi$ .

2. 奇偶性

由诱导公式

$\tan (-x) = -\tan x, x \in \mathbf{R}$, 且 $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbf{Z}$

可知，正切函数是奇函数.

思考

你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？

可以先考察函数 $y = \tan x, x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right)$ 的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展.

探究

如何画出函数 $y = \tan x, x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right)$ 的图象？

如图 5.4-9，设 $x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，在直角坐标系中画出角 x 的终边与单位圆的交点 $B(x_{0}, y_{0})$ 。过点 B 作 x 轴的垂线，垂足为 M；过点 A(1, 0) 作 x 轴的垂线与角 x 的终边交于点 T，则

$\tan x = \frac {y _ {0}}{x _ {0}} = \frac {M B}{O M} = \frac {A T}{O A} = A T.$

图5.4-9

由此可见，当 $x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right)$ 时，线段 $AT$ 的长度就是相应角 $x$ 的正切值。我们可以利用线段 $AT$ 画出函数 $y = \tan x, x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right)$ 的图象，如图5.4-10所示。

观察图 5.4-10 可知，当 $x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right)$ 时，随着 x 的增大，线段 AT 的长度也在增大，而且当 x 趋向于 $\frac{\pi}{2}$ 时，AT 的长度

趋向于无穷大. 相应地, 函数 $y = \tan x$, $x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right)$ 的图象从左向右呈不断上升趋势, 且向右上方无限逼近直线 $x = \frac{\pi}{2}$.

探究

你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？正切函数的图象有怎样的特征？

根据正切函数是奇函数，只要画 $y = \tan x, x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right)$ 的图象关于原点的对称图形，就可得到 $y = \tan x, x \in \left(-\frac{\pi}{2}, 0\right]$ 的图象；根据正切函数的周期性，只要把函数 $y = \tan x, x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 的图象向左、右平移，每次平移 $\pi$ 个单位，就可得到正切函数

$y = \tan x, x \in \mathbf {R}, x \neq \frac {\pi}{2} + k \pi , k \in \mathbf {Z}$

的图象，我们把它叫做正切曲线（tangent curve）（图 5.4-11）.

从图5.4-11可以看出，正切曲线是被与 $y$ 轴平行的一系列直线 $x = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbf{Z}$ 所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的.

3. 单调性

观察正切曲线可知，正切函数在区间 $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ 上单调递增.

由正切函数的周期性可得，

正切函数在每一个区间 $\left(-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right)(k\in\mathbf{Z})$ 上都单调递增.

4. 值域

当 $x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 时，$\tan x$ 在 $\left(-\infty, +\infty\right)$ 内可取到任意实数值，但没有最大值、最小值。因此，正切函数的值域是实数集 R.

例6 求函数 $y = \tan \left(\frac{\pi}{2} x + \frac{\pi}{3}\right)$ 的定义域、周期及单调区间.

分析：利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论.

解：自变量 $x$ 的取值应满足

$\frac {\pi}{2} x + \frac {\pi}{3} \neq k \pi + \frac {\pi}{2}, k \in \mathbf {Z},$

即

$x \neq 2 k + \frac {1}{3}, k \in \mathbf {Z}.$

所以，函数的定义域是 $\left\{x\mid x\neq2k+\frac{1}{3},k\in\mathbf{Z}\right\}$ .

设 $z = \frac{\pi}{2} x + \frac{\pi}{3}$ ，又 $\tan (z + \pi) = \tan z$

所以

$\tan \left[ \left(\frac {\pi}{2} x + \frac {\pi}{3}\right) + \pi \right] = \tan \left(\frac {\pi}{2} x + \frac {\pi}{3}\right),$

即

$\tan \left[ \frac {\pi}{2} (x + 2) + \frac {\pi}{3} \right] = \tan \left(\frac {\pi}{2} x + \frac {\pi}{3}\right).$

因为 $\forall x\in \{x|x\neq 2k + \frac{1}{3},k\in \mathbf{Z}\}$ 都有

$\tan \left[ \frac {\pi}{2} (x + 2) + \frac {\pi}{3} \right] = \tan \left(\frac {\pi}{2} x + \frac {\pi}{3}\right),$

所以，函数的周期为2.

由 $-\frac{\pi}{2} + k\pi < \frac{\pi}{2} x + \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbf{Z}$ 解得

$- \frac {5}{3} + 2 k < x < \frac {1}{3} + 2 k, k \in \mathbf {Z}.$

因此，函数的单调递增区间为 $\left(-\frac{5}{3}+2k,\frac{1}{3}+2k\right)$ ， $k\in Z$ .

1. 借助函数 $y = \tan x$ 的图象解不等式 $\tan x \geqslant -1$，$x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$.

2. 观察正切曲线，写出满足下列条件的 x 值的范围： (1) $\tan x > 0;$ (2) $\tan x = 0;$ (3) $\tan x < 0.$

3. 求函数 $y=\tan 3x$ 的定义域.

4. 求下列函数的周期： (1) $y = \tan 2x, x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} (k \in \mathbf{Z})$ ; (2) $y = 5 \tan \frac{x}{2}, x \neq (2k + 1) \pi (k \in \mathbf{Z})$ .

5. 不通过求值，比较下列各组中两个正切值的大小： (1) $\tan(-52^{\circ})$ 与 $\tan(-47^{\circ})$ ; (2) $\tan \frac{13\pi}{4}$ 与 $\tan \frac{17\pi}{5}$ .

习题5.4

复习巩固

1. 画出下列函数的简图： (1) $y=1-\sin x, x\in[0,2\pi]$ ; (2) $y=3\cos x+1, x\in[0,2\pi]$ .

2. 求下列函数的周期： (1) $y = \sin \frac{2}{3} x, x \in R;$ (2) $y = \frac{1}{2} \cos 4x, x \in R.$

3. 下列函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些既不是奇函数，也不是偶函数？ (1) $y = |\sin x|$ ; (2) $y = 1 - \cos 2x$ ; (3) $y = -3 \sin 2x$ ; (4) $y = 1 + 2 \tan x$ .

4. 求使下列函数取得最大值、最小值的自变量 x 的集合，并求出最大值、最小值： (1) $y=1-\frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{3}x,\quad x\in\mathbf{R};$

(2) $y=3\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right),\quad x\in\mathbf{R};$

(3) $y=-\frac{3}{2}\cos\left(\frac{1}{2}x-\frac{\pi}{6}\right),\quad x\in\mathbf{R};$

(4) $y=\frac{1}{2}\sin\left(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{3}\right),\quad x\in\mathbf{R}.$

5. 利用函数的单调性比较下列各组中两个三角函数值的大小： (1) $\sin 103^{\circ}15'$ 与 $\sin 164^{\circ}30'$ ; (2) $\cos\left(-\frac{3}{10}\pi\right)$ 与 $\cos\left(-\frac{4}{9}\pi\right)$ ; (3) $\sin 508^{\circ}$ 与 $\sin 144^{\circ}$ ; (4) $\cos\left(\frac{47}{10}\pi\right)$ 与 $\cos\left(\frac{44}{9}\pi\right)$ .

6. 求下列函数的单调区间： (1) $y=1+\sin x, x\in[0,2\pi]$ ; (2) $y=-\cos x, x\in[0,2\pi]$ .

7. 求函数 $y = -\tan\left(x + \frac{\pi}{6}\right) + 2$ 的定义域.

8. 求函数 $y = \tan \left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$，$x \neq \frac{5\pi}{12} + \frac{k\pi}{2} (k \in \mathbf{Z})$ 的周期.

9. 利用正切函数的单调性比较下列各组中两个函数值的大小： (1) $\tan\left(-\frac{\pi}{5}\right)$ 与 $\tan\left(-\frac{3\pi}{7}\right)$ ; (2) $\tan 1519^{\circ}$ 与 $\tan 1493^{\circ}$ ; (3) $\tan 6\frac{9}{11}\pi$ 与 $\tan\left(-5\frac{3}{11}\pi\right)$ ; (4) $\tan \frac{7\pi}{8}$ 与 $\tan \frac{\pi}{6}$ .

综合运用

10. 求下列函数的值域： (1) $y = \sin x, x \in \left[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right]$ ; (2) $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$ , $x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ .

11. 根据正弦函数、余弦函数的图象，写出使下列不等式成立的 $x$ 的取值集合：(1) $\sin x \geqslant \frac{\sqrt{3}}{2} (x \in \mathbf{R})$；(2) $\sqrt{2} + 2\cos x \geqslant 0 (x \in \mathbf{R})$。

12. 下列四个函数中，以 $\pi$ 为最小正周期，且在区间 $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ 上单调递减的是（）.

(A) $y = |\sin x|$ (B) $y = \cos x$ (C) $y = \tan x$ (D) $y = \cos \frac{x}{2}$

13. 若 $x$ 是斜三角形的一个内角，写出使下列不等式成立的 $x$ 的集合：(1) $1 + \tan x \leqslant 0$ (2) $\tan x - \sqrt{3} \geqslant 0$.

14. 求函数 $y = -\tan \left(2x - \frac{3\pi}{4}\right)$ 的单调区间.

15. 已知函数 $y = f(x)$ 是定义在 R 上周期为 2 的奇函数，若 $f(0.5) = 1$ ，求 $f(1)$ ， $f(3.5)$ 的值.

16. 已知函数 $f(x)=\frac{1}{2}\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$ ， $x\in R$ ，

(1) 求 $f(x)$ 的最小正周期； (2) 求 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上的最大值和最小值.

拓广探索

17. 在直角坐标系中，已知 $\odot O$ 是以原点 $O$ 为圆心，半径长为2的圆，角 $x(\mathrm{rad})$ 的终边与 $\odot O$ 的交点为 $B$ ，求点 $B$ 的纵坐标 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并借助信息技术画出其图象.

18. 已知函数 $y = f(x)$ ($x \in \mathbb{R}$) 是周期函数，周期为 2，其部分图象如图所示， (1) 写出函数 $y = f(x)$ 的解析式； (2) 画出函数 $y = f(x + 1)$ 的图象.

19. 容易知道，正弦函数 $y = \sin x$ 是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲

线的对称中心。除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是什么？另外，正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，那么对称轴的方程是什么？你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗？对余弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题。