浙江 2020 · 数学 q13

冷启动：$\tan\theta=2$ 很强，但它并没有把 $\theta$ 定下来

题面给一个条件、要填两个空：

先看清这个条件到底给了什么。$\tan\theta=2$ 说的是「终边所在那条直线的斜率是 $2$」—— 而斜率相同的射线有两支：一支在第一象限（$\theta\approx63.4^\circ$），一支在第三象限（$\theta+\pi$）。 $\theta$ 本身没被定住，$\sin\theta$、$\cos\theta$ 也就各有两个可能的值：

可两个所求都不受这个二选一影响：

• $\cos2\theta$：两支的 $\theta$ 相差 $\pi$，翻倍之后相差 $2\pi$——$2\theta$ 的终边只有一条， 所以 $\cos2\theta$ 只有一个值。
• $\tan\big(\theta-\frac{\pi}{4}\big)$：它只经由 $\tan\theta$ 说话，而 $\tan\theta$ 已经给定。

关键卡点：不用讨论象限，但要知道为什么不用。同一道题若改成问 $\sin\theta$，答案立刻变成 $\pm\frac{2\sqrt5}{5}$ 两个——那时不讨论就是漏解。下面两条路都不碰符号，第一条连 $\sin\theta$、 $\cos\theta$ 都不算。

解法一：两个空都化成只含 tanθ 的式子

怎么想到的。 手里唯一的数是 $\tan\theta$，那就让式子里只剩 $\tan\theta$。 这件事有个现成的动作：齐次式化正切——分子分母是 $\sin\theta$、$\cos\theta$ 的同次式时， 上下同除 $\cos^n\theta$，每个 $\sin\theta$ 变成 $\tan\theta$、每个 $\cos\theta$ 变成 $1$。

① 第一空：先把 $\cos2\theta$ 补成齐次式。 二倍角公式的三张面孔里，这里挑两个都带的那张：

它是 $2$ 次的，但右边是个「分母为 $1$」的分式，而 $1$ 是 $0$ 次——不齐次。 把分母那个 $1$ 用平方关系撑成 $2$ 次，再上下同除 $\cos^2\theta$：

② 第二空：差角公式，$\tan\frac{\pi}{4}=1$。 两角和与差的正切公式取差角那一条：

两空到此填完：$-\dfrac{3}{5}$ 与 $\dfrac{1}{3}$。

③ 量级检查（十秒，值得做）。 $\tan\theta=2>1$ 说明 $\theta$ 那一支约 $63.4^\circ$， 于是 $2\theta\approx126.9^\circ$ 落在第二象限，$\cos2\theta$ 该是负的、绝对值小于 $1$ ✓； $\theta-\frac{\pi}{4}\approx18.4^\circ$ 是个小锐角，正切该是小的正数 ✓。 两个答案的符号与量级都对得上，抄进答题卡才放心。

解法二：先把 cos²θ、sin²θ、sinθcosθ 定出来，再组装

怎么想到的。 考场上真会出现「正切的差角公式分母是 $1+$ 还是 $1-$」想不起来的时刻。 这条路只用最基本的两条件——平方关系与两角差的正弦、余弦展开——把两个空都算完， 代价是多写两三行。它还有个附带好处：$\cos^2\theta$、$\sin^2\theta$、$\sin\theta\cos\theta$ 这三个量一旦到手，$\sin2\theta$、$\tan2\theta$、$\sin^2\theta-\sin\theta\cos\theta$ 之类都是一步。

① 由 $\tan\theta$ 定出那三个量（全程不开根号）。 平方关系除以 $\cos^2\theta$：

注意这一步没有给 $\sin\theta$、$\cos\theta$ 定符号：两支相差一个负号，而平方与乘积把负号吃掉了， 三个量都是唯一的。这不是运气，是刻意——绕开「反求时符号有两支」那件事，就少一次讨论。

② 第一空。 手里 $\cos^2\theta$ 现成，就用带 $\cos$ 的那张面孔：

（用 $1-2\sin^2\theta=1-\frac{8}{5}=-\frac{3}{5}$ 一样对，两条互为验算。）

③ 第二空：把正切写回商，再展开。

$\frac{\sqrt2}{2}$ 上下约掉是这条路唯一的技巧。剩下的是一次齐次式，同除 $\cos\theta$：

顺带一提：约掉 $\frac{\sqrt2}{2}$ 之后那个式子 $\frac{\sin\theta-\cos\theta}{\sin\theta+\cos\theta}$， 分子分母都是一次齐次式——这就是差角正切公式的来处。把 $\frac{\pi}{4}$ 换成一般的 $\beta$， 同样的两步（展开、同除 $\cos\theta\cos\beta$）会直接给出 $\frac{\tan\theta-\tan\beta}{1+\tan\theta\tan\beta}$。所以解法二不是「绕远路」，它是把解法一 用掉的那条公式现推了一遍。

两条路差在哪

考场上第一条更快，两行填完两个空。第二条的价值有两处：一是公式记不准时的保底， 二是当题目连着问好几个二次式（$\sin2\theta$、$\cos2\theta$、$\sin^2\theta+\sin\theta\cos\theta$……）时， 三个量一次定完、后面全是加减乘除。

避坑

• $\cos2\theta$ 的形式挑反或符号写反。 三张面孔 $1-2\sin^2\theta=2\cos^2\theta-1=\cos^2\theta-\sin^2\theta$ 彼此等价，按手里有什么挑；真正的车祸是把 $1-2\sin^2\theta$ 写成 $2\sin^2\theta-1$，整项差一个负号， 本题会得出 $+\frac{3}{5}$。
• 差角正切公式的分母符号。 分子跟左边同号（差角是 $-$），分母反号（差角是 $1+$）。 写成 $\frac{2-1}{1-2}=-1$ 是最常见的错法。
• 把 $\tan(\theta-\frac{\pi}{4})$ 当成 $\tan\theta-\tan\frac{\pi}{4}$。 那会得到 $2-1=1$。 正切不是线性的，$\tan(A-B)\ne\tan A-\tan B$。
• 齐次化用在不齐次的式子上。 只有分子分母同次才能同除 $\cos^n\theta$。 $\cos2\theta$ 那一步之所以要先补 $1=\cos^2\theta+\sin^2\theta$，就是为了让分母也变成 $2$ 次； 漏了这一步直接除，得到的是 $1-\tan^2\theta$，答案会错成 $-3$。
• 急着反求 $\sin\theta$、$\cos\theta$。 由 $\tan\theta=2$ 反求要分第一、第三象限两支定符号， 多一次讨论、多一处出错。本题两个空都只需要平方或只需要 $\tan\theta$，不必反求； 真要反求（比如题目问 $\sin\theta$）就必须把两支都写出来。
• 填空格式。 两个空按题面顺序填 $-\frac{3}{5}$ 与 $\frac{1}{3}$，别写成小数、别漏负号， 也别把两空的答案对调。

收口

一句话：手里只有 $\tan\theta$，就把要求的式子化成只含 $\tan\theta$ 的样子。 $\cos2\theta$ 补一个 $1=\cos^2\theta+\sin^2\theta$ 变齐次，同除 $\cos^2\theta$ 得 $\frac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta}=-\frac{3}{5}$； $\tan\big(\theta-\frac{\pi}{4}\big)$ 直接套差角公式得 $\frac{\tan\theta-1}{1+\tan\theta}=\frac{1}{3}$。 记住两条随身的小结论：$\dfrac{1}{\cos^2\theta}=1+\tan^2\theta$，以及 $\tan\big(\alpha\pm\frac{\pi}{4}\big)=\dfrac{\tan\alpha\pm1}{1\mp\tan\alpha}$—— 前者把任何二次齐次式一次拉到 $\tan$ 上，后者把「$\pm\frac{\pi}{4}$」这类最常考的差角一步算完。