中线张角的三角函数值

题型说明

图形永远是同一个：$\triangle ABC$ 里从 $A$ 引一条线到对边上的点 $M$（最常见的是中点），于是

题目给出 $\angle BAM$、$\angle MAC$、$\angle BAC$ 里某一个的正弦或正切，要另一个。

它和普通的解三角形题差一个地方：$M$ 不是三角形的顶点，$AM$ 也不是原三角形的边。所以「给的角」和「要的角」多半不在同一个三角形里，得先把它们接上。

三个入口

1. 两个三角形，一条公共边。 $AM$ 同时属于 $\triangle ABM$ 与 $\triangle ACM$，$M$ 处的两个角互补。在含已知角的那个三角形里用一次正弦定理，把角搬到另一个里去（补角同正弦搬角）。原卷解法走的就是这条。
2. 设边、全程用正切。 有直角时最痛快：把两个小角都写成「对边比邻边」，再用两角差的正切公式把 $\angle BAM=\angle BAC-\angle MAC$ 兑现成一个关于边的方程。
3. 算面积。 $M$ 是中点 $\Rightarrow$ $S_{\triangle ABM}=\frac12 S_{\triangle ABC}$，而 $S_{\triangle ABM}$ 又能用 $\frac12\cdot AB\cdot AM\cdot\sin\angle BAM$ 写一遍——同一个面积算两遍，方程立刻出来。

这类题的关口

• 别把 $\angle BAM$ 当成 $\triangle ABC$ 的内角。它的对边是 $BM$（半条 $BC$），不是 $BC$。
• 由正弦补余弦要先判锐钝。$\angle BAM<\angle BAC\leqslant\pi$，多数图里它是锐角，但这句话要说出来，不能默认。
• 解出来是重根不要慌。这类题常被出题人卡在「给定值恰好是那个角的最大值」上，方程于是退化成完全平方——判别式为零是题目的设计，不是你算错了（给定值取在最值处）。