给定值取在最值处

病灶：把「重根」当成「算错了」

解三角形、解析几何里常有这样一幕：条件老老实实代进去，化简出

判别式恰好为零。很多人第一反应是回头查算错在哪——不必。二次方程只有重根，说明可行的形状只剩一个；而一个受一条等式约束的图形只剩一个形状，通常意味着题目给的那个数被顶在了边界上。

怎么认出来

把方程写成「目标 $=$ 给定值」的样子，比如

左边分子分母同除 $ab$：

分母由基本不等式 $\frac{a}{b}+\frac{2b}{a}\geqslant2\sqrt{2}$ 顶在下面。右边那个 $\frac{1}{2\sqrt{2}}$ 正是左边能取到的最大值——所以等号必须成立，取等条件 $\frac{a}{b}=\frac{2b}{a}$ 立刻给出 $a=\sqrt{2}\,b$。

一句话：不解方程，读取等条件。

用法

1. 顺着做时：化简后发现完全平方 / 判别式为零，别怀疑自己，直接开方取那唯一的根，同时在卷面上补一句「此时取到最大值，形状唯一确定」，阅卷人看得出你懂在哪。
2. 反着用时：一眼看出目标式是 $\dfrac{1}{u+\frac{k}{u}}$ 这种形状，先算它的最值；若题给的值就是最值，后面全部计算都可以跳过，直接写取等条件。
3. 当验算用：解出重根后，回头验一次「给定值 $=$ 最值」，比重新算一遍化简省力得多。

注意

• 取等条件要验。均值不等式给出的上界必须能取到才叫最值，取等条件里的量必须落在定义域内（不等式求最值漏验等号）。
• 只有相切才唯一。给定值小于最值时，方程有两个不同的根，图形有两种，此时必须两个都验、都写；别把本套路当成「一律只取一个解」的借口。
• 判别式为零也可能真是算错。先复核一遍代入，再宣布它是设计——两者的区别在于「给定值恰好等于最值」这句话能不能独立算出来。

反面那一档：给定值顶在取不到的那个界上

上面讲的是”界能取到”，于是取等条件把形状定死、答案唯一。还有一种题，出题人把给定值放在够不着的那个界上——此时正确答案是「不存在」。

认法是同一套，只多问一句：那个界到底取不取得到？

• 目标量写成一个变量的函数、把定义域老实写出来（定义域常常是”图形还成立”的那句话，比如”弦的中点必须在曲线内部”、“两根必须不等”）；
• 算出它在定义域上的确界；
• 确界落在定义域的开端点上，就说明它取不到。题目若恰好给了这个数，答案就是「不存在」。

浙江 2013 年第 15 题是标准样本：过准线上一点 $P(-1,0)$ 的弦，其中点 $Q$ 走在 $y^{2}=2(x+1)$ 上，有效段是 $x_{0}>1$，而

$2$ 是够不着的下确界（$x_{0}\to1^{+}$ 时才趋于它，那一档 $A$、$B$ 已经重合）。题目偏偏给 $|FQ|=2$，于是”满足条件的直线不存在”。

这一档比”解出来的根都不合格”强。 联立解方程也能得出同样的结论（根解得出来、只是过不了 $\Delta>0$），但那只说明”这几个根不行”；把确界算出来才说明”合格的根压根不在附近”。卷面上写后者，就没有”是不是漏算了一支”的疑问。