浙江 2013 · 数学 q15

冷启动：$P(-1,0)$ 不是随手取的一个点——它就站在准线上

$y^{2}=4x$ 里 $2p=4$，于是 $p=2$、焦点 $F(1,0)$、准线 $x=-1$。题面给的 $P(-1,0)$ 的横坐标恰好是 $-1$：

$$P\ \text{在准线上}.$$

这一句是整道题的立意。从准线上的点往抛物线看过去，有两件事马上就该想到：

1. 过 $P$ 恰好有两条切线。 设 $y=k(x+1)$ 代入 $y^{2}=4x$ 得 $k^{2}x^{2}+(2k^{2}-4)x+k^{2}=0$，$\Delta=0$ 解出 $k=\pm1$，切点是 $T_{\pm}(1,\pm2)$。而

   $$|FT_{\pm}|=\sqrt{(1-1)^{2}+(\pm2)^{2}}=2 .$$

   题目给的那个 $2$，正是切点到焦点的距离。 这不是巧合，是出题人把条件放在了边界上。

2. 弦的中点 $Q$ 必须落在抛物线内部，即 $y_{0}^{2}<4x_{0}$。这句话在四条路里各有各的说法（$\Delta>0$、“点差法算完要验中点”、参数点互不相等），但它们是同一件事，也是本题唯一的杀手。

把 $F$、准线、两条切线先摆出来，答案的形状其实已经能猜到了。

解法一：原卷路线——设 $x=my-1$ 联立，韦达 + 中点 + 距离，解出的根全被 $\Delta>0$ 挡在门外

$l$ 过 $P(-1,0)$，设

$$l:\ x=my-1 .$$

代入 $y^{2}=4x$：

$$y^{2}=4(my-1)\quad\Longrightarrow\quad y^{2}-4my+4=0 .$$

先立门槛。 有两个交点当且仅当

$$\Delta=16m^{2}-16>0\quad\Longleftrightarrow\quad m^{2}>1 .$$

韦达给 $y_{1}+y_{2}=4m$，于是中点

$$y_{0}=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}=2m,\qquad x_{0}=my_{0}-1=2m^{2}-1, \qquad Q\left(2m^{2}-1,\ 2m\right).$$

代 $|FQ|=2$（$F(1,0)$）：

$$(2m^{2}-2)^{2}+(2m)^{2}=4 \quad\Longrightarrow\quad (m^{2}-1)^{2}+m^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad m^{4}-m^{2}=0 ,$$ $$m^{2}\left(m^{2}-1\right)=0 \quad\Longrightarrow\quad m^{2}=0\ \text{或}\ m^{2}=1 .$$

$m^{2}=0$、$m^{2}=1$ 都不满足 $m^{2}>1$。方程有解，可解都在门槛外，所以满足条件的 $l$ 不存在。

原卷欠的两句话

一、少写了一支根。 原卷这一步写的是”化为 $m^{2}=1$，解得 $m=\pm1$“——把 $m^{2}=0$ 那一支丢了。丢的是 $m=0$，即直线 $x=-1$（准线本身），它与 $y^{2}=4x$ 一个交点都没有，同样过不了 $\Delta>0$，所以结论不受影响。但”方程只有 $m^{2}=1$“这句话本身是错的，抄的人要知道（校订层已另记，不改原卷）。

二、$x=my-1$ 换掉了一个缺口，又换来了另一个。 设成 $x=my-1$ 而不是 $y=k(x+1)$，好处是这一族包含竖直线（$m=0$），“斜率不存在”那句补充说明整个消失了。代价是它漏掉了水平线 $y=0$——那条线不属于 $x=my-1$ 这一族。所幸 $y=0$ 与 $y^{2}=4x$ 只交于原点一个点，不是弦，本题里不可能是答案。这句话要说出来：换参数不是把讨论省掉，是把讨论挪到了不会出事的一侧，前提是你确认过那一侧真的不会出事。

最后，$m^{2}=1$ 对应的 $k=\dfrac1m=\pm1$——正是冷启动里那两条切线。原卷算到这里就停了，其实这两个”废根”恰好指出了答案为什么是”不存在”。

解法二：点差法——中点弦的斜率把 $Q$ 逼上另一条抛物线 $y^{2}=2(x+1)$，再与 $|FQ|=2$ 的圆求交

不去解方程，直接盯住中点。设 $A(x_{1},y_{1})$、$B(x_{2},y_{2})$ 都在抛物线上，两式相减：

$$y_{1}^{2}-y_{2}^{2}=4(x_{1}-x_{2}) \quad\Longrightarrow\quad (y_{1}+y_{2})(y_{1}-y_{2})=4(x_{1}-x_{2}).$$

$x_{1}=x_{2}$ 会逼出 $y_{1}=-y_{2}$、弦竖直，那条弦是 $x=x_{1}$，过 $P$ 就得 $x_{1}=-1<0$，与抛物线不相交——所以 $x_{1}\neq x_{2}$，可以放心地写斜率：

$$k=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{4}{y_{1}+y_{2}}=\frac{2}{y_{0}} .$$

同一条弦又过 $P(-1,0)$ 和 $Q(x_{0},y_{0})$，所以

$$k=\frac{y_{0}-0}{x_{0}+1} .$$

两式相等，交叉相乘：

$$\boxed{\,y_{0}^{2}=2(x_{0}+1)\,}$$

中点 $Q$ 走在另一条抛物线上——顶点就是 $P$ 自己，开口同向，通径只有原来的一半。这是本题最值得带走的结构。

别忘了给这条轨迹配定义域。 $Q$ 是真弦的中点 $\Longleftrightarrow$ $Q$ 在原抛物线内部：

$$y_{0}^{2}<4x_{0} \ \Longleftrightarrow\ 2(x_{0}+1)<4x_{0} \ \Longleftrightarrow\ x_{0}>1 .$$

（这正是解法一里 $\Delta>0$ 的几何翻译：$x_{0}=2m^{2}-1>1\Leftrightarrow m^{2}>1$。）

现在把 $|FQ|=2$ 写成圆 $(x_{0}-1)^{2}+y_{0}^{2}=4$，与轨迹联立：

$$(x_{0}-1)^{2}+2(x_{0}+1)=4 \quad\Longrightarrow\quad x_{0}^{2}+3=4 \quad\Longrightarrow\quad x_{0}=\pm1 .$$

• $x_{0}=1$：$y_{0}=\pm2$，$Q(1,\pm2)$。此时 $y_{0}^{2}=4=4x_{0}$——$Q$ 正落在原抛物线上，是”内部”的边界。它就是那两个切点，弦已经退化成一个点。
• $x_{0}=-1$：$y_{0}=0$，$Q$ 就是 $P$ 自己，在抛物线外。

两个交点都在有效段 $x_{0}>1$ 之外，所以不存在。圆碰得到这条轨迹，只是碰在了它作废的那一截上。

解法三：参数点 $(a^{2},2a)$——「过准线上的 $P$」等价于 $ab=1$（过焦点是 $ab=-1$）

抛物线 $y^{2}=4x$ 上的点可以一个参数写完：$(a^{2},2a)$，$a\in\mathbf{R}$。设 $A(a^{2},2a)$、$B(b^{2},2b)$，$a\neq b$。

$A$、$B$、$P(-1,0)$ 三点共线，把两条斜率写出来：

$$\frac{2a}{a^{2}+1}=\frac{2b}{b^{2}+1} \ \Longrightarrow\ a(b^{2}+1)=b(a^{2}+1) \ \Longrightarrow\ -ab(a-b)+(a-b)=0 \ \Longrightarrow\ (a-b)(1-ab)=0 ,$$ $$a\neq b\quad\Longrightarrow\quad ab=1 .$$

这是一条值得背下来的对照：同样的算法换成过焦点 $F(1,0)$，得到的是 $ab=-1$。$P$ 与 $F$ 关于顶点对称，条件就差一个符号。

记 $s=a+b$。$a$、$b$ 是 $z^{2}-sz+1=0$ 的两个不相等的实根，所以

$$s^{2}-4>0 .$$

中点

$$Q\left(\frac{a^{2}+b^{2}}{2},\ a+b\right)=\left(\frac{s^{2}-2}{2},\ s\right),$$

代 $|FQ|=2$：

$$\left(\frac{s^{2}-2}{2}-1\right)^{2}+s^{2}=4 \ \Longrightarrow\ \frac{(s^{2}-4)^{2}}{4}+s^{2}=4 \ \Longrightarrow\ (s^{2}-4)^{2}+4s^{2}=16 .$$

令 $w=s^{2}\geqslant0$：$w^{2}-8w+16+4w=16$，即 $w^{2}-4w=0$，$w=0$ 或 $w=4$。

• $w=0$：$s=0$，配上 $ab=1$ 得 $z^{2}+1=0$，$a$、$b$ 不是实数；
• $w=4$：$s=\pm2$，配上 $ab=1$ 得 $(z\mp1)^{2}=0$，$a=b=\pm1$，$A$ 与 $B$ 重合在 $(1,\pm2)$。

两支都不给合法的弦，故不存在。这条路的好处是把两种失败讲得最具体：一种连点都不实，一种两点粘成一个。

解法四：不解方程——轨迹上 $|FQ|=\sqrt{x_{0}^{2}+3}$，有效段 $x_{0}>1$ 逼出 $|FQ|>2$ 恒成立

前三条路都是”解方程、再验条件”。其实条件先验完，方程根本不用解。

沿用解法二的轨迹：$Q$ 在 $y^{2}=2(x+1)$ 上，有效段 $x_{0}>1$。把 $|FQ|$ 就地写成 $x_{0}$ 的函数：

$$|FQ|^{2}=(x_{0}-1)^{2}+y_{0}^{2}=(x_{0}-1)^{2}+2(x_{0}+1)=x_{0}^{2}+3 ,$$ $$|FQ|=\sqrt{x_{0}^{2}+3}\ ,\qquad x_{0}>1 .$$

$\sqrt{x_{0}^{2}+3}$ 在 $x_{0}>1$ 上严格递增，于是

$$|FQ|>\sqrt{1+3}=2 .$$

$|FQ|$ 的取值范围是 $(2,+\infty)$，$2$ 是它够不着的下确界。 $x_{0}\to1^{+}$ 时 $|FQ|\to2$，可 $x_{0}=1$ 那一档 $A$、$B$ 已经重合，弦不成其为弦。题目偏偏要 $|FQ|=2$，取不到，所以不存在。

把那个 $2$ 换成别的数试试

这条路顺手回答了”出题人为什么挑 $2$”：

• 给 $|FQ|=d>2$：由 $x_{0}=\sqrt{d^{2}-3}>1$ 唯一定出 $x_{0}$，再由 $y_{0}^{2}=2(x_{0}+1)$ 得两个对称的 $y_{0}$，于是恰有两条直线（斜率 $k=\frac{2}{y_{0}}$ 互为相反数）；
• 给 $|FQ|=2$：落在下确界上，一条也没有；
• 给 $|FQ|<2$：连轨迹的有效段都够不着，更没有。

所以答”不存在”的 $d$ 有一整段（$0<d\leqslant2$），$2$ 只是其中最靠边的那一个：只有它会让形式解落在有效段的边界 $x_{0}=1$ 上，看着”解出来了”其实是弦退化成切点。$d<2$ 的那些值一眼就够不着，唬不住人；出题人挑 $2$，挑的正是这份”差一点点就成立”。

认出这一点，比算出 $m^{2}=1$ 有说服力得多——后者只告诉你”这两个根不合格”，前者告诉你”合格的根从来就不在附近”。

四条路怎么选

考场上的顺序建议：先按路一落笔（最不用动脑，且阅卷按点给分），算到 $m^{2}(m^{2}-1)=0$ 与 $m^{2}>1$ 矛盾就可以收。若时间够，用路四那句”$|FQ|>2$ 恒成立”回头验一遍——“解出来的根都不合格”和”合格的根压根不存在”是两种强度的结论，写出后者，卷面上就没有”是不是漏算了”的疑虑。路二的轨迹 $y^{2}=2(x+1)$ 值得单独记住：过准线上定点的弦，中点轨迹是同向的另一条抛物线，顶点就是那个定点。

一句话带走

$P(-1,0)$ 在准线上，过它的弦的中点 $Q$ 被点差法逼上另一条抛物线 $y^{2}=2(x+1)$；”$Q$ 必须在原抛物线内部”把这条轨迹截成 $x_{0}>1$ 的一段，而段上 $|FQ|=\sqrt{x_{0}^{2}+3}>2$ 恒成立。题目要的 $2$ 正是 $x_{0}\to1^{+}$ 的极限值，对应弦退化成过 $P$ 的两条切线的切点 $(1,\pm2)$——那时 $A$、$B$ 已经重合，所以满足条件的直线不存在。